tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

B-Spline B m i di ordine m relativa ai nodi distinti xi, xi+1, ..., xi+m+1 può essere
definita secondo la formula ricorsiva:
B0
1 se x ∈ [xi, xi+1],
i (x) =
0 altrimenti,
B m i (x) = x−xi
xi+m−xi Bm−1
i (x) + xi+m+1−x
xi+m+1−xi+1 Bm−1
i+1 (x), k ≥ 1
(3.4)
Dati n + 1 nodi distinti, xi, i = 0..n si possono costruire n − m B-spline
linearmente indipendenti di grado m, ma restano da saturare ancora 2m
gradi di libertà per ottenre una base per Sm. Un modo di procedere consiste
nell’introdurre 2m nodi fittizi
x−m ≤ x−m+1 ≤ ... ≤ x−1 ≤ x0 ≡ a, b ≡ xn ≤ xn+1 ≤ ... ≤ xn+m
ai quali vengono associate le B-spline B m i , i=-m..-1 e i=n-m..n-1. Con questo
accorgimento ogni spline sm ∈ Sm potrà essere scritta come:
sm(x) = Σ n−1
i=−k ciB k i (x)
dove ci sono valori reali, detti coefficienti B-spline.
3.3 Spline nel Computer Aided Geometric Design
Nel passato si usava distinguere le linee luogo geometrico dalle linee grafiche.
Le prime potevano essere controllate con strumenti semplici, come il compasso,
e conseguentemente tracciate in cantiere per guidare la costruzione di un
muro o di una copertura. Le seconde, invece, nate dal gesto della mano che
disegna senza alcun ausilio tecnico, non potevano essere descritte in forma algoritmica
ed erano, perciò, difficili da controllare. Per tracciare linee grafiche
passanti per punti prefissati,nel disegno architettonico, quale ad esempio la
curva dell’entasi, cioè la curva che raccorda l’imoscapo al sommoscapo nella
sezione rastremata del fusto delle colonne di ordine classico, Pietro Cataneo
nel 1567, propone di usare un regolo piegabile (si veda Figura 3.1). Un
identico problema si presenta nella costruzione degli scafi, degli aerei e delle
carrozzerie delle automobili e una identica soluzione è stata utilizzata per
controllare queste curve dalla forma libera, fino all’avvento dell’informatica.
Le curve, infatti, venivano tracciate raccordando pochi punti con sottili
listelli detti ’splines’, bloccati da pesi (si veda Figura 3.2(d)).
Oggi, invece, il termine è usato come acronimo dell’espressione ’smooth
polyline’ e sta ad indicare un algoritmo che permette di descrivere numericamente
un curva qualsiasi. Questa soluzione ha numerosi vantaggi: la curva
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