UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

Suddiviso l’intevallo [t0, t] in istanti tali che t0 < t1 < t2 < ... < t, allora nell’istante
temporale di valutazione dell’integrale tj la funzione b potrà essere
stimana nel punto ˜ Xt definito Xtj ≤ ˜ Xj ≤ Xtj+1 dove in generale
˜Xj = (1 − λ)Xtj + Xtj+1 , 0 ≤ λ ≤ 1 ,
e l’integrale (3.40) stimato in media quadratica espresso nella forma discretizzata
n
In(λ) = b(tj; (1 − λ)Xtj + λXtj+1
){Wtj+1 − Wtj } (3.41)
=
j=1
n
j=1
b(tj; Xtj
+ λdX){Wtj+1 − Wtj } , (3.42)
con dX = Xtj+1 −Xtj . Una trattazione generale di questo tipo evidenzia che
esistono infiniti modi di stimare un integrale stocastico, tanti quanti sono i
valori di λ. Da un punto di vista pratico però è altrettanto evidente che i
casi maggiormente interessanti per una applicazione in fisica sono quelli per
λ = 0 e λ = 1/2. Nel primo caso, λ = 0, la (3.42) diventa
In(0) = II =
n
j=1
b(tj; Xtj
){Wtj+1 − Wtj } , (3.43)
ed è detto integrale di Ito [58], proposto da K. Ito nel 1942 [53], nel secondo
caso, λ = 1/2,
In(1/2) = IS =
n
j=1
b tj;
Xtj + Xtj+1
2
{Wtj+1
− Wtj } , (3.44)
detto integrale di Stratonovich [58], proposto da R.L. Stratonovich nel 1966
[121].
Sviluppando in serie di Taylor la funzione b si ha
b(tj; Xtj + λdX) = b(tj;
db
Xtj ) + λ dX , (3.45)
dXtj
e valutando dX attraverso l’eq.(3.37) si ottiene
In(λ) =
n
j=1
+λ
+λ
b(tj; Xtj
){Wtj+1 − Wtj } +
n db
adt{Wtj+1 − Wtj } +
dXtj
j=1
n
j=1
db
dXtj
49
b{Wtj+1 − Wtj }2 . (3.46)