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con condizioni sul bordo in parte sugli spostamenti e in parte sulle forze di superficie u = ū, su ∂Ωu (2.11) σn = ¯t, su ∂Ωt (2.12) dove n è il versore normale a ∂Ωt, σ, ε sono rispettivamente il tensore delle tensioni e il tensore delle deformazioni, E è il tensore elastico. Benchè ben posto il problema elastico non è in generale facilmente risolubile in forma chiusa. Per molti importanti casi particolari, soluzioni analitiche sono state peraltro ottenute, sfruttando quelle caratteristiche del problema specifico che consentono di semplificarne la formulazione così da renderla matematicamente trattabile. 2.2 Tecniche di discretizzazione FEM La teoria dell’elasticità, permettendo una formulazione matematicamente coerente e meccanicamente ben fondata, rappresenta senza dubbio uno dei risultati più significativi della fisica-matematica dell’ottocento. Tuttavia ad oggi è noto come, con le pur importanti eccezioni di un certo numero di problemi specifici, le difficoltà connesse con l’effettivo calcolo della soluzione sono notevoli se non addirittura insormontabili, sia pur mantenendo le ipo<strong>tesi</strong> di linearità geometrica (piccoli spostamenti) e/o di materiale. Sono state peraltro ricercate approssimazioni ragionevoli per mezzi continui dotati di particolare struttura, che ne consentissero una più agevole soluzione senza compromettere la correttezza della soluzione (teorie strutturali delle travi, ⎡ ⎢ div ⎢ ⎣ m11 m12 ... m1n m21 m22 ... m2n . . . .. . mn1 mn2 ... mnn ⎡ ⎢ m = ⎢ ⎣ ⎧ ⎪⎨ grad ⎪⎩ v1 v2 . vn ⎫ ⎡ ⎪⎬ ⎢ = ⎢ ⎣ ⎪⎭ ⎤ ⎧ ⎥ ⎦ = ⎪⎨ ⎪⎩ m11,1 + m12,2 + ...m1n,n m21,1 + m22,2 + ...m2n,n . mn1,1 + mn2,2 + ...mnn,n v1,1 v1,2 ... v1,n v2,1 v2,2 ... v2,n . m11 m12 ... m1n m21 m22 ... m2n . . . . . .. . . .. . vn,1 vn,2 ... vn,n . . mn1 mn2 ... mnn 13 ⎤ ⎤ ⎥ ⎦ ⎥ 1 ⎥ , sym (m) = ⎦ 2 (m + mT ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭
delle piastre, dei gusci). In tempi relativamente brevi, la disponibilità di potenti mezzi di calcolo, ha portato inoltre alla definizione di modelli indipendenti dalle particolari tipologie strutturali, quali quelli a elementi finiti, che consentono raffinate analisi numeriche di strutture anche notevolmente complesse. 2.2.1 Metodi agli elementi finiti I metodi degli elementi finiti sono tecniche atte ad approssimare le equazioni differenziali che governano un sistema continuo con un sistema di equazioni algebriche in un numero discreto di incognite e generate mediante l’impiego di un principio variazionale [10]. La fortuna di tali metodi è dovuta soprattutto alla facilità con cui possono essere tradotti in strumenti di calcolo automatico. Il primo passo da effettuare è una discretizzazione del sistema continuo, oggetto dell’analisi. Tale discretizzazione consiste nel suddividere il dominio in sottodomini, detti elementi finiti, e individuare dei punti, chiamati nodi sul contorno o nell’interno degli elementi. Un numero finito di parametri (valori della funzione incognita delle equazioni differenziali del sistema continuo o delle sue derivate o parametri di controllo (§ 3)) vengono poi assunti come variabili incognite del sistema discreto e la funzione incognita e le sue derivate vengono ricavate mediante funzioni di interpolazione definite sui singoli elementi. Nel caso dei problemi strutturali, vengono scelti come incognite del problema discreto, parametri di spostamento o sforzo, e spostamenti, deformazioni e tensioni in un punto generico sono espresse in termini di tali variabili mediante interpolazione. A seconda che si scelgano come variabili, solo misure del campo degli spostamenti o sia misure del campo degli spostamenti che di quello degli sforzi, si parla rispettivamente di elementi finiti compatibili o elementi misti (§ 2.2.2). 2.2.2 Formulazione variazionale compatibile standard Nella formulazione compatibile vengono imposte a priori le equazioni di compatibilità e legame costitutivo e vengono imposte in forma debole le equazioni di equilibrio. I gradi di libertà del problema sono quindi gli spostamenti e le equazioni da risolvere sono equazioni di equilibrio. Il principio di minimo dell’energia potenziale totale è alla base di tale formulazione e la forma debole ad esso associata è l’equazione dei lavori virtuali. Si prenda il funzionale energetico EP T pari a: EP T [u] := 1 2 Cijhk(∇u)ij(∇u)hk Ω energia elastica 14 − tu ∂Ωt lavoro esterno , (2.13)
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Bibliografia [1] Maurizio Aristodem
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