tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

quali pur avendo un carattere meno intuitivo dei vettori, sono più adatti alla
formulazione delle relazioni in gioco.
Nel seguito dopo avere introdotto il modello di continuo più utilizzato
nella descrizione dei solidi, il modello di Cauchy, si descriverà una delle tecniche
di interpolazione FEM ovvero la discretizzazione con interpolazione del
campo degli spostamenti.
2.1 Modello di Cauchy
2.1.1 Cinematica
Un continuo è un insieme di punti materiali (sistema materiale) che si identificano
con i punti di una porzione di spazio continuo (un sottoinsieme compatto
di R 3 ) occupata dal sistema in un determinato istante. Data una configurazione
ad un istante iniziale t0, nella quale la posizione del generico punto è
rappresentata da una terna (x1, x2, x3), la posizione dello stesso punto nella
configurazione ad un istante generico t successivo a quello iniziale è data da:
yk = yk(x1, x2, x3, t), k = 1, 2, 3
Le yk, k = 1, 2, 3 non possono essere funzioni generiche, affinchè la cinematica
del sistema preveda che tutti i punti materiali del continuo, con posizione
x1, x2, x3 all’istante iniziale t0, vadano ad occupare una nuova porzione di
spazio continuo all’istante generico t > t0, secondo una trasformazione (deformazione
2 o spostamento rigido) che sia continua, e tale da garantire l’assenza
di distacchi e compenetrazioni. A tal proposito le yk, k = 1, 2, 3 saranno
funzioni biunivoche, le quali cioè comportano che ad ogni punto della configurazione
deformata corrisponde uno e un solo punto della configurazione
indeformata e viceversa, e continue. Per garantire la condizione di funzioni
biunivoche continue sarà sufficiente scegliere funzioni continue e iniettive 3 .
2 La deformazione per un sistema continuo è il cambiamento di posizione relativa tra i
suoi punti materiali nel passaggio da uno stato iniziale ad uno stato attuale.
3 A tal proposito si richiama che:
• Si definisce funzione una relazione che associa ad ogni elemento appartenente ad
un insieme A detto dominio, un solo elemento appartenente all’insieme d’arrivo B:
f : A → Bt.c.∀a ∈ A∃!b ∈ Bt.c.f(a) = b
• Si definisce funzione continua una funzione f : A → B t.c.
∀a0 ∈ A, lim a→a +
0
9
f(a) = lim −
a→a f(a)
0