UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

Sia x la posizione di una particella di fluido nell’istante iniziale t0, allora
la sua posizione all’istante t, indicata con X(t; x), è data dall’integrale della
sua velocità V(t; x) nell’intervallo di tempo trascorso
X(t; x) = x +
t
V(t ′ ; x)dt ′ , (2.1)
da cui si ritrova l’identità X(t0; x) = x. Senza perdere in generalità, la (2.1)
può essere riscritta scegliendo x = 0 e t0 = 0
X(t; 0) =
t0
t
V(t
0
′ ; 0)dt ′ . (2.2)
La velocità lagrangiana nel punto X all’istante t coincide con la velocità
euleriana nello stesso punto allo stesso istante per cui ([83] p. 529)
V(t; x) = u(X(t; x), t) . (2.3)
Applicando la (2.3) alle equazioni (2.1-2.2) si ottiene
X(t; x) = x +
X(t; 0) =
t
u(X(t
t0
′ ; x), t)dt ′ , (2.4)
t
u(X(t
0
′ ; 0), t)dt ′ , (2.5)
dove u è il vettore velocità che compare nelle equazioni dinamiche di Navier-
Stokes (1.1).
Le formule (2.4-2.5) esprimo in maniera formalmente esatta la relazione
tra una quantità esclusivamente lagrangiana, la posizione delle particelle,
con una esclusivamente euleriana, il campo di velocità del flusso. La non
linearità delle equazioni (2.4-2.5) rende impossibile il loro uso nello studio
della dispersione, tuttavia, attraverso un’analisi statistica è invece possibile
ricavarne utili informazioni.
Come mostrato dalla formula (2.1), nel caso lagrangiano la posizione
X e la velocità V risultano essere entrambe quantità casuali ed il moto è
descritto da una funzione densità di probabilità (PDF) congiunta delle due
variabili e condizionata alla posizone iniziale.
La giusta correlazione della velocità ad istanti differenti definisce una
transizione tra punti dello spazio delle fasi coerente con la dinamica, conservando
una caratteristica del determinismo del processo e determinado
l’esistenza delle strutture coerenti. Nel caso lagrangiano le quantità evolvono
nel tempo e quindi la struttura che esse determinano preserva le proprie
caratteristiche per un intervallo temporale. La funzione di correlazione della
velocità in due istanti distinti è la quantità principale con cui stimare la
durata di tali strutture coerenti. In generale, il tensore di correlazione è
definito
µij(t1, t2) = 〈Vi(t1; x)Vj(t2; x)〉 . (2.6)
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