tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

di funzioni note che sono piuttosto semplici da calcolare. Le funzioni Φk
sono le funzioni approssimanti, i coefficienti ck sono costanti che vengono
determinati in base a vincoli che vengono imposti su φ(x).
Anche la serie di Fourier deriva da questa idea e può essere usata per
tentare di dare un’espressione di f(x) secondo la somma infinita:
f(x) = Σ ∞ k=0[cksinakt + bkcosakt]
dove a è una data costante. Troncando tale serie, si ottiene:
φ(x) = c0 + c1sinat + b1cosat + c2sin2at
+b2cos2at + ... + cnsinnat + bncosnat
dove le costanti ci, bi, i = 0..n vengono determinate in base a vincoli su
φ(x).
Invece di usare come funzione approssimante φ(x) una funzione trigonometrica,
si può usare una funzione più semplice, quale ad esempio un polinomio
(polynomial) o una polinomiale a tratti (piecewise polynomial). In
particolare, scelte Φk = x k , k = 0..n si ottiene:
φ(x) = cnx n + cn−1x n−1 + ... + c2x 2 + c1x + c0
che è un polinomio di grado ≤ n 1 , con coefficienti ck, k = 0..n, che sono delle
costanti reali se abbiamo a che fare con un polinomio reale, e che vengono
determinati in base ai vincoli posti su φ(x).
Supposta f(x) ∈ C[a, b], cioè f(x) continua su un dato intervallo [a, b],
se si scelgono Φ1, Φ2, ..., Φn ∈ C[a, b], l’approssimazione espressa nella (3.1)
φ(x) ∈ span(Φ1, Φ2, ..., Φn) che è un sottospazio 2 di C[a, b]. Inoltre se Φ1, Φ2, ..., Φn
sono linearmente indipendenti, allora Xn = span(Φ1, Φ2, ..., Φn) è un sottospazio
di C[a, b] a dimensione n. Scelta come tecnica di approssimazione la
(3.1), occorre stabilire un criterio per stimare la qualità dell’approssimazione,
ad es. si stabilisca che φ(x) è una buona approssimazione di f(x) se f −φ
è sufficientemente piccolo, dove . sia una norma su C[a, b].
Data in generale una funzione approssimante espressa secondo la (3.1) si
avranno n costanti incognite ck, k = 1..n e saranno perciò richiesti almeno n
vincoli o condizioni su φ(x). Tali vincoli dovrebbero essere scelti in modo tale
che φ(x) sia una buona approssimazione di f(x) e che ci sia una soluzione
1 Un polinomio di grado ≤ n in una variabile x
p(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0,
con a0, a1, ..., an ∈ R risulta essere di grado n, p(x) ∈ Pn ⇔ an = 0
2 Si vedano in appendice i richiami di algebra lineare.
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