UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

che esprime, formalmente, l’ipotesi di markovianità.
Dalla teoria delle probabilità si ha che la densità marginale risulta definita
come:
p(un; tn) = dun−1p(un, un−1; tn, tn−1)
= dun−1p(un; tn|un−1; tn−1)p(un−1; tn−1) ,
e, nel caso di densità condizionate,
p(un; tn|un−2; tn−2) = dun−1p(un, un−1; tn, tn−1|un−2; tn−2)
= dun−1p(un; tn|un−1, un−2; tn−1, tn−2) ×
× p(un−1; tn−1|un−2; tn−2) . (3.24)
Così, inserendo l’ipotesi di markovianità (3.23) nella (3.24) si ottiene
p(un; tn|un−2; tn−2) = dun−1p(un; tn|un−1; tn−2)p(un−1; tn−1|un−2; tn−2) ,
(3.25)
detta equazione di Chapman-Kolmogorov. L’equazione (3.25) ha nella formula
(3.5) il suo analogo deterministico, infatti essa esprime il caso degenere
nel quale p(u; t|u0; t0) = δ(u − u(t; u0, t0)), dove δ è la delta di Dirac ([58] p.
76).
Come è evidente dalla derivazione, ogni processo markoviano soddisfa
l’equazione di Chapman-Kolmogorov (3.25), mentre non è vero che ogni
processo che soddisfi la (3.25) sia un processo markoviano.
L’equazione di Chapman-Kolmogorov (3.25) risulta essere l’equazione
principale nei processi stocastici markoviani. Essa tuttavia, espressa in forma
integrale, non consente di estrarre ulteriori informazioni oltre alla stessa
markovianità. E’ possibile ricavare una versione differenziale della (3.25)
detta equazione differenziale di Chapman-Kolmogorov che, di fatto, risulta
essere una Master Equation, cioè un’equazione di evoluzione della densità
di probabilità ([40] p. 48-51).
Data una generica funzione f(z) l’evoluzione temporale del suo valor
medio sarà espressa come
∂〈f〉
∂t
dxf(x)p(x; t|y; s)
1
= lim dxf(x)[p(x; t + ∆t|y; s) − p(x; t|y; s)]
∆t→0 ∆t
1
= lim dxdzf(x)p(x; t + ∆t|z; t)p(z; t|y; s)
∆t→0 ∆t
− dzf(z)p(z; t|y; s)
= ∂
∂t
45
(3.26)