I CAMMINI DI FEYNMAN - Pavia Fisica Home Page

48
exp
è data dalle eq. (3.45) e (3.46).
A questo punto la ¥¥¦£ fra gli integrali di Wiener e di Feyn-
ove
man è evidente, ed essa verrà considerata più in dettaglio nel prossimo paragrafo.
Osserviamo che al primo si applicano molte delle considerazioni fatte
a proposito del secondo. L’eq. (3.48) va intesa come limite di un’espressione
discretizzata – proprio come nel caso dell’eq. (2.31) (la discussione fatta nel
paragrafo 2.3 può essere ripetuta qui quasi alla lettera) – ed è importante sottolineare
che in tale discretizzazione va ¦©¨ ¥
calcolato nel
che contribuiscono¢¨¨¥§¦©¨ nell’eq. (3.48) – godono della proprietà
. Ancora, i ¥§¦¥¥ ¥¦¢ – cioè quei cammini
per sono ¨¨¥ cui con dimensione di Hausdorff a© uguale . Abbiamo
visto che la proprietà (3.49) per i cammini di Feynman è equivalente al
principio di indeterminazione. Esiste forse un principio di indeterminazione
92 Qui la situazione 觡 a quanto avviene per l’integrale di Feynman
con azione classica (2.33) (si ricordi quanto è stato detto al proposito nel paragrafo 2.6), e
[ ( )] ˜ è più un integrale di Riemann. L’unica differenza è che nel presente contesto
si può attribuire un matematicamente¢ significato a [ ( ˜ )] interpretandolo come
. Questi integrali sono ancora definiti come limite di somme di
Cauchy-Riemann, però¢ dalla particolare discretizzazione che è stata scelta (nel
§
caso in questione ciò è conseguenza dell’eq. (3.49)). Anche esistono se infiniti modi
di scegliere una discretizzazione, ve ne sono solamente due che hanno un reale interesse.
Una scelta consiste nel calcolare il valore nei£ dell’integrando degli intervalli
infinitesimi e l’§ definisce (esso regole soddisfa da quelle dell’usuale
calcolo integrale). L’altra scelta corrisponde ai£ degli intervalli infinitesimi (in
cui è calcolato il valore dell’integrando) e dà luogo all’ (per
il quale le§ valgono regole dell’ordinario calcolo integrale). Quindi la nostra scelta
è di interpretare [ ( ˜ )] nell’eq. come (3.48) . Osserviamo
che, se invece preferissimo la scelta “alla Itô”, dovremmo omettere il secondo termine nella
lagrangiana di Wiener (3.46) al fine di lo§ ottenere risultato. Gli integrali stocastici
sono discussi in tutti i testi avanzati di teoria dei processi stocastici. Si veda ad es.: H. P.
(Academic Press, New York, 1969).
93 Si veda la nota 37.
McKean,§
94 Nel contesto dell’integrale di Wiener, funzioni che godono della proprietà (3.49) vengono
anche dette ¡£ . Questo argomento è discusso ad es.
nel testo di McKean citato nella nota 92.
95 Analogamente a quanto avviene per l’integrale di Feynman, ciò è in contrasto col
postulato W1: la probabilità che Σ si muova lungo molti cammini possibili risulta
essere .