Wave Mechanics in One Dimension - ภาควิชาฟิสิกส์

More documents

Recommendations

Info

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-32สมการ (6.79) ก็คือ Schrödinger equation ใน position space ซึ่งเปนตนกําเนิดสําคัญของ quantummechanics เบื้องตนที่นักศึกษาคุนเคยเปนอยางดี และโดยปรกติแลว การที่จะไดมาซึ่งผลเฉลยψ ( x, t)ก็ทําไดโดยการแกสมการอนุพันธอันดับสองของสมการดังกลาวนอกจากนี้ ψ ( x, t)ยังอาจจะหาไดโดยการใชความสัมพันธiE t− n() t cne εnnΨ =∑ดังที่ปรากฏใน Section 4.6 ของบทที่ 4 ซึ่งถาเราใชคํานิยาม Ψ () t =∫ dxψ( x,)t x และนําสถานะ bra x′ เขาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะพิสูจนไดวาเมื่อ ψ ( ) เปน eigen function ของสมการn xiE t− nψ ( x, t) cne ψ n( x)n= ∑ ______________ สมการ (6.80)2 2 ∂− ( ) ( ) ( ) ( )2 2 n x V x n x En n xm x ψ + ψ =∂ψ______________ สมการ (6.81)ในบางครั้งเราเรียกสมการ (6.81) นี้วา time independent Schrödinger equation ดวยเหตุที่วาเปนสมการอนุพันธที่ไมขึ้นกับเวลา และสําหรับการคํานวณหา wave function ψ ( x, t)ของระบบก็จะกระทําเปนขั้นตอนโดยสังเขปคือ1. กําหนดพฤติกรรมของระบบโดยการนิยาม V( x )2. กําหนดสถานะเริ่มตน ณ เวลา t=0 ของระบบ ซึ่งแทนดวย probability amplitude ψ ( xt , = 0)3. แกสมการ time independent Schrödinger equation เพื่อหาเซตของ eigen function { ψ n( x )}และeigen energy { E n}∗4. คํานวณสัมประสิทธิ์ cn= ∫ dxψn( x) ψ( x, t = 0)iE t− n5. ψ ( x, t) = cne ∑ ψ n( x)nDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-33Schrödinger Equation in Momentum Spaceในการสรางสมการ Schrödinger ใน momentum space เราจําเปนตองเริ่มดวยการศึกษาเอกลักษณทางคณิตศาสตร pxΨ ˆ กันเสียกอน พิจารณาpxˆΨ = pxˆ1ˆ Ψ= dx p xˆx x Ψ=∫∫dx p x xψ( x)______________ สมการ (6.82)ในสมการขางตน เราใช identity operator ที่เขียนอยูในรูปของ ˆ1 = ∫ dx x x ใหเปนประโยชนนอกจากนี้ เทอม p x x ยังสามารถเขียนใหอยูในรูปของ(6.35) เปนตัวอางอิง แตx1e2π−ipxโดยใชสมการ1 −ipx 1 ∂x e = ie2π2π∂p−ipx______________ สมการ (6.83)และเมื่อแทนสมการ (6.83) เขาไปในสมการ (6.82) จะไดวา1 ∂ˆ−ipxp x Ψ = dxi e ψ ( x)2π∫ ∂p∂ 1 −ipx= idxe ψ ( x)∂p2π∫ ϕ( p)เพราะฉะนั้นแลว∂p xˆ Ψ = i ( p)∂p ϕ ______________ สมการ (6.84)สมการ (6.84) แทบจะเรียกไดวามีความสัมพันธควบคูไปกับสมการ (6.27) เลยทีเดียว และในขณะนี้เราก็พรอมที่จะ derive สมการ Schrödinger ใน momentum spaceDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Page 2 and 3: Quantum Mechanics ระดับ
Page 31: Quantum Mechanics ระดับ

Wave Mechanics in One Dimension - ภาควิชาฟิสิกส์

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?