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18 £ £ è l’autofunzione dell’impulso (corrispondente all’autovalore ) nella rappresentazione delle coordinate, cioè Ma quindi possiamo riscrivere l’eq. (2.14) come £ - - - £ - L’integrale che figura nell’eq. (2.16) è¥¦ e può essere calcolato facilmente usando la ben nota formula Otteniamo £ - © exp © ¢ A questo punto è conveniente porre © - 14 Va tenuto presente che nell’eq. (2.17) sia che sono numeri , per cui è necessario effettuare una continuazione analitica. Essa è a valori, dando così luogo ad una ambiguità di fase. Si ottiene tuttavia il risultato corretto anche procedendo in modo ingenuo. Questo punto è spiegato in: B. Felsager, (Odense University press, Odense, 1981).
Inserendo l’eq. (2.18) nell’eq. (2.10) ed usando le eq. (2.3) e (2.19) abbiamo infine l’espressione¥ ¥¨ del propagatore infinitesimo exp - £ £ - Questa espressione del propagatore infinitesimo è stata suggerita per la prima volta da Dirac . Non era invece chiaro a Dirac come ottenere il propagatore relativo ad un intervallo di ¦¥§¨ tempo . Oggi sappiamo ¢ – ¥¢¦¦ – che è dato da ¥§¦¦¥¨ ¦ ¥ ¦©¥ del propagatore infinitesimo, secondo l’eq. (2.9) (come abbiamo visto, ciò ¢¥§¨ deriva dalla formula di Trotter). Esplicitamente, è ora sufficiente inserire £ £ – dato dall’eq. (2.20) – nell’eq. (2.9) : Ma lim £ £ exp - £ exp - exp - £ - £ ¢¢ £ 19 15 P. A. M. Dirac, Phys. Zeit. der Sowjetunion 3, 64 (1933). Questo articolo è ristampato in: , J. Schwinger ed. (Dover, New York, 1958). Si veda anche: P. A. M. Dirac,¡ (IV §£ ed.) (Boringhieri, Torino, 1959), cap. 32. 16 È a questa circostanza che si riferisce l’aneddoto riportato nella nota 6 (ritorneremo su questo punto nel capitolo 4). 17 È evidente dall’eq. (2.19) che il limite implica 0 (e viceversa), in quanto l’intervallo di tempo considerato è © . Per maggior chiarezza indicheremo entrambi i limiti, nonostante essi siano indipendenti.
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