UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

cioè, direttamente proporzionale a τη e, quindi, inversamente proporzionale
a Re. Così dalla (3.4) segue che nell’intervallo inerziale per numeri di Reynolds
molto grandi (Re → ∞) le accelerazioni di una particella al tempo
t ed al tempo t + τ risultano essere praticamente decorrelate, sebbene le
velocità, invece, risultino correlate in modo non trascurabile fino ad intervalli
temporali maggiori del tempo scala lagrangiano TL. Questa differenza
è spiegata dal fatto che l’accelerazione lagrangiana è determinata in larga
parte dalle scale più piccole del moto mentre la velocità da quelle più grandi
([84] p. 370). Quindi, la correlazione temporale dell’accelerazione lagrangiana
si estende per una scala di tempo dell’ordine di quella di Kolmogorov
τη, evidenziando il fatto che essa è generata dalla viscosità ([84] p. 368-374).
In altre parole, questo significa che lo stato dinamico del sistema in due
istanti t e t + δs con δs ≫ τη è determinato da due quantità statisticamente
indipendenti.
La formula (3.4) suggerisce quindi che, per intervalli temporali maggiori
di quello di Kolmogorov τη e quindi per particelle fuori dall’intervallo viscoso,
si può ipotizzare l’indipendenza tra le forzanti in due distinti istanti di
tempo, t e t + δs con δs ≫ τη, concludendo che la velocitá all’istante t + δs
dipende solamente dallo stato del sistema all’istante t. Inoltre, per numeri di
Reynolds molto grandi (Re → ∞) l’estensione dell’intervallo viscoso diventa
trascurabile.
Si consideri l’ordinaria equazione differenziale ([58] p. 75-76)
o nella sua forma integrale
du
dt
u(t) = u0 +
= a(t, u) ,
t
t0
a(s, u(s))ds ,
e sia la funzione u(t) = u(t; u0, t0) una sua soluzione che soddisfa la condizione
iniziale u(t0) = u0. In generale, le soluzioni rispettano la proprietà di
evoluzione
u(t; u0, t0) = u(t; u(s; u0, to), s) , (3.5)
per tutti gli istanti t0 ≤ s ≤ t. La (3.5) esprime il fatto che il futuro, u(t),
è determinato completamente dal presente u(s) ed il passato, u0, interviene
nella misura in cui influenza il presente.
Considerata una discretizzazione dell’asse dei tempi per cui s − t0 =
t − s = δs ≫ τη, si ottiene che all’istante t la velocità u risulta determinata
solamente da ciò che è accaduto ad un solo istante precedente, perchè, come
già detto, le accelerazioni in due istanti separati δs ≫ τη risultano costituire
due processi statisticamente indipendenti. Un processo che soddisfa
questa proprietà è detto ad ‘incrementi indipendenti’ e, con la terminologia
dei metodi stocastici, questo postulato, o assunzione, è detto ipotesi di
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