UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI URBINO, “Carlo Bo”

coincidente con la densità media del fluido S(y, s) = δ(s)〈ρ(y, s)〉, la (2.17)
si riduce alla formula di E.A. Novikov [86, 95]
〈ρ(y, s)〉pL(u, x; t|y)d 3 y = 〈ρ(x, t)〉pE(u; t|x) . (2.18)
La formula (2.18) è stata derivata da E.A. Novikov per sostituzione dalle
definizioni:
pE(u; t|x) = 〈ρ(x, t)〉 −1 〈ρ(x, t)δ(u − uE(x, t))〉 ,
pL(u, x; t|y) = 〈ρ(y, s)〉 −1 〈ρ(y, s)δ(u − uL(t; y))δ(x − xL(t; y))〉 ,
considerando i contorni del flusso indipendenti dal moto delle particelle e
che
Dy ρ(x, t)
=
Dx ρ(y, s) ,
dove Dy/Dx è lo jacobiano dell’evoluzione lagrangiana di ciascuna traiettoria
da y a x e viceversa.
Nel caso di un fluido incomprimibile, si ha
Dy ρ(x, t)
= = 1 , (2.19)
Dx ρ(y, s)
dalla quale 〈ρ(y, s)〉 = 〈ρ(x, t)〉 e la (2.19) corrisponde all’equazione di
continuità in coordinate lagrangiane ([83] p. 527-535). Dalla (2.18) si ottiene
pL(u, x; t|y)d 2 y = pE(u; t|x) , (2.20)
derivata da E.A. Novikov nel 1969 [85].
2.2.2 Cambio di variabili per la formula di Thomson-Novikov
Considerando un generico cambio di variabili per le variabili casuali dinamiche
associate al nostro problema definito come {u, v, x, y} → {u ′ , v ′ , x ′ , y ′ },
tale percui lo jacobiano della trasformazione di ciascuna variabile sia Jx, Ju,
Jy e Jv, allora, l’equazione di continuità (2.19) diventa
Dy ′
Dx ′ = ρ′ (x ′ , t)
ρ ′ (y ′ Jy
= . (2.21)
, s) Jx
La PDF g ′ a delle nuove variabili aleatorie sarà una funzione che normalizza
se integrata rispetto le proprie variabili e quindi
g ′ a (x′ , u ′ ; t)d 3 dx ′ d 3 u ′ = 1 , (2.22)
così dalla (2.11) si ha
g ′ a (x′ , u ′ ; t) = Jx〈ρ(x ′ , t)〉p ′ E (u′ ; t|x ′ ) . (2.23)
La (2.23) sarà importante nel capitolo 4.
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