UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

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= A = A = 0 , +∞ +∞ +∞ rjri exp(−B(r −∞ −∞ −∞ 2 i + r2 j + r2 k )1/3 ) dridrjdrk +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ rj −∞ ri exp(−B(r 2 i + r2 j + r2 k )1/3 )dri drjdrk dove A = (3/(35π 3/2 ))(3/2) 6 (αt) −9/2 e B = 9/(4αt). L’indipendeza statistica è espressa solamente dalla fattorizzabilità della PDF e non dalla correlazione nulla [137].Tuttavia, variabili indipendenti hanno sempre correlazione pari al prodotto delle medie, ne segue che se una delle dua ha media nulla altrettanto lo è la correlazione. Lo schema proposto da L.F. Richardson è coerente con la teoria di Kolmogorov del 1941 [61], confermata dagli esperimenti [93] e dalla simulazioni numeriche dirette (DNS) [13]. Tuttavia, la descrizione di L.F. Richardson della dispersione relativa non è fisicamente corretta sotto due punti di vista concettualmente distinti: il primo dovuto a G.K. Batchelor nel 1952 [10] ed il secondo a S. Corrsin nel 1974 [31]. G.K. Batchelor osservò ([10] p. 359) che il coefficiente di diffusione è per sua stessa definizione una quantità statistica e pertanto non può essere funzione di quantità ottenute dalla singola realizzazione, ne segue, in particolare, che esso non può essere funzione della separazione della singola coppia. Volendo descrivere ed investigare le proprietà statistiche del processo, G.K. Batchelor propose un coefficiente che fosse ancora funzione della separazione ma intesa come separazione quadratica media, conservando il senso statistico del coefficiente di diffusione. Ciò che ottenne fu un coefficiente di diffusione funzione del tempo come segue L’equazione di evoluzione diventa la cui soluzione è la gaussiana 1 p(r; t) = K(t) ∼ 〈r 2 〉 2/3 ∼ t 2 . (2.74) ∂p ∂t = K(t) ∂2p , (2.75) ∂ri∂ri 2πσ 2 r 3/2 exp − r2 2σ2 , (2.76) r dove 〈r2 〉 = σ2 r . Tuttavia, sebbene matematicamente più fondata, la soluzione gaussiana di G.K. Batchelor non è sostenuta dalle evidenze sperimentali. S. Corrsin sviluppò [31] una serie di considerazioni generali sull’applicabilità dell’assunzione che il coefficiente di diffusione sia non omogeneo. Tale assunzione richiede che le scale caratteristiche del meccanismo di trasporto siano piccole confrontate con la distanza sulla quale il gradiente medio 35
delle quantità trasportate cambi apprezzabilmente. Queste considerazioni possono essere applicate anche al caso delle dispersione relativa. Per la natura della dispersione relativa turbolenta, la scala spaziale del meccanismo di trasporto è dell’ordine della separazione delle particelle, essendo queste separate dai vortici di dimensione dell’ordine della loro separazione poiché i vortici maggiori trasportano entrambe senza produrre effetti relativi e quelli di scala minore contengono meno energia e quindi risultano meno efficienti. La formulazine di L.F. Richardson dunque, che definisce un coefficiente di diffusione turbolenta proporzionale alla separazione tra le particelle (2.67), cade immediatamente. Le stesse considerazioni di S. Corrsin erano state evidenziate in precedenza da G.K. Batchelor nel 1950 [8] per evidenziare l’inconsistenza fisica della cosiddetta teoria della lunghezza di mescolamento (Mixing-Length theory) in turbolenza; l’argomento è di nuovo discusso in [131]. Inoltre si può evidenziare che la formulazione di L.F. Richardson del problema della dispersione relativa in un flusso turbolento è indipendente dalle caratteristiche del campo di velocità che invece è il primo artefice del trasporto. Questa inconsistenza fisica della formulazione di L.F. Richardson, che tuttavia risulta però verificata sperimentalmente e numericamente, rende la dispersione relativa un campo di indagine ancora aperto nei suoi aspetti di base. Un approccio al problema che riproduca le corrette leggi dovute a L.F. Richardson (2.67-2.72) ed allo stesso tempo risulti consistente con le osservazioni di G.K. Batchelor [10] e S. Corrsin [31] è ancora mancante. Questa mancanza ha motivato, assieme ad altre ragioni già esposte, l’approfondimento dei modelli di dispersione relativa rispetto a quelli di dispersione assoluta. La classe dei modelli qui analizzati definisce un coefficiente di diffusione che risulta essere funzione della PDF euleriana delle velocità, soddisfacendo quindi sia all’osservazione di G.K. Batchelor che a quella di S. Corrsin. 2.4.2 Fluttuazioni di concentrazione La conoscenza delle fluttuazioni di concentrazione risulta, spesso, di importanza pratica maggiore di quella della concentrazione media. Infatti, in certi casi, è possibile che la concentrazione media, di una data sostanza, sia sotto un livello di soglia definto, ad esempio, dalla sua nocività o dalla concentrazione necessaria perchè una certa reazione si attivi, ma possono avvenire fluttuazioni rispetto a questo valor medio tali da superare la soglia definita e/o innescare una reazione. Considerando la scomposizione (2.55) si osserva che la varianza delle fluttuazioni di concentrazione corrisponde a 〈θ ′2 〉 = 〈θ 2 〉 − 〈θ〉 2 , (2.77) 36
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e quindi la coppia r 2 ∂2h ∂h +
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[12] L. Biferale, G. Boffetta, A. C
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[39] U. Frisch and S. A. Orszag. Tu
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[68] O. A. Kurbanmuradov, K. K. Sab
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[97] A. La Porta, G. A. Voth, A. M.
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[125] F. Tampieri, A. Maurizi, and
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