Wave Mechanics in One Dimension - ภาควิชาฟิสิกส์

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-2และในเมื่ออิเล็กตรอนดังกลาวสามารถที่จะอยู ณ ตําแหนงใดๆก็ไดภายในกลอง เราจึงให basisstate เปนเซตของตําแหนงตางๆ ซึ่งเขียนไดโดยสัญลักษณให x แทนสถานะของอิเล็กตรอนที่อยู ณ ตําแหนง x ใดๆ ___________ สมการ (6.2)จะเห็นวา เซตของ basis state ขางตนเปนคาที่ตอเนื่อง และมีจํานวนสมาชิกของเซตเปน infinityดวยเหตุนี้เอง เมื่อเราเขียนสถานะ Ψ ของระบบ ใหอยูในรูปของ linear superposition ของ basisstate x จึงมีความจําเปนจะตองเขียนอยูในลักษณะของ integral ดังตอไปนี้Ψ =∫ dxψ( x)x ____________________ สมการ (6.3)โดยนัยยะสําคัญแลว สมการขางตนมิไดตางจากสมการ (2.22) หากแต summation ∑ ไดถูกเปลี่ยนใหอยูในรูปของ integral ∫ dx ในขณะเดียวกัน เซตของสัมประสิทธิ์ c i ที่ปรากฏในสมการ(2.22) ซึ่งเปนคาเฉพาะที่ผูกติดอยูกับ basis state φ i นั้นๆ ก็ไดถูกเปลี่ยนใหเปนฟงชันก ψ ( x)ซึ่งเปนฟงชันกของ x เพราะเปนสัมประสิทธิ์ที่ผูกติดกับ basis state x นั่นเองและในทํานองเดียวกันที่เราสามารถตีความไดวา c i ก็คือ probability amplitude ที่ระบบจะอยูในสถานะ φ ในระบบที่มีความตอเนื่องเชนนี้ ก็สามารถเขียนไดวาiNi= 1ψ () x = x Ψ ___________________________ สมการ (6.4)สมการ (6.4) นี้เองคือคํานิยามของ wave function ที่นักศึกษาไดคุนเคยมาเปนอยางดีในเนื้อหาของquantum mechanics เบื้องตน โดยที่ความหมายของ wave function ดังกลาวนั้น เกี่ยวของกับความนาจะเปนที่จะพบอนุภาค2ψ ( x)dx = ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคอยูภายในบริเวณ x → x+dxนอกจากนี้ในบทที่ 2 เรายังไดกลาวถึงการที่เขียน operator ใหอยูในรูปของ ket-bra ซึ่งปรากฏในสมการ 2.23 ดังตอไปนี้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-3N N= ∑∑ ij i j เมื่อ { i }i= 1 j=1Oˆo φ φφ คือ basis set _____________ สมการ (2.23)และในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.3) เราสามารถเขียน operator ใหอยูในรูปOˆ dxdxo ′ ( x, x′ ) x x′= ∫∫ ____________________ สมการ (6.5)จากสมการขางตนจะพบวา double summation ไดถูกเปลี่ยนใหเปน double integral และสัมประสิทธิ์ o ij ไดถูกเปลี่ยนใหเปนฟงชันก oxx′ ( , ) และจากแบบฝกหัด 2.5 เราสามารถเขียนoxx′ ( , ) ซึ่งเปนฟงชันกของ x และ x′ ไดวาoxx ( , ′)xOx ˆ ′= ____________________ สมการ (6.6)แบบฝกหัด 6.1 จงใช identity operator ในบทที่ 2 เพื่อแสดงใหเห็นวาˆ1 dx x x= ∫ ____________________ สมการ (6.7)แบบฝกหัด 6.2 กําหนดให ΨΨ = 1 จงใช identity operator ในสมการ (6.7) และ คํานิยามของwave function ในสมการ (6.3) เพื่อพิสูจนวา21 = dxψ ∗ ( x) ψ( x) = dx ψ( x)∫ ∫ ____________________ สมการ (6.8)คุณสมบัติทางคณิตศาสตรที่สําคัญอีกอันหนึ่ง ที่เกี่ยวของกับการใช { x } เปนเซตของ basis state คือx′ x δ ( x′x)= − ____________________ สมการ (6.9)เมื่อ คือ δ ( x′ − x)Dirac delta function โดยที่สมการ (6.9) ขางตนสามารถพิสูจนไดโดยงายโดยการพิจารณา สถานะ bra ΨΨ =∫ dx′ ψ ∗ ( x′ ) x′____________________ สมการ (6.10)ใหสังเกตการเปลี่ยนรูปของฟงชันก ψ ( x)ในสมการ (6.3) มาเปน complex conjugate ของตัวมันเองในสมการ (6.10) นอกจากนี้เราทราบวา Ψ Ψ = 1 เพราะฉะนั้นแลวDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-5∗ ∗โดยใชเอกลักษณ Ψ x = x Ψ = ψ ( x)และเขียน Ψ ใหอยูในรูป linear superpositionของ basis state Ψ =∫ dxψ′ ( x′ ) x′จะไดวาสมการขางตนแปรสภาพเปนOˆdxdx′ ∗ψ ( x) ψ( x′ ) x Oˆx′= ∫∫ ____________________ สมการ (6.12)สมการ (6.12) มีความสําคัญมากในการคํานวณ expectation value ของระบบที่มี basis state เปนปริมาณที่ตอเนื่องอาทิเชน { x } ดังจะไดยกตัวอยางการนํามาใชงานในแบบฝกหัด 6.4แบบฝกหัด 6.4 พิจารณา operator ที่ใชวัดตําแหนงของอนุภาค และใชสัญลักษณวา ˆx ดวยเหตุนี้เมื่อ operator ดังกลาวกระทํากับสถานะ x ก็ยอมตองดึงเอา eigenvalue ซึ่งแสดงถึงตําแหนงในขณะนั้น กลาวอีกนัยหนึ่งคือˆx x = x x ____________________ สมการ (6.13)จงใชคํานิยามของ operator ขางตนผนวกกับ 1) การคํานวณ expectation value ในสมการ (6.9) และ2) เอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.12) เพื่อพิสูจนวา expectation valueˆ∗x = ∫ dxψ( x) xψ( x)____________________ สมการ (6.14)เมื่อนักศึกษาลองมองยอนไปถึงเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตน ในประเด็นที่เกี่ยวของกับการคํานวณ expectation value ของ operator ใดๆ จะพบวา รูปแบบของสมการที่เขียนจะมีความคลายคลึงกับที่แสดงในสมการ (6.14) มากกวาที่แสดงในสมการ (6.12)ทั้งนี้ก็เพราะวา quantum mechanics เบื้องตนเนนการใช wave function เปนหลักในการคํานวณหากแตเนื้อหาที่เรากําลังวิเคราะหอยูนี้ มีตนตอมาจาก matrix mechanics ซึ่งมีขอบเขตของการประยุกตใชงานกวางขวางกวา wave mechanics อยูมากทีเดียว ขอเสียของ matrix mechanics ก็คือรูปแบบของสมการที่นักศึกษาจําเปนตองทําความเขาใจ คอนขางจะซับซอนกวา ดังจะเห็นไดจากวิธีการคํานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เปนตน6.2 Generator of Translationในแบบฝกหัด 6.4 เราไดเห็นตัวอยางของ operator ˆx ซึ่งทําหนาที่ในการวัดตําแหนงของอนุภาคและมีคุณสมบัติในทางคณิตศาสตรคือ ˆx x = x x มี Section 6.2 เราจะมาทําความรูจัก operatorอีกชนิดหนึ่งซึ่งทําหนาที่ในการเลื่อนตําแหนงของอนุภาคเปนระยะทาง a ดวยคุณสมบัติของoperator ดังกลาวที่เราตองการนี้ สามารถเขียนใหอยูในรูปของสมการทางคณิตศาสตรไดวาDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-6translation operator Ta ˆ( ) x= x+ a ____________________ สมการ (6.15)ในสมการ (6.15) เราเรียก operator Ta ˆ( ) วา translation operator ซึ่งมีผลให basis state xเปลี่ยนไปเปนสถานะ x + a หรืออีกนัยหนึ่ง เลื่อนไปขางหนาตามแกน x เปนระยะทางเทากับ aนั่นเองโดยทั่วไปแลว อนุภาคหรือระบบที่เราตองการศึกษา มิไดมีตําแหนงที่แนนอนอยู ณ ที่ใดที่หนึ่งหากแตเปน linear superposition ของตําแหนงตางๆที่เปนไปได โดยมีฟงชันก ψ ( x)เปน probabilityamplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆเหลานั้น หรืออีกนัยหนึ่ง Ψ =∫ dxψ( x)x และก็เปนที่นาสนใจวา translation operator Ta ˆ( ) จะมีผลอยางไรกับระบบที่อยูในสถานะดังกลาว ทั้งนี้เมื่อพิจารณา( ψ )Ta ˆ( ) Ψ = Ta ˆ( ) dx ( x)x=∫∫dxψ( x) Tˆ( a)xTa ˆ( ) Ψ = dxψ( x ) x+aและเมื่อเราทําการเปลี่ยนตัวแปรของการ integrate โดยนิยามให x′ ≡ x+ a จะทําให integral ในสมการขางตนเปลี่ยนรูปดังตอไปนี้∫Ta ˆ( ) Ψ = dxψ′ ( x′ −a)x′∫อยางไรก็ตาม ตัวแปร x′ เปนเพียงตัวแปรของการ integrate ที่เราจะใชสัญลักษณตัวอื่นแทนไดโดยไมผิดกติกาแตอยางใด เพราะฉะนั้นเราอาจจะเขียนไดวาTa ˆ( ) Ψ = dxψ( x−a)x∫ เมื่อ Ψ =∫ dxψ( x)x __________ สมการ (6.16)ทั้งสมการ (6.16) และภาพ 6.1 แสดงใหเห็นถึงผลของ translation operator ตอสถานะของระบบ ถาเราบงบอกสถานะของระบบดวย probability amplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆ ซึ่งแทนดวยฟงชันก ψ ( x)จะพบวา ผลของ operator Ta ˆ( ) ก็คือการทําใหฟงชันกดังกลาวเลื่อนไปขางหนาตามแนวแกน x เปนระยะทางเทากับ aDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-7Ψ =∫dx ψ( x )x10.5− 20 2 4−0.5−1Ta ˆ( ) Ψ =dx ψ( x −a )x∫ภาพ 6.1 แสดงผลของ translation operator ตอสถานะของระบบ ถาเราบงบอกสถานะของระบบดวย probability amplitude ที่อนุภาคจะอยูณ ตําแหนงตางๆ ซึ่งแทนดวยฟงชันก ψ ( x)จะพบวา ผลของ operator Ta ˆ( ) ก็คือการทําใหฟงชันกดังกลาวเลื่อนไปขางหนาตามแนวแกน xเปนระยะทางเทากับ aแบบฝกหัด 6.5 จงใชสมบัติของ translation operator ในสมการ (6.15) และเอกลักษณของ Diracdelta function เพื่อพิสูจนวาx Ta ˆ( ) Ψ = ψ ( x− a)__________ สมการ (6.17)แบบฝกหัด 6.6 จงใชสมบัติการ normalization ของสถานะ Ψ =∫ dxψ( x)x ในการพิสูจนวาtranslation operator มีสมบัติเปน unitary operator กลาวคือˆ †T ( a) Tˆ( a ) = 1 ________________ สมการ (6.18)อยางไรก็ตาม แทนที่เราจะสนใจ translation operator ที่สามารถเลื่อนสถานะของระบบเปนระยะทางa เราอาจจะพิจารณาเฉพาะการเลื่อนอนุภาคเปนระยะทางสั้นๆ Δ x หรือที่เรียกวา infinitesimaltranslationและในทํานองเดียวกันกับ infinitesimal rotation operator ในบทที่ 2 หรือ infinitesimal timeevolution operator ในบทที่ 4 เราสามารถเขียน infinitesimal translation ใหอยูในรูปของˆ iT( Δ x) = 1− pˆxΔxเมื่อ p ˆ x คือ generator of translation __________ สมการ (6.19)สาเหตุที่เรียก operator p ˆ x นี้วาเปน generator of translation ก็เพราะวามันทําหนาที่ในการกําหนดคุณลักษณะการเปลี่ยนแปลงไปของสถานะที่ operator T ˆ( Δ x)กําลังกระทําอยู นอกจากนี้ ดวยเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่ไดกลาวถึงแลวในบทที่ 2 เราสามารถเขียนDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-8i p ˆxaTa ˆ( ) e −= ________________ สมการ (6.20)generator of translation operator p ˆ x มีสมบัติทางคณิตศาสตรที่สําคัญอยู 3 ขอที่สําคัญ ซึ่งจะไดกลาวถึงโดยละเอียดในลําดับตอไปนี้1. p ˆ x เปน Hermitian operator สมบัติขอนี้พิสูจนไดจากคํานิยามของ infinitesimal translationoperator ˆiT( Δ x) = 1− pˆxΔxจากคุณสมบัติในสมการ (6.18) ที่วาˆ†1 = T ( Δx) Tˆ( Δx)⎛ i ⎞ ⎛ i ⎞= ⎜1− pˆxΔx⎟ ⎜1− pˆxΔx⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ iˆ†⎞⎛ i ⎞= ⎜1+ pxΔx⎟⎜1− pˆxΔx⎟⎝ ⎠⎝ ⎠†และเมื่อกระจายเทอมทางขวามือของสมการจะไดi i 11= 1− pˆxΔ x+ pˆxΔ x+ pˆxpˆxΔx† † ( ) 2เนื่องจากเรากําลังพิจารณา infinitesimal operator ซึ่งก็หมายถึงวา Δx→ 0 ทําใหสามารถตัดเทอมที่ 4 ทางขวามือของสมการออกได เพราะมีคาเล็กมากเมื่อเทียบกับเทอมอื่นๆ ดังนั้นแลวˆ†pxpˆx= _____________________ สมการ (6.21)ซึ่งสมการ ก็มีความหมายวา p ˆ x เปน Hermitian operator นั่นเอง2. [ xˆ pˆ] = i คุณสมบัติทางคณิตศาสตรขอนี้มีที่มาจากการพิจารณา commutation ระหวาง, xinfinitesimal translation operator ˆˆx ในสมการ (6.13) กลาวคือiT( Δ x) = 1− pˆxΔxในสมการ (6.19) และ position operatorDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-9⎡ˆ ˆiix, T( x) ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞xˆ 1 pˆxx 1 pˆxx xˆ⎣Δ⎦= ⎜ − Δ ⎟−⎜ − Δ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= xˆi i − xp ˆˆxΔ x − x ˆ + p ˆxx ˆΔxi=− Δx( xp ˆˆx−pˆ xxˆ)สมการขางตนสามารถลดรูปลงไปไดอีก ถาเราเขียน xp ˆˆx− ใหอยูในรูป [ xˆ p ˆ ] ดังนั้นpˆ xxˆ, x⎡ˆ, ˆ ix T( x) ⎤⎣Δ⎦=− Δx x, px[ ˆ ˆ ]_____________________ สมการ (6.22)นอกจากนี้ ถาเราพิจารณาผลของ operator ⎡xˆ, Tˆ( Δ x) ⎤ = xT ˆ ˆ( Δx) −Tˆ( Δx)xˆ⎣ ⎦ที่กระทํากับสถานะΨ =∫ dxψ( x)x ใดๆ จะไดวา( )⎡xT ˆ, ˆ( x) ⎤ ˆ ˆ( ) ˆ( ) ˆ⎣Δ⎦Ψ = xT Δx −T Δxx ∫ dxψ( x)x= xT ˆ ˆ( Δx) dxψ( x) x −Tˆ( Δx) xˆdxψ( x)x∫และเมื่อใชสมบัติของ Tdx ˆ( ) ในสมการ (6.16) และ สมบัติของ ˆx ในสมการ (6.13) เทอมขางตนแปรสภาพเปน∫⎡xT ˆ, ˆ( x) ⎤ ˆ ( ) ˆ⎣Δ⎦Ψ = x∫dxψx−Δx x −T( Δx) ∫dxψ( xxx )= dxψ( x −Δx) x x − dxψ( x −Δx)( x −Δx)x∫∫=Δx dxψ( x−Δx)xฟงชันก ψ ( x −Δ x)ที่ปรากฏเปน integrand ในสมการขางตน สามารถกระจายใหอยูในรูปของ1 ∂ψ2 1 ∂ ψ−Δ = −Δ + Δ −1! ∂x2! 2∂xTaylor expansion ψ ( x x) ψ ( x)x ( x)∫2 แตเนื่องจาก Δx→ 0เราจึงสามารถประมาณ ψ ( x −Δx) ≅ ψ ( x)โดยมิไดมี error มากมายนัก เพราะฉะนั้นแลว สมการขางตนลดรูปเหลือเพียง⎡xT ˆ, ˆ( x) ⎤⎣Δ⎦Ψ =Δ x∫dxψ( x)x =ΔxΨDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-10เนื่องจากสถานะ Ψ ที่เรานํามาพิจารณาเปนสถานะทั่วๆไป และไมเฉพาะเจาะจงวาเปนกรณีใดเปนพิเศษ สมการขางตนจึงเปนจริงในทุกๆกรณี และสรุปไดวา⎡xˆ, Tˆ( x)⎤⎣Δ⎦=Δx_____________________ สมการ (6.23)ในทายที่สุด เมื่อเปรียบเทียบสมการ (6.23) และสมการ (6.22) จะไดความสัมพันธ[ xˆ pˆ] = i _____________________ สมการ (6.24), x ∂3. x pˆ x Ψ = ( x)i ∂x ψในแบบฝกหัด 6.5 เราไดคุนเคยกับสมบัติทางคณิตศาสตรของoperator Taในลักษณะเดียวกันนี้มาแลว ˆ( )ในคราวนี้เรามาวิเคราะหในกรณีของ generator oftranslation operator p ˆ x กันบาง พิจารณาT ˆ( Δx) Ψ = dxψ′ ( x′ −Δx)x′จะเห็นวาเราสามารถกระจายฟงชันกใหอยูในรูปของอนุกรม Taylor∂ψ ( x′ −Δx) ≅ψ( x′ ) −Δx ψ( x′)∂x′∫เพราะฉะนั้นแลว สมการขางตนแปรสภาพเปน∂T ˆ( Δ x) Ψ = ∫ dx ′ ψ ( x ′ ) x ′ −Δ x ∫ dx ′ ψ ( x ′ ) x ′∂x′และเมื่อนําสถานะ bra x เขามาประกบทั้งสองขางของสมการ จะไดวา∂xTˆ( Δx ) Ψ = ∫dx′ ψ ( x′ ) xx′ −Δx∫dx′ ψ ( x′ ) xx′∂x′∂= ∫dx′ ψ( x′ ) δ( x −x′ ) −Δx∫dx′ ψ( x′ ) δ( x −x′)∂x′ใหสังเกตการณใช Dirac delta function ซึ่งเปนเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.9) และอาศัยคุณสมบัติของ Dirac delta function ที่วา δ ( x − x′ ) = δ ( x′− x)ทําให∂x T ˆ( x) ψ ( x) x ψ ( x)xΔ Ψ = −Δ ∂_____________________ สมการ (6.25)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-11นอกจากนี้ เรายังสามารถวิเคราะหเทอม xT ˆ( Δx)Ψ โดยการเขียน T ˆ( Δ x)ใหอยูในรูปของˆ iT( Δ x) = 1− pˆxΔxซึ่งจะไดวาเพราะฉะนั้นแลวˆixT( Δx) Ψ = x1− pˆxΔxΨi= x Ψ − Δx x pˆx ΨˆixT( Δx) Ψ = ψ ( x) − Δx x pˆx Ψ________________ สมการ (6.26)ทั้งนี้เมื่อพิจารณาทางขวามือของสมการ (6.25) และสมการ (6.26) แลวพบวาi∂Δx x pˆ x Ψ =Δx ( x)x ψ ∂หรืออีกนัยหนึ่ง ∂x pˆ x Ψ = ( x)i x ψ ∂________________ สมการ (6.27)นอกจากนี้ สมการขางตน ยังสามารถเขียนใหอยูในรูป ∂pˆ x Ψ = ∫ dx ( x)xi ∂x ψเมื่อ Ψ =∫ dxψ( x)x ___________ สมการ (6.28)แบบฝกหัด 6.7 สมมุติใหระบบทางฟสิกสอยูในสถานะ Ψ =∫ dxψ′ ( x′ ) x′จงพิสูจนวาexpectation value ของ generator of translation operator p ˆ x มีคาเทากับ6.3 Momentum Operatorˆ∗ ∂Ψ pxΨ = ∫ dxψ( x) ψ( x)i ∂x________________ สมการ (6.29)คุณสมบัติทางคณิตศาสตรทั้ง 3 ขอที่เราไดกลาวมาขางตนนั้น มีความสําคัญตอการตีความหมายของ operator p ˆ x ในทางฟสิกสเปนอยางยิ่ง ประการแรกก็คือ คํานิยามในสมการ (6.19) บังคับใหoperator p ˆ x มีหนวยเปนJoule ⋅secmซึ่งเปนหนวยของ momentumDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-12ประการที่สอง p ˆ x เปน Hermitian operator ดังที่ไดอธิบายในบทที่ 3 Section 3.6 ซึ่งมีความหมายวา p ˆ x จะตองมี eigenvalue เปนจํานวนจริง และสามารถที่จะเปน operator ที่ใชวัดobservable ในทางฟสิกสไดและประการที่สาม p ˆ x มีคุณสมบัติดังในสมการ (6.27) ซึ่งนักศึกษาคงสามารถจดจํารูปแบบทางคณิตศาสตรของ momentum operator ในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตนไดวา มีความคลายคลึงกับสมการ (6.27)ดวยเหตุผลทั้ง 3 ประการนี้เองเราสรุปไดวานอกจาก p ˆ x จะมีหนาที่เปน generator of translation operator ที่เปนตัวควบคุมใหอนุภาคเลื่อนไปขางหนาตามแนวแกน x แลว operator p ˆ x ยังเปนที่รูจักกันดีในเชื่อที่วา momentum operator อีกดวยในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตนที่ใช Schrödinger equation เปนหลัก นักศึกษามักจะคุนเคยกับ wave function ψ ( x)และ momentum operator ที่เขียนอยูในรูป pˆ x∂x≡i ∂อยางไรก็ตาม รูปแบบของ momentum operator ดังกลาวเมื่ออยูภายใตบริบทของเนื้อหา matrix mechanics ที่เรากําลังศึกษาอยูนี้ เปนเพียงรูปแบบของ momentum operator ที่แสดงออกมาภายใต basis set { x }นักศึกษาตองไมลืมวา operator ตางๆนั้น จะแสดงออกมาวามีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไร ลวนแลวแตผูกติดอยูกับ basis state ที่กําลังใชอยู ไมวาจะเปน operator ในสมการ (2.23) หรือ matrix ในสมการ (2.63) หรือ แมกระทั่ง momentum operator ในสมการ (6.27)เพราะฉะนั้น แทนที่เราจะใชตําแหนงของอนุภาค { x } เปน basis state เราอาจจะพิจารณาระบบที่กําลังสนใจ ในแงของ momentum ที่มันมีอยู หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง พิจารณาระบบโดยใชmomentum ตามแนวแกน x เปน basis state ซึ่งในที่นี้ เราจะใชสัญลักษณ { }state ดังกลาวp แทนเซตของ basisและเมื่อเราใช momentum operator ˆ x p เขามากระทํากับกับสถานะ p ก็จะมีผลเทากับการวัดmomentum ของสถานะนั้นๆ และดึงเอาคา eigenvalue ดังกลาวออกมา ซึ่งก็คือDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-13pˆ x p = p p _____________________ สมการ (6.30)นอกจากนี้ เรายังสามารถที่จะเขียนสถานะของระบบ Ψ ใหอยูในรูป linear superposition ของbasis state { p } เหลานี้ไดวาΨ =∫ dpϕ( p)p ____________________ สมการ (6.31)โดยทั่วไปแลว สถานะ Ψ ดังในสมการ (6.31) นั้น เราเรียกเซตของ momentum basis state{ p } วา "momentum space" ในขณะที่สมการ (6.3) เปนการเขียน Ψ ใหอยูในรูปของ "positionspace"จะสังเกตวาในสมการ (6.31) ขางตนนั้น เราใชฟงชันก ϕ ( p)แทน probability amplitude ที่จะพบอนุภาคหรือระบบที่เรากําลังสนใจ อยูในสภาวะที่มี momentum ตางๆกัน หรือในรูปของ bra-ketก็คือϕ ( p)= p Ψ ____________________ สมการ (6.32)และจาก probability amplitude ดังกลาว โดยคํานิยามของความนาจะเปนแลวdp2( p)ϕ คือ probability ที่อนุภาคจะมี momentum อยูในชวง p → ( p+dp)แบบฝกหัด 6.8 ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.9) จงพิสูจนวาp′ p δ ( p′p)= − ____________________ สมการ (6.33)คุณสมบัติของ momentum basis state ในสมการ (6.33) และการเขียน Ψ ในสมการ (6.31) จะทําใหเราสามารถเขียนรูปแบบทางคณิตศาสตรของ momentum operator ดังที่ปรากฏภายใต momentumspace กลาวคือ( ∫′ ϕ( ′)ˆx′ )( ′ ϕ( ′)′ ′ )p pˆΨ = p dp p p px=∫∫p dp p p p( )= dp′ ϕ( p′ ) δ p − p′Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-14และเมื่อเราใชเอกลักษณทางคณิตศาสตรของ Dirac delta function ที่วา δ ( p − p′ ) = δ ( p′− p)และ ∫ dx f ( x ) δ ( x − x 0) = f ( x 0)จะไดวาp pˆ x ϕ( p)Ψ = ____________________ สมการ (6.34)มาถึงขั้นนี้ นักศึกษาตองสังเกตใหเห็นความแตกตางอยางชัดเจนระหวางสมการ (6.27) ซึ่งดูเหมือนวาmomentum operator p ˆ x เมื่ออยูภายใต position space อยูมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปน differential ∂operator ซึ่งกระทําอยูกับฟงชันก ψ ( x)i ∂ xในขณะที่สมการ (6.34) บงบอกวา momentum operator p ˆ x เมื่ออยูในบริบทของ momentum spaceแลว จะมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปนเพียง identity operator (ตัวเลข 1) ซึ่งคูณอยูกับฟงชันก ϕ ( p)ความแตกตางดังกลาว เปนหลักฐานชิ้นสําคัญซึ่งจะทําใหเราตระหนักวา operator ตางๆที่ไดเคยศึกษามาใน quantum mechanics เบื้องตนซึ่งใช Schrödinger equation เปนหลักนั้น แทจริงแลวเปนการเขียน operator ที่แสดงออกมาภายใตกรอบของ position space เทานั้นเองในคราวนี้เราจะมากลาวถึงเอกลักษณทางคณิตศาสตรสําคัญอีกอันหนึ่ง ซึ่งจะถูกนํามาประยุกตใชงานในอนาคต นั่นก็คือ เราจะพิสูจนวาx p=1e2πipx____________________ สมการ (6.35)พิจารณาจะไดวาx pˆ x p = p x p นอกจากนี้ ถาพิจารณาสมการ (6.27) และกําหนดให Ψ = p ∂x pˆ x p = x pi ∂xเพราะฉะนั้นแลวp x p ∂=i ∂xx p____________________ สมการ (6.36)เนื่องจาก x p มีสถานะภาพเปนฟงชันก ทําใหสมการ (6.36) ก็มีสถานะภาพเปน differentialequation ธรรมดา ซึ่งมีผลเฉลยของสมการคือx pipx= Neเมื่อ N คือคาคงที่ ____________________ สมการ (6.37)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-15โดยที่เราสามารถคํานวณคาคงที่ N ไดจากการพิจารณาสถานะ p ซึ่งก็ไมตางจากสถานะทั่วๆไปที่เราสามารถเขียนอยูในรูปของ linear superposition ใน position spacep = ∫ dx( x p ) x เมื่อ คือ x p probability amplitudeและเมื่อนํา bra p′ เขามาประกบทั้งสองขางของสมการ จะไดวา p′ p = ∫ dx x p p′xแตจากสมการ (6.33) p′ p = δ ( p′− p)เพราะฉะนั้นδ ( p′ − p)= dx x p p′x=∫∫2= Ndx x p∫∗x p′i( p−′dxe)p xDirac delta function ที่ปรากฏอยูทางซายมือของสมการขางตน มีรูปแบบทางคณิตศาสตรที่เปนไปไดอยูหลายรูปแบบ ยกตัวอยางเชนfunction ดังกลาวนี้δ ( x)+∞1 + ikxdke2π−∞= ∫ และเมื่อใชคํานิยามของ Dirac delta12π∫⎛ x ⎞ ( ′ − ) 2d e N dxe( − ′=)⎜ ⎟∫⎝⎠i p p x i p p xดวยเหตุนี้เอง ทําใหN =ดังแสดงในสมการ (6.35)12πและเมื่อผนวกกับสมการ (6.37) ก็จะไดความสัมพันธ x pการนําเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.35) มาประยุกตใชงานนั้น ก็ไดแกการเปลี่ยนจากprobability amplitude ซึ่งแตเดิมอยูใน position space ψ ( x)ใหกลายมาเปน momentum spaceϕ ( p)โดยสมมุติวาเราทราบขอมูลของอนุภาค และ probability amplitude ที่มันจะอยู ณ ตําแหนงตางๆกันคือΨ =∫dxψ( x)xDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-16เมื่อนําสถานะ bra p เขามาประกบทั้งสองขางของสมการจะไดวา ψ ( )p dx x p xΨ =∫ทั้งนี้โดยคํานิยามแลว ทางซายมือของสมการก็คือ ϕ ( p)= p Ψ ในขณะที่ทางขวามือของสมการก็คือ12π∫dxψ( x)e−ipxเพราะฉะนั้นแลว1ϕ( p) = dxψ( x)e2π∫−ipx____________________ สมการ (6.38)และในทํานองเดียวกัน เราสามารถพิสูจนไดวา1ψ ( x) = dpϕ( p)e2π∫+ ipx____________________ สมการ (6.39)แบบฝกหัด 6.9 พิจารณาระบบที่อิเล็กตรอนถูกขังอยูในบอพลังงานศักยสูงเปนอนันตดังในภาพ(1.2) ของบทที่ 1 สมมุติวา probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงตางๆภายในกลอง30คือ ψ ( x) = xd ( − x)เมื่อ 0 ≤ x ≤ d5da) จงหา probability amplitude ϕ ( p)และ plot graphb) เมื่อวิเคราะหอิเล็กตรอนที่อยูในสถานะดังกลาว มีความนาจะเปนเทาใดที่จะพบวามันมีmomentum อยูในชวง p → ( p+ dp)พรอมทั้ง plot graph2 152 2 2 2เฉลย ϕ( p) = ⎡8 + 2 k d + ( k d −4)2cos( kd) −8dk sin( kd)⎤ เมื่อนิยาม6 5π k d⎣⎦pk ≡ นอกจากนี้ เนื่องจากความสัมพันธทางคณิตศาสตรระหวาง ψ ( x)และ ϕ ( p)ดังในสมการ (6.38)และ (6.39) ที่มีลักษณะของเหมือนกันกับ Fourier transform เราเรียกฟงชันก ψ ( x)และ ϕ ( p)วาเปน Fourier transform pair (ฟงชันกที่เปน Fourier transform ของกันและกัน) ระหวาง positionspace และ momentum space6.4 Free Particles และ Gaussian Wave Packetเพื่อมิใหเนื้อหาที่เกี่ยวของกับ momentum operator และกลไกทางคณิตศาสตรที่ไดกลาวมาขางตนเปนเพียงนามธรรมที่เลื่อนลอยจนเกินไป เรามาศึกษาตัวอยางที่เปนรูปธรรม ซึ่งก็คือ อนุภาคที่เคลื่อนที่อยางอิสระตามแนวแกน x หรือที่เรียกวา free particlesDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-17อนุภาควางอยู ณ จุดกําเนิดΨ =∫dx ψ( x )xx = 0−x2 2a2ψ( x)=Neระบบจริงที่กําลังศึกษา model ของ quantum