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Le B-spline sono curve che discendono dalle curve di Bézier, ma sono formate da più tratti o spans e hanno ordine k minore o uguale al numero p dei poli: per esempio, data una spezzata con 12 vertici, l’ordine della curva può variare tra 12 e 2. Se l’ordine è 12, la curva è una curva di Bézier, come caso particolare. Se l’ordine è 2, la curva degenera e coincide con la spezzata di controllo. Le curve di Bézier sono dunque un caso particolare delle B-spline. In Figura 3.3(a) si vede una spezzata con sei vertici che controlla quattro B-spline di ordine 3 (in grigio chiaro), 4, 5 e 6 (in blu). La B-spline blu è una curva di Bézier. Riassumiamo qui di seguito le proprietà delle B-spline che consentono di modellarle. la B-spline è una curva il cui ordine k può essere uguale o minore del numero mdei poli; la curva passa per lo start point e per l’end point; le tangenti alla curva nei punti suddetti sono il primo e l’ultimo segmento della spezzata guida; la curva giace per intero nell’involucro convesso generato dai k vertici contigui della spezzata guida, dove k è l’ordine della curva ad esempio: nella Figura 3.3(b) è stata costruita una B-spline controllata da sei vertici di una spezzata (in rosso); l’ordine della spline è 4; se si costruisce un poligono di 4 lati con i primi quattro vertici della spezzata, si vede che la parte della B-spline interessata dai quattro vertici del poligono è tutta al suo interno; analogamente per il poligono successivo (in verde), e così via. la curva si allontana dai poli tanto più, quanto più è grande il suo ordine k (si veda il primo esempio di B-spline dato sopra); quindi, più si desidera smussare la spezzata di controllo, più alto deve essere il grado della curva; se la spezzata guida possiede k nodi consecutivi allineati, la curva in quel tratto è rettilinea; ad esempio: nella Figura 3.3(c)la spezzata possiede otto vertici, quattro dei quali allineati; la B-spline gialla ha ordine 8, la verde ordine 4; la B-spline verde ha un tratto rettilineo compreso tra i quattro punti di controllo allineati; la B-spline consente il controllo locale della forma: se si cambia un nodo, vengono influenzati k tratti soltanto; viceversa, ogni tratto della curva è influenzato da k punti di controllo. se due o più punti di controllo coincidono, la curva si avvicina al nodo, tanto più, quanto maggiore è il numero dei punti coincidenti; per k nodi coincidenti, la curva passa per il punto di controllo; la spezzata, nella Figura 3.3(d), ha tre punti di controllo coincidenti nel vertice in basso; la spline blu, di ordine 3, passa per il vertice, spezzandosi; la spline rossa, di ordine 6, non passa per il vertice, ma gli si avvicina. 31
(a) (b) (c) (d) Figura 3.3: Esempi di curve B-spline 32
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