Wave Mechanics in One Dimension - ภาควิชาฟิสิกส์

More documents

Recommendations

Info

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-14และเมื่อเราใชเอกลักษณทางคณิตศาสตรของ Dirac delta function ที่วา δ ( p − p′ ) = δ ( p′− p)และ ∫ dx f ( x ) δ ( x − x 0) = f ( x 0)จะไดวาp pˆ x ϕ( p)Ψ = ____________________ สมการ (6.34)มาถึงขั้นนี้ นักศึกษาตองสังเกตใหเห็นความแตกตางอยางชัดเจนระหวางสมการ (6.27) ซึ่งดูเหมือนวาmomentum operator p ˆ x เมื่ออยูภายใต position space อยูมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปน differential ∂operator ซึ่งกระทําอยูกับฟงชันก ψ ( x)i ∂ xในขณะที่สมการ (6.34) บงบอกวา momentum operator p ˆ x เมื่ออยูในบริบทของ momentum spaceแลว จะมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปนเพียง identity operator (ตัวเลข 1) ซึ่งคูณอยูกับฟงชันก ϕ ( p)ความแตกตางดังกลาว เปนหลักฐานชิ้นสําคัญซึ่งจะทําใหเราตระหนักวา operator ตางๆที่ไดเคยศึกษามาใน quantum mechanics เบื้องตนซึ่งใช Schrödinger equation เปนหลักนั้น แทจริงแลวเปนการเขียน operator ที่แสดงออกมาภายใตกรอบของ position space เทานั้นเองในคราวนี้เราจะมากลาวถึงเอกลักษณทางคณิตศาสตรสําคัญอีกอันหนึ่ง ซึ่งจะถูกนํามาประยุกตใชงานในอนาคต นั่นก็คือ เราจะพิสูจนวาx p=1e2πipx____________________ สมการ (6.35)พิจารณาจะไดวาx pˆ x p = p x p นอกจากนี้ ถาพิจารณาสมการ (6.27) และกําหนดให Ψ = p ∂x pˆ x p = x pi ∂xเพราะฉะนั้นแลวp x p ∂=i ∂xx p____________________ สมการ (6.36)เนื่องจาก x p มีสถานะภาพเปนฟงชันก ทําใหสมการ (6.36) ก็มีสถานะภาพเปน differentialequation ธรรมดา ซึ่งมีผลเฉลยของสมการคือx pipx= Neเมื่อ N คือคาคงที่ ____________________ สมการ (6.37)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-15โดยที่เราสามารถคํานวณคาคงที่ N ไดจากการพิจารณาสถานะ p ซึ่งก็ไมตางจากสถานะทั่วๆไปที่เราสามารถเขียนอยูในรูปของ linear superposition ใน position spacep = ∫ dx( x p ) x เมื่อ คือ x p probability amplitudeและเมื่อนํา bra p′ เขามาประกบทั้งสองขางของสมการ จะไดวา p′ p = ∫ dx x p p′xแตจากสมการ (6.33) p′ p = δ ( p′− p)เพราะฉะนั้นδ ( p′ − p)= dx x p p′x=∫∫2= Ndx x p∫∗x p′i( p−′dxe)p xDirac delta function ที่ปรากฏอยูทางซายมือของสมการขางตน มีรูปแบบทางคณิตศาสตรที่เปนไปไดอยูหลายรูปแบบ ยกตัวอยางเชนfunction ดังกลาวนี้δ ( x)+∞1 + ikxdke2π−∞= ∫ และเมื่อใชคํานิยามของ Dirac delta12π∫⎛ x ⎞ ( ′ − ) 2d e N dxe( − ′=)⎜ ⎟∫⎝⎠i p p x i p p xดวยเหตุนี้เอง ทําใหN =ดังแสดงในสมการ (6.35)12πและเมื่อผนวกกับสมการ (6.37) ก็จะไดความสัมพันธ x pการนําเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.35) มาประยุกตใชงานนั้น ก็ไดแกการเปลี่ยนจากprobability amplitude ซึ่งแตเดิมอยูใน position space ψ ( x)ใหกลายมาเปน momentum spaceϕ ( p)โดยสมมุติวาเราทราบขอมูลของอนุภาค และ probability amplitude ที่มันจะอยู ณ ตําแหนงตางๆกันคือΨ =∫dxψ( x)xDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Page 2 and 3: Quantum Mechanics ระดับ
Page 13: Quantum Mechanics ระดับ

Wave Mechanics in One Dimension - ภาควิชาฟิสิกส์

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?