I CAMMINI DI FEYNMAN - Pavia Fisica Home Page

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particella segua “tutti i cammini simultaneamente”! In realtà, la mancanza di
un’interpretazione fisica intuitiva per questi cammini non deve stupire: infatti
è ben noto che in meccanica quantistica ¦ ¦ si possono attribuire proprietà
fisiche ben definite ad oggetti¦ ¦ ¡¨¥ .
2.6 – Una precisazione è ora quanto mai opportuna. Da quanto detto,
il lettore potrebbe farsi l’idea che ¥§¦¥¥¢¦¦ i – vale a dire quei
cammini che ¢¨¨¥§¦©¨ contribuiscono nell’eq. (2.31) – ¨¨¨ siano
funzioni
le
.Ciò è ! Si può infatti dimostrare (si veda
l’articolo tradotto) ¨¦©¨ che quei particolari cammini che godono della
proprietà
(
Un modo euristico per rendersi conto di questo fatto è di ritornare
scrivendo
all’eq. (2.23),
(come spiegato nel paragrafo 2.3). È evidente che nel
limite si ottiene un ¦¥¨ risultato solo nel caso in cui la grandezza
¦¥¨ si mantiene , ma ciò implica proprio l’eq. (2.42).
molto piccolo) danno un contributo¦ ¦ ¦©§ all’integrale di Feynman.
È altresì chiaro che il contributo di che¦ ¦ cammini soddisfano l’eq. (2.42)
scompare nel limite se
( diverge, il meccanismo per
cui ciò avviene è molto simile a quello considerato nel paragrafo successivo).
Ora, l’eq. (2.42) implica che la funzione – seppur continua ¦ ¦ – sia
differenziabile per alcun di valore . Concludiamo che i cammini di
sono ¨¨¥ Feynman
con dimensione di Hausdorff uguale a . Qualitativamente,
essi sono identici alle traiettorie a zig-zag tipiche del moto browniano
(ritorneremo su questo punto in seguito). Osservando tali traiettorie, si nota
immediatamente il loro carattere fluttuante: esse appaiono come se il punto
rappresentativo fluttuasse casualmente intorno ad una traiettoria liscia. È facile
rendersi conto che questo ¡ fatto proprio dall’eq. (2.42). Consideriamo
infatti una curva¥ ¥ , vale a dire una funzione¥¦¥ ¥§ del tempo.
Avremo allora (per
molto piccolo)
mentre per i cammini di Feynman dall’eq. (2.42) segue
36 Vogliamo mettere in chiaro che£§ la discussione fatta nel presente Quaderno si riferisce
(salvo§ avviso) a sistemi quantistici osservati.
37 Il concetto di è entrato ormai nella cultura scientifica di ogni fisico. Un’esposizione
divulgativa è contenuta in: B. Mandelbrot, ¡ (Einaudi, Torino, 1987).
38 Si noti che questo fatto è in contraddizione col postulato F1. Semplicemente, l’ampiezza
che si muova lungo molti dei cammini possibili è di fatto .