UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

2.3.1 Concentrazione media
Il rilascio di una sostanza in un flusso turbolento è regolato secondo il trasporto
che il flusso esegue di ogni volumetto di fluido, ne segue che vengono
applicati i risultati discussi precedentemente. Ogni volumetto di fluido conterrà
una certa quantità della sostanza immessa nel fluido e quindi ogni
volumetto trasporterà una certa concentrazione di tale sostanza. I risultati
esposti in questo paragrafo seguono la trattazione svolta nel libro [83].
Sia θ(X, t) la concentrazione nel punto X all’istante t, allora è noto che
essa soddisfa l’equazione
∂θ ∂(uiθ)
+ = κ∇
∂t ∂Xi
2 θ , (2.43)
dove κ è la diffusività molecolare. Poichè la concentrazione θ non modifica
il campo di velocità allora u non è funzione di θ e la (2.43) risulta essere
un’equazione lineare rispetto θ.
In presenza di un flusso turbolento, gli effetti sul moto prodotti dalla
diffusività molecolare sono trascurabili [83, 131], così la (2.43) diventa
∂θ ∂(uiθ)
+ = 0 . (2.44)
∂t ∂Xi
Dal punto di vista di quanto analizzato sin qui, questo significa che la concentrazione
contenuta in un volumetto disperso dal flusso rimane sempre la
stessa, in altre parole la concentrazione associata ad ogni punto in moto è
costante.
Data una concetrazione iniziale θ(X, t0) = θ0(X) allora la soluzione dell’equazione
(2.44) al tempo t sarà descritta da un operatore lineare A(u0(X), t),
perchè la (2.44) è lineare, tale per cui
θ(X, t) = A(u0(X), t)θ0(X) . (2.45)
Essendo u0 una quantità casuale ne segue che anche l’operatore A è casuale
e definito da ciascuna realizzazione di u0. Allora, la concentrazione media è
definita dall’equazione
〈θ(X, t)〉 = 〈A(u0(X), t)θ0(X)〉 . (2.46)
Come caso semplice si consideri quello in cui l’intera sostanza venga
rilasciata all’istante t0 nel punto x, cioè essa è tutta contenuta in un solo
volumetto di fluido. In questo caso allora la concentrazione iniziale θ0 risulta
definita come segue
θ0(X) = Qδ(X − x) , (2.47)
dove Q è la misura della quantità di sostanza immessa nel fluido. Inoltre,
poiché la diffusività molecolare è trascurata, la concentrazione associata a
questo unico volumetto si conserva per tutti i tempi e quindi
θ(X, t) = Qδ(X − X(t; x)) , (2.48)
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