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22 Naturalmente quanto detto vale per arbitrario. Consideriamo ora il limite ( ). Al crescere di una spezzata £ ¢¢¢ approssima vieppiù una curva continua (con gli stessi estremi), fino a coin- ¢¢ cidere con questa nel limite . Pertanto £ l’insieme lo¥ ¥ ¥§¦¥ diventa , cioè l’insieme delle funzioni continue (reali) con fissi , estremi . Quindi nel limite l’eq. (2.29) da somma £ su una diventa su . È altresì che evidente lim £ £ ¢¢£ ¨ ¢¢¢ cosicché dalle eq. (2.25), (2.29) e (2.30) otteniamo exp - avendo posto (molto formalmente!) lim £ Le due funzioni delta di Dirac nell’eq. (2.31) servono unicamente ad indicare in modo esplicito che si sta sommando su . Molto spesso, la rappresentazione di Feynman del propagatore quantistico è scritta proprio (2.31) nella forma . Siamo così giunti in modo naturale al “ ¥ ¥§¦¥ concetto come¥¥¨¥¥¦¦¥¨¥¥¦¨¥ ¥¦¥ di ” . È invalso l’uso di parlare a questo ¥¦©¨¥¦¦ proposito di (uso a cui del resto anche noi ci siamo attenuti). Va però precisato che tale ¥§ ¥ denominazione è , perché - £ £ 21 Si noti che [Γ ( ( ) )] è una somma di Cauchy-Riemann. Inoltre [ ( )] nel secondo membro dell’eq. (2.30) è un . Avvertiamo però il lettore che questo secondo fatto è una conseguenza del primo (questo punto verrà chiarito nel paragrafo 2.6). 22 Per ovvi motivi, l’eq. (2.31) è spesso detta forma¡ dell’integrale di Feynman. Ne esiste anche una (equivalente) forma . Strutturalmente, quest’ultima è molto simile all’eq. (2.31), ma vi sono due differenze essenziali: (i) i sono ora funzioni a valori nello¡ (anziché nello spazio delle configurazioni); (ii) l’azione [ ( )] scritta in termini della lagrangiana è sostituita dalla (stessa) azione [ ( ) ( )] definita sullo spazio delle fasi, in cui compare l’ . Oltre al già citato testo di Schulman, si veda anche: C. Garrod, Rev. Mod. Phys. 38, 483 (1966).
esso ¦ ¦ è (da un punto di vista matematico) un’integrale su uno spazio di funzioni (integrale funzionale). Più semplicemente, in questo contesto la parola integrale (ed il relativo simbolo) è da intendersi come sinonimo di (su un insieme di funzioni). Ulteriormente – per quanto suggestiva l’eq. (2.31) possa apparire – va ricordata l’osservazione fatta alla fine del paragrafo precedente. Benché l’eq. (2.31) sia stata derivata qui nel caso unidimensionale in cui è presente solo un potenziale scalare stazionario , essa vale anche nel caso multidimensionale per un’azione classica del tipo L’eq. (2.31) corrispondente a quest’ultima forma dell’azione classica va ancora definita come limite di un’espressione discretizzata, molto simile a quella che figura nell’eq. (2.23). Vi è però un’¥§ ¢¨¦©¨¥¢¢¦¡ . Nell’espressione (2.20) del propagatore infinitesimo fra e , è calcolato in . Ora invece va calcolato nel¦©¨ ¥¦¨¥ nell’analoga espressione del propagatore infinitesimo. Ciò si riflette nell’identica prescrizione per quanto concerne la forma discretizzata dell’eq. (2.31) (simile all’eq. (2.23)) (a questo proposito si veda l’articolo tradotto). 23 Ciò è stato dimostrato in: R. H. Cameron, J. Math. and Phys. 39, 126 (1960). Sottolineiamo che le difficoltà matematiche menzionate all’inizio del paragrafo 2.2 traggono origine proprio da questo fatto. 24 È immediato accorgersi che questa azione classica ha la forma tipica dell’interazione di una particella con un campo elettromagnetico o gravitazionale esterno nell’approssimazione semirelativistica. In realtà, l’eq. (2.31) vale anche per azioni classiche [ ( )]¡ dell’eq. (2.33). Un esempio è quello di spazio delle configurazioni£ . Rimandiamo il lettore al testo di Schulman. È opportuno tenere presente che l’eq. (1.11) vale se dipende dal tempo (invece l’eq. (1.14) ha validità generale). 25 L’origine matematica di questo fatto verrà spiegata nel paragrafo 2.6. Discutiamo qui l’hamiltoniana invece il © suo (si tratta di una tipica situazione in cui una difficoltà 23 £ matematica ha una radice fisica). Un problema che ha preoccupato i fondatori della teoria quantistica è l’esistenza delle cosiddette . Si supponga che nell’hamiltoniana compaia un termine in cui l’impulso è moltiplicato per una funzione delle coordinate (questo è effettivamente quanto avviene nel caso descritto dall’azione (2.33)). Come è ben noto, la corrispondente hamiltoniana si ottiene sostituendo gli operatori alle grandezze classiche. Ora, gli operatori posizione e impulso commutano, quindi vi sono¡ hamiltoniane quantistiche distinte associate alla§ hamiltoniana classica. Senza ulteriori argomenti (ritorneremo su questo punto più avanti in questa nota) è privo di significato chiedersi quale di esse sia l’hamiltoniana “giusta”, perché esse sono concettualmente sullo stesso piano, nonostante portino a risultati diversi. Qual’è l’origine di queste ambiguità? Storicamente, vi è stata una notevole confusione al proposito. Inizialmente si riteneva che esse una££ fossero dell’uso degli operatori.
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