mechanicsภาพ 6.2 แสดงถึง model อีกแบบหนึ่งของ quantum mechanics ที่ใชแทนอนุภาคที่วางอยู ณ จุดกําเนิด คําวา "วาง ณ จุด x=0" นั้น ในความเปนจริงแลว เปนไปไมไดที่อนุภาคจะมีตําแหนงที่แนนอน 100% อยู ณ จุดใดจุดหนึ่งพิจารณาอนุภาคที่วางอยู ณ จุดกําเนิดดังในภาพ 6.2 ในมุมมองของ quantum mechanics คําวา "วางณ จุด x=0" นั้น ในความเปนจริงแลว เปนไปไมไดที่อนุภาคจะมีตําแหนงที่แนนอน 100% อยู ณ จุดใดจุดหนึ่ง เพราะฉะนั้น เราใหสถานะ Ψ ของอนุภาคเปน linear superposition ของตําแหนงตางๆที่เปนไปได Ψ =∫ dxψ( x)x โดยมีฟงชันก ψ ( x)แสดงถึง probability amplitude ที่จะพบอนุภาค ณ ตําแหนงนั้นๆmodel อันหนึ่งที่เปนไปไดก็คือ การกําหนดใหψ ( x)−x22a2Ne= ____________________ สมการ (6.40)เมื่อ N และ a คือคาคงที่ ซึ่งเราจะทําการคํานวณและตีความในลําดับตอไป รูปแบบของฟงชันกในสมการ (6.40) จัดอยูในกลุมของฟงชันกที่เรียกวา Gaussian function ดังแสดงในภาพ 6.2ขอควรระวัง probability amplitude ในสมการ (6.40) มิไดเปนขอกําหนดตายตัวที่ quantummechanics ใชในการอธิบายอนุภาคอิสระ ขึ้นอยูกับความเหมาะสมกับระบบทางฟสิกสที่กําลังพิจารณา ยกตัวอยางเชน บางครั้งเรา model อนุภาคอิสระที่กําลังเคลื่อนที่ดวยความเร็วสูงโดยใชikxprobability amplitude ψ ( x)∼ eเราสามารถคํานวณคาคงที่ N ไดจากเงื่อนไข normalization ที่วาDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-18∗1 = dxψ( x) ψ( x)∫+∞2 −= dx N e∫−∞( x a) 2อาศัยสมบัติของ Gaussian function+∞−x2∫ dx e = π ผนวกกับสมการขางตน จะไดวา−∞N =1π aเพราะฉะนั้นแลว probability amplitude ของอนุภาคอิสระซึ่งอยูในรูปของ Gaussian function ก็คือψ ( x)1 −x2e2a2π a= ____________________ สมการ (6.41)และเพื่อที่จะเขาใจความหมายของคาคงที่ a เราลองคํานวณ uncertainty ในการวัดตําแหนงของอนุภาคดังกลาว จาก Section 2.4 ในบทที่ 2 uncertainty ของ operator ˆx คํานวณไดจาก2 2Δ x = xˆ− xˆ____________________ สมการ (6.42)เราเริ่มขั้นตอนในการคํานวณดวยการวิเคราะห expectation value ˆx ซึ่งจากสมการ (6.12) เราบอกไดวาˆ∗x = dxdx′ ψ ( x) ψ( x′ ) x xˆx′=∫∫∫∫dxdx′ ∗ψ ( x) ψ( x′ ) x′ x x′จากนั้น ใชสมการ (6.9) เพื่อชวยในการ integrate ทําใหในทายที่สุดDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-19ˆ∗x = dxdx′ ψ ( x) ψ( x′ ) x′ δ( x −x′)∫∫+∞∗= dxψ( x) xψ( x)∫−∞และเมื่อนําเอาคํานิยามของ probability amplitude ในสมการ (6.41) เขามา integrate+∞1 2 2ˆ−xax = dx xe = 0∫ ________________ สมการ (6.43)−∞π a2 2x aผลลัพธของ integration เปนศูนยก็เพราะวา e − เปนฟงชันกคู ในขณะที่ x เปนฟงชันกคี่และเมื่อทําการ integrate ตลอดชวง ( −∞ , +∞ ) จึงไดผลลัพธเปนศูนยโดยอัตโนมัติแบบฝกหัด 6.10 จงใชกลไกของการคํานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เพื่อพิสูจนวา+∞ˆ2 ∗ 2x dxψ( x) x ψ( x)ขั้นตอนตอไปคือการคํานวณ 2 ˆx ซึ่งจากสมการ (6.44) จะไดวา= ∫ ________________ สมการ (6.44)−∞+∞2 2 22 1ˆ2 −x a ax = dx x e =π a2−∞∫ ________________ สมการ (6.45)เทคนิคของการ integrate ในสมการขางตน มิไดมีอะไรซับซอนไปกวาการเปดตาราง integrationแบบตางๆ ที่ปรากฏอยูในหนังสือ mathematical physics ซึ่งมีอยูโดยทั่วไปในทายที่สุด เราสามารถคํานวณ uncertainty ของตําแหนงของอนุภาคไดจาก สมการ (6.45) และสมการ (6.43) ซึ่งก็คือa2 2Δ x= xˆ− xˆ= ________________ สมการ (6.46)2นอกจากเราจะมองสถานะของอนุภาคดังกลาวใน position space เรายังสามารถเปลี่ยน probabilityamplitude ψ ( x)ใหอยูในรูปของ ϕ ( p)ใน momentum space ซึ่งทําไดโดยอาศัยสมการ (6.38)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-20ϕ+∞1 1 −x 22a 2−ipx( p)= dx e e2π∫−∞ π aintegral ขางตนสามารถคํานวณไดโดยการเปลี่ยนตัวแปร นิยามใหintegral แปรรูปเปนx ipaη ≡ +2a2 ซึ่งจะทําใหϕ2 2 2+∞1 1 −p a 2−η2( p) = 2ae ∫ dηe2π π a−∞ πและจะไดวาϕ( p)=aπ− p2a222e________________ สมการ (6.47)ฟงชันก ϕ ( p)ขางตน แสดงถึง probability amplitude ที่อนุภาคจะมี momentum ตางๆกัน และนั้นก็หมายถึง เมื่อเราตองการที่จะอธิบายสถานะของระบบใหอยูในรูปแบบของ momentum basis stateจะทําไดโดย⎛ a − p2a222 ⎞Ψ = ∫ dp ⎜e pπ⎟⎝ ⎠________________ สมการ (6.48)สถานะที่แสดงดังในสมการ (6.48) มีความสะดวกในการคํานวณ expectation value ของ momentumซึ่งแทนดวยสัญลักษณ ˆp และ การคํานวณ uncertainty ในการวัด momentum ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ Δ pexpectation value ˆp สามารถคํานวณไดโดยใชสมการ (6.12) ซึ่งถึงแมตัวสมการจะเขียนอยูในรูปx เปนหลัก รูปแบบของสมการนั้นเปนจริงในทุกๆของ operator ที่ใช position basis state { }basis state รวมไปถึง momentum basis state { }p ดวยDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-21ˆ∗p = dpdp′ ϕ ( p) ϕ( p′ ) p pˆp′∫∫+∞a= ∫ dp pe π−∞− p2a22และเมื่อใชเหตุผลที่เกี่ยวของกับฟงชันกคูและฟงชันกคี่ของ integrand ขางตน เราสรุปไดวา+∞a 2 2 2ˆ− p a p = ∫ dp pe = 0 π−∞________________ สมการ (6.49)2แบบฝกหัด 6.11 จงคํานวณ expectation value ˆp ในทํานองเดียวกับที่เราไดวิเคราะห ˆx 22เพียงแตวาในกรณีนี้เปน operator ˆp และ momentum basis state { p } และพิสูจนวา+∞2 a 22 2 2ˆ− p a p ∫ dp p e π−∞= =222a________________ สมการ (6.50)แบบฝกหัด 6.12 จงหา expectation value ˆp โดยเริ่มจากการเขียนสถานะของระบบอยูในรูปของposition basis1 −x 22a2dx e xΨ =∫ แทนที่จะเปน momentum basis ดังในสมการπ a(6.48) นักศึกษาอาจจะตองใชสมการ (6.119) เขาชวยในการวิเคราะห2จากสมการ (6.49) และ (6.50) ซึ่งบอก expectation value ˆp และ ˆp ตามลําดับ เราบอกไดวาuncertainty ของการวัด momentum ของอนุภาคที่เราใช model ของ Gaussian wave packet คือ2 2Δ p= pˆ− pˆ= ________________ สมการ (6.51)2aคุณสมบัติตางๆของ Gaussian wave packet ดังกลาว ไดสรุปอยูในภาพ 6.3 ซึ่งแสดง model ของอนุภาคอิสระที่อธิบายดวย quantum mechanics และแสดงในสองลักษณะคือ 1) position spaceψ ( x)และ 2) momentum space ϕ ( p)ซึ่งทั้งสองมุมมองสามารถเปลี่ยนแปลงไปมาไดโดยใชtransformation equation ที่มีลักษณะคลายกันกับ Fourier transformDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-22position spacemomentum space⎛1 −x 2 2a2 ⎞Ψ = ∫dx ⎜e xπ a ⎟⎝⎠x⎛a−p 2 a2 22 ⎞Ψ = ∫ dp ⎜e pπ⎟⎝ ⎠ψ ( x)1+ipxϕ( p)1π aΔ x=ψ( x ) = ∫dp ϕ( p )e2πa212π∫−ipxdx ψ( x ) e =ϕ( p)aπΔ p= 2aภาพ 6.3 แสดง model ของอนุภาคอิสระที่อธิบายดวย quantum mechanics และแสดงในสองลักษณะคือ 1) position space ψ ( x)และ 2) momentum space ϕ ( p)1) ใน position space อนุภาคมี expectation value ของตําแหนง x ˆ = 0 ซึ่งหมายถึงวาโดยเฉลี่ยaแลวมันอยู ณ ตําแหนง x = 0 ในขณะที่ความไมแนนอนของตําแหนงดังกลาว Δ x = ซึ่งแปรผันตรงกับคาคงที่ a2) ใน momentum space อนุภาคมี expectation value ของ momentum operator p ˆ = 0 ซึ่งหมายถึงวาโดยเฉลี่ยแลวมันหยุดนิ่ง และจะสังเกตวาความไมแนนอนของ momentum ดังกลาวΔ p = ซึ่งแปรผกผันกับคาคงที่ a นั่นหมายถึงถาเราบอกตําแหนงของอนุภาคไดแมนยํา จะ2aสงผลใหความคลาดเคลื่อนของการวัด momentum มีคาสูงขึ้นในกรณีของตัวอยางที่เรากําลังวิเคราะหอยูนี้ ความสัมพันธของ uncertainty ทั้งสองคือ2pΔΔ x p= ในกรณีของ Gaussian wave packet ________________ สมการ (6.52)2Time Evolution of Gaussian Wave Packetmodel ของ quantum mechanics ที่ใชในการอธิบายพฤติกรรมของอนุภาค ดังที่ไดสรุปในภาพ 6.3นั้น อาจจะมีการเปลี่ยนแปลงไดเมื่อเวลาผานไป ในคราวนี้ เราจะมาศึกษาพฤติกรรมของอนุภาคในDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-23แงมุมตางๆกัน ไมวาจะเปนตําแหนง, ความไมแนนอนของการวัด position และ วัด momentum, และสถานะของอนุภาค เมื่อเวลาเปลี่ยนแปลงไปกลไกที่สําคัญในการวิเคราะหหาสถานะของระบบเมื่อเวลา t ใดๆนั้น ก็คือ time evolution operatorดังที่ไดกลาวมาแลวในบทที่ 4 ซึ่งอยูในรูปของUt ˆ ()iHt ˆe −= ___________________________ สมการ (6.53)โดยที่ Ĥ คือ Hamiltonian operator และในระบบของอนุภาคอิสระที่เรากําลังศึกษาอยูนี้ พลังงานรวมของระบบมาจากพลังงานจลนของการเคลื่อนที่ ซึ่งก็คือHˆˆ2p2m= _____________________________ สมการ (6.54)ทั้งนี้ เนื่องจาก Hamiltonian ของระบบเปนฟงชันกของ momentum operator จึงเปนการเหมาะสมที่เราจะเริ่มดวยการเขียนสถานะของอนุภาค Ψ ใหอยูในรูปของ momentum space เพราะฉะนั้นแลว สถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ ก็คือiHt ˆ−Ψ (t) = e Ψ (t = 0)iHt ˆ− ⎛ a − p2a222 ⎞= e ∫ dp ⎜e pπ⎟⎝ ⎠ipˆ 2t⎛ a p2a222 −− ⎞Ψ (t) = dp e e 2m∫ ⎜pπ⎟⎝ ⎠−การที่จะวิเคราะหสมการขางตน เราจะตองทําการลดรูปเทอม e 2mp ใหไดเสียกอน ซึ่งขั้นตอนก็ไมตางจากที่เราเคยไดฝกใน Section 2.5.2 ของบทที่ 2 โดยเริ่มการการ expand operatorˆ2ip texp( )2mipˆ 2t− ใหอยูในรูปของอนุกรม Taylor จากนั้นนําพจนตางๆเขามากระทํากับสถานะ pDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-24ipˆ 