I CAMMINI DI FEYNMAN - Pavia Fisica Home Page

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vada calcolato . Abbiamo visto che nel caso dell’azione classica
(2.28) tale sommatoria è una tipica somma di Cauchy-Riemann che definisce
come¥§¦©¨¥¥¢¦¦
Chiaramente,¡ . questa circostanza con-
tinuasse ad essere vera, il risultato ¦ ¦ dovrebbe dipendere dalla particolare
di scelta : questa è infatti una proprietà fondamentale dell’integrale di Riemann.
Notiamo in particolare che le due somme corrispondenti alle due situa-
estreme zioni differiscono per termini .
e
cui
tali per – esse differirebbero
bero¥§¥§¢¦©¨¥ per termini
in quanto infinitesimi di ordine superiore. Sappiamo però che
per i cammini di Feynman vale la proprietà (2.42), quindi le due somme suddette
differiscono in realtà per termini ¦©¨¥ ¥ ¦ , che al risultato.
Siamo così giunti ad un’importante conclusione. Da un punto di vista matematico,
vediamo che nel caso dell’azione classica (2.33) l’integrale d’azione che
i cammini di Feynman fossero funzioni¥¢¦¥ ¥¥ del tempo – cioè , che sareb-
Ora,¢
figura (2.31)¦ ¦ nell’eq. è più un integrale di Riemann, perché le somme che
definiscono¥©¦ ¦ lo dalla particolare di scelta (si tratta di un oggetto
molto agli¥¦¨¥¨ ¨¥ ¥ simile che incontreremo nel paragrafo 3.9). Sul
piano fisico, (2.31)¦ ¦ l’eq. fornisce più il propagatore quantistico in ¦¥§ modo
, dato che è necessario specificare in che modo scelto
vada
nella
discretizzazione che la definisce – ecco come le ambiguità di quantizzazione
nascono nell’approccio Feynman di !
2.7 – È ben noto che la meccanica quantistica contiene la meccanica
classica come caso limite. Ciò significa che quando - risulta ¨ ¥§¦
di qualunque altra grandezza in gioco (avente le dimensioni di un’azione), gli
effetti quantistici scompaiono ed il comportamento classico emerge.
Un vantaggio della formulazione di Feynman è di permettere una prensione¥§¦©¨¥§¨¥§com- del limite classico.
Fissiamo l’attenzione sull’eq. (2.31) e supponiamo che in una situazione
specifica si abbia
per la ¡ cui che compare nell’integrale di Feynman è un ¨
¦ numero
. Consideriamo due¢¦¥ ¥ cammini e ora tali che la loro
-
sia ¨ ¥ su scala ¥ . Corrispondentemente
anche la grandezza
distanza sarà ¨ ¥ se misurata
42 Esiste un teorema dovuto a Berezin (F. A. Berezin, Theor. Math. Phys. 6, 194 (1971))
che stabilisce una¡££§¢£ fra le ambiguità di quantizzazione nel
formalismo operatoriale e nel formalismo di Feynman. In particolare, esso asserisce che la
prescrizione del (come osservato nel paragrafo 2.3, essa preserva la gauge
invarianza per l’azione classica (2.33)) corrisponde alla quantizzazione operatoriale con
(M. Mizrahi, J. Math. Phys. 16, 2201 (1975). Si veda anche: T.
D. Lee,£ (Harwood, New York,
1981)).