Introduzione ai modelli lineari - Analisi statistica ... - Docente.unicas.it

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Introduzione aimodelli lineariA. IodiceRegressione lineare multipla: notazione matricialeSecondo la formalizzazione matriciale, il modello èη = XβRegressione linearesempliceModello diregressione linearemultiplaObiettivi dellaregressionedove η è un vettore di N elementi contenente i valori della funzione diregressione η 1 , η 2 , . . . , η N .Dunquey = Xβ + edove e è il vettore dei residui tra la variabile di risposta y e il modello lineareη = Xβ
Stima dei minimi quadratiL’obiettivo è trovare β che minimizzi la somma dei quadrati dei residui,formalmentemin βRSS = min β⎛∑ N p∑⎝y i − β 0 −⎞2x ij β j ⎠ = (y − Xβ) T (y − Xβ)i=1j=1(= y T − β T X T) (y − Xβ) = y T y − y T Xβ − β T X T y + β T X T XβIntroduzione aimodelli lineariA. IodiceRegressione linearesempliceModello diregressione linearemultiplaObiettivi dellaregressioneLa condizione del primo ordine è)∂ β RSS = ∂ β(y T y − y T Xβ − β T X T y + β T X T Xβ =ricordando che ∂xT a∂x= ∂aT x= a, dove a è costante∂x) ( )analogamente, ∂ β(y T Xβ = ∂ β β T X T y = X T y, quindi∂ β RSS = −2X T y + 2X T Xβ = 0∂ β RSS = −X T y + X T Xβ = 0 → β =(X T X) −1X T y
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Page 3 and 4: Modello di regressione lineare semp
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