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dove:<br />
dove<br />
⎡<br />
⎢<br />
Λ = ⎢<br />
⎣<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
σ ∗ x<br />
σ ∗ y<br />
σ ∗ z<br />
τ ∗ xy<br />
τ ∗ xz<br />
τ ∗ yz<br />
⎫<br />
⎪⎬ ⎪⎨<br />
= Λ<br />
⎪⎭<br />
⎧<br />
⎪⎩<br />
Ae rZ<br />
Ke −rZ<br />
Be rZ<br />
Re −rZ<br />
Ce sZ<br />
Se −sZ<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
(6.15)<br />
−2rM 2 2rM 2 −2MN −2MN 2ν(s2−g 2 )<br />
1−2ν − 2M 2 2ν(s2−g 2 )<br />
1−2ν<br />
−2rN 2 2rN 2 2MN 2MN<br />
2ν(s2−g 2 )<br />
1−2ν − 2N 2 2ν(s2−g 2 )<br />
1−2ν<br />
2g 2 r −2g 2 r 0 0 r 2 + g 2 r 2 + g 2<br />
2MNr −2MNr N 2 − M 2 N 2 − M 2 2MN 2MN<br />
(r 2 + g 2 )M (r 2 + g 2 )M Nr −Nr 2Ms −2Ms<br />
(r 2 + g 2 )N (r 2 + g 2 )N −Mr Mr 2Ns −2Ns<br />
Le condizioni di stress-free per una piastra semplicemente appoggiata<br />
sulle superfici superiore e inferiore sono:<br />
σz = τxz = τyz = 0 in Z = 0, 1 (6.16)<br />
Il soddisfacimento di tali condizioni conduce ad un sistema di sei equazioni<br />
per ogni coppia (m, n). Una soluzione non banale del problema viene raggiunta<br />
imponendo nullo il determinante ∆ della latrice dei coefficienti dell’equazione<br />
ottenuta dalle (6.16) e (6.15). Ciò produce l’equazione caratteristica:<br />
∆ = [8g 2 rs <br />
r 2 + g 2 <br />
2<br />
(1−coshrcoshs)+ 16g 4 r 2 s 2 + <br />
r 2 + g 24 <br />
sinhrsinhs]sinhr = 0.<br />
(6.17)<br />
La soluzione di questa equazione trascendentale per ogni coppia (m, n) produce<br />
una sequenza infinita di autovalori.<br />
62<br />
2 − 2M<br />
2 − 2N<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
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