UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

da D.J. Thomson [132].
Qui di seguito studieremo questa relazione per il suo ruolo fondamentale
nella classe di modelli socastici lagrangiani studiati in questo lavoro e tale
relazione sarà chiamata formula di Thomson-Novikov.
2.2.1 Formula di Thomson-Novikov
Nel 1987, D.J. Thomson derivò [132] la formula integrale che lega tra loro
densità di probabilità euleriana nello spazio delle fasi e la densità di
transizione lagrangiana.
Considerando lo spazio delle fasi associato al flusso, sia ga(x, u; t) la
densitá di probabilità congiunta della posizione x e della velocità u all’istante
t, allora, dalla teoria delle probabilità, si ha che
ga(x, u; t) = 〈ρ(x, t)〉pE(u; t|x) , (2.11)
dove 〈ρ(x, t)〉 è la PDF marginale delle posizioni e quindi corrisponde alla
densità del fluido, mentre pE(u; t|x) è la PDF euleriana delle velocità
condizionata al punto di misura. Analogamente sia g(x, u; t) la densitá di
probabilità congiunta delle particelle disperse dal flusso.
Per ogni realizzazione del flusso, qui indicata con w, la PDF nello spazio
delle fasi delle particelle sarà
g w
(x, u; t|v) = p w (x, u; t|y, v, s)S w (y, v, s)d 3 yds , (2.12)
s