UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

e, poichè 〈θ〉 è noto da (2.52-2.53), occorre determinare 〈θ 2 〉.
Si consideri, come nel caso precedente (paragrafo 2.3.1), la concentrazione
al tempo iniziale t0 in due punti x1 e x2 definita come segue
θ0(X1) = Q1δ(X1 − x1) , (2.78)
θ0(X2) = Q2δ(X2 − x2) , (2.79)
dove Q1 e Q2 rappresentano la misura della concentrazione di una sostanza
presente nei volumetti di fluido, centrati rispettivamente in x1 e x2 all’istante
t0, di cui si vuole conoscere la fluttuazione di concentrazione. Trascurando
ancora una volta la diffusività molecolare, al tempo t i due volumetti trasportanti
quantità Q1 e Q2 di sostanza saranno nei rispettivi punti X1(t; x1)
e X2(t; x2) ciascuno con la stessa quantità di sostanza dell’istante iniziale t0
e quindi
θ(X1, t) = Q1δ(X1 − X1(t; x1)) , (2.80)
θ(X2, t) = Q2δ(X2 − X2(t; x2)) . (2.81)
Considerando l’operatore lineare A (2.45) per ciascun volumetto e mediando
si ottiene
〈θ(X1, t)θ(X2, t)〉 = 〈A[u0(X1), t]A[u0(X2), t]〉θ0(X1)θ0(X2) , (2.82)
dove, come in precedenza, la concentrazione iniziale è grandezza indipendente.
Dalle formule (2.80-2.81) si ha che la parte a sinistra dell’uguale in
(2.82) risulta essere
〈θ(X1, t)θ(X2, t)〉 = Q1Q2p(X1, X2; t|x1, x2, t0) , (2.83)
dove si è fatto uso della definizione
〈δ(X1 − X1(t; x1))δ(X2 − X2(t; x2))〉 = p(X1, X2; t|x1, x2, t0) .
Sostituendo le formule (2.78-2.79) nella parte a destra dell’uguale in (2.82)
si giunge all’identità
〈A[u0(X1), t]A[u0(X2), t]〉δ(X1 − x1)δ(X2 − x2) = p(X1, X2; t|x1, x2, t0) ,
(2.84)
da cui segue che, se Q1 e Q2 sono valori arbitrari, per la linearitá dell’operatore
A è possibile applicare il principio di sovrapposizione e quindi ottenere,
in analogia con la formula (2.52),
〈θ(X1, t)θ(X2, t)〉 = 〈A[u0(X1), t]A[u0(X2), t]〉θ0(X1)θ0(X2)
= p(X1, X2; t|x1, x2, t0)θ0(x1)θ0(x2)d 3 x .(2.85)
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