UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

consentirebbe: dal punto di vista sperimentale, di convertire le misure euleriane
in quelle lagrangiane; dal punto di vista teorico e modellistico di
descrivere il fenomeno della dispersione con un numero finito di equazioni,
poichè, come mostrato da T.S. Lundgren [72] le descrizioni probabilistiche
delle equazioni di Navier-Stokes sono per loro struttura sottodeterminate e
quindi un numero infinito di equazioni è necessario perchè il problema venga
risolto.
Sebbene sia plausibile che esista una relazione, magari non unica, che
unisca le due statistiche, è estremamente difficile provarla dal punto di vista
teorico. I primi tentativi di determinare tale relazione sono stati di carattere
operativo.
Nel 1959 S. Corrsin [28] propose una formula che legasse tra loro correlazione
temporale lagrangiana e correlazione spazio-temporale euleriana.
Questa formula, nota anche come ‘congettura di Corrsin’ o ‘ipotesi di indipendenza’,
assume l’indipendenza tra lo spostamento delle particelle e la
velocità istantanea del campo [28, 29]. Formalmente l’ipotesi di S. Corrsin
è
µij(τ) → Eij(∆x, τ)p(∆x, τ)d 3 ∆x , (2.9)
dove µij(τ) è la correlazione temporale lagrangiana definita in (2.6), Eij(∆x, τ)
la correlazione spazio-temporale euleriana definita come Eij(∆x, τ) = 〈ui(x+
∆x, t0 + τ)uj(x, t0)〉 e p(∆x, τ) è la probabilità che una particella faccia un
salto ∆x nel tempo τ. Come già evidenziato da S. Corrsin stesso [28, 29],
tale ipotesi risulta essere corretta solo asintoticamente (nella formula (2.9)
esplicitato con una feccia piuttosto che un uguale), cioè per intervalli temporali
lunghi τ → ∞. Tuttavia, per tempi lunghi la correlazione è ormai
nulla e la formula perde valore [83].
Ciò nonostante, questa congettura è stata studiata sperimentalmente
[117], con simulazioni cinematiche [64] ed utilizzata come chiusura in lavori
teorici verificati poi numericamente attraverso DNS [56, 52]. Un’identica
relazione si ottiene nel contesto della teoria statistica di R. Kraichnan
denominata Direct Interaction Approximation [63].
La proposta di F.A. Gifford [42] e J.S. Hay e F. Pasquill [44], invece, si
fonda sull’ipotesi che la correlazione temporale euleriana e quella lagrangiana
coincidano nella loro forma funzionale ma con una diversa scala dei tempi
µii(βτ) = Eii(0, τ) , (2.10)
dove Rii e Eii sono quelli definiti in precedenza e β è il rapporto tra le scale
temporali integrali lagrangiana ed euleriana secondo la definizione (2.7) in
entrambi i casi, β = TL/TE. Nel caso euleriano, la scala temporale integrale
può essere sostituita con il rapporto tra la scala integrale spaziale (stimata
attraverso l’integrale della correlazione spaziale) e la varianza della velocità.
La scala spaziale è una misura per sua natura più pertinente a caratterizzare
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