2t ip2t−−ซึ่งจะไดวา e 2mp = e 2mp ทั้งนี้ใหสังเกตวาทางซายมือของสมการปรากฏเปนoperator ˆp ในขณะที่ทางขวามือของสมการปรากฏเปน eigenvalue p ดังนั้น⎛ a −p 2a222−ip 2t 2m⎞Ψ (t) = ∫ dp ⎜e pπ⎟⎝ ⎠________________ สมการ (6.55)สมการ (6.55) แสดงใหเห็นวา probability amplitude ของอนุภาคใน momentum space เปนฟงชันกของทั้ง momentum p และ ของเวลา t ซึ่งก็คือϕ( pt , ) =aπ−p 2a222−ip 2t 2me________________ สมการ (6.56)และจากขอมูลในสมการ (6.55) และ สมการ (6.56) เราสามารถคํานวณปริมาณตางๆที่เกี่ยวของอาทิmomentum เฉลี่ย และ ความไมแนนอนของการวัด momentum วาเปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไร ซึ่งจะไดวาp = 0 ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.57)Δ p = ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.58)2aเปนที่นาสังเกตวา สมบัติตางๆของระบบที่เกี่ยวของกับ momentum space มิไดเปลี่ยนแปลงไปกับเวลาแตอยางใด และในกรณีของ position space เราสามารถใช Fourier transform ดังในสมการ(6.39) เพื่อที่จะหา probability amplitude ψ ( x, t)1 aψ ( xt , ) = dp e2π∫ π−p 2a22 2− ip2t 2m+ipx และเมื่อทําการเปลี่ยนตัวแปร2a it ixη ≡ p + −222m2a it2+222mทําใหเราสรุปไดวาDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-25⎛ 2⎞1 x 1ψ ( xt , ) = exp⎜⎟− ⋅2 2π ( a i t ma) 2a+ ⎜ 1+( it ma ) ⎟⎝⎠________ สมการ (6.59)และสงผลใหx ˆ = 0 ณ เวลาใดๆ ___________________ สมการ (6.60)22a tΔ x = 1+ ___________________ สมการ (6.61)2 2 4maแบบฝกหัด 6.13 จงพิสูจนสมการ (6.59) , (6.60) , และ (6.61)สมการ (6.59) และ สมการ (6.61) แสดงใหเห็นวา เมื่อเวลาผานไป ถึงแมวาโดยเฉลี่ยแลวตําแหนงของอนุภาคจะหยุดนิ่งอยูที่จุดกําเนิด แตความไมแนนอนของตําแหนงดังกลาว กลับเพิ่มขึ้นกับเวลาและเมื่อรอจนกระทั่วเวลาลวงเลยไปมากพอสมควร เราแทบจะบอกไมไดเลยวา อนุภาคอยูที่ใด2แบบฝกหัด 6.14 a) จง plot graph ของ probability density ψ ( x, t)ณ เวลาตางๆกัน b) เวลา tผานไปเทาใด ระบบจึงจะมี uncertainty ของตําแหนง Δ x เพิ่มขึ้นเปน สองเทาของ Δ x ในเวลาเริ่มตนเฉลยT =23ma___________________ สมการ (6.62)แตทวาในความเปนจริงที่เราเห็นในธรรมชาติ ยกตัวอยางเชนเมื่อเรามองไปที่มะมวงลูกงามที่อยูบนตน กลับมาพรุงนี้เชามะมวงก็ยังคงอยูที่ตนเดิมไมหนีไปไหน ความเปนจริงที่สังเกตเห็นไดนี้ขัดกันอยางสิ้นเชิงหรือไม กับสมการ (6.61) ที่บอกวา ความไมแนนอนของตําแหนงจะเพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผานไปในกรณีของมะมวง สมมุติใหมีมวล m= 30gและมีความแมนยําในการบอกตําแหนงอยูในชวงa = 0.1cm จากแบบฝกหัด 6.14 เราจะตองรอถึงมะมวงมี uncertainty ของตําแหนงเพิ่มขึ้นเปนสองเทาT =23ma19∼ 10ป จนกวาเราจะเห็นลูกDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-2622t2 4maปจจัยสําคัญในการกําหนดคุณสมบัติการเพิ่มขึ้นของ Δ x = 1+ นี้ ขึ้นอยูกับมวลและขนาดของอนุภาคเปนสําคัญ ยกตัวอยางเชน พิจารณาอะตอมของ hydrogen ซึ่งมีมวลประมาณ−27m ≅ 1.67× 10 kg และจินตนาการวาเราสามารถเห็นมันดวยกลอง electron microscope ซึ่งบอกตําแหนงดวยระยะความคลาดเคลื่อนที่ a = 1A ในกรณีเชนนี้a2T23ma= ∼−1310ซึ่งจะเห็นวาอนุภาคอิสระซึ่งมีขนาดเล็กมากๆ มีความคลาดเคลื่อนของการวัดตําแหนงอยูมากทีเดียวขอควรระวัง สมการ (6.61) เปนการวิเคราะหที่จํากัดอยูแตเพียงอนุภาคอิสระที่ไมไดตกอยูภายใตแรงยึดเหนี่ยวใดๆ ในกรณีของอะตอมที่ถูกยึดใหติดอยูกับวัตถุดวยพันธะเคมี จะมีพฤติกรรมที่แตกตางกันออกไป6.5 Heisenberg Uncertainty Principleวินาทีจากการวิเคราะหกรณีตัวอยางของอนุภาคอิสระ ที่ใช Gaussian wave packet เปน model นั้น เราไดสังเกตเห็นความสัมพันธของ Δ x และ Δ p ดังในสมการ (6.52) ซึ่งแสดงใหเห็นถึงขอจํากัดในมุมมองของ quantum mechanics ที่ไมอาจจะวัด position และ momentum ของอนุภาคใหแมนยําพรอมๆกันไดและใน Section 6.5 นี้ เราจะมาศึกษากฎเกณฑของ quantum mechanics ที่มีขอบเขตการประยุกตใชงานกวางมากขึ้น ซึ่งมิไดจํากัดอยูแตเพียง operator ˆx และ ˆp ดังในตัวอยางของ Gaussian wavepacketพิจารณาการวัดปริมาณทางฟสิกสที่แทนดวย operator  และ ˆB จะไดวา ความสัมพันธระหวางuncertainty ในการวัดของปริมาณทั้งสองก็คือ⎡ Aˆ , Bˆ⎤⎣ ⎦ΔAΔB≥ ___________________ สมการ (6.63)2โดยที่ ⎡Aˆ , Bˆ⎤⎣ ⎦ มีความหมายวา expectation value ของ operator ⎡ A ˆ,B ˆ⎤ ≡ AB ˆ ˆ − BA ˆˆ⎣ ⎦และเครื่องหมาย ที่ปรากฏอยูทางขวามือของสมการ (6.63) ก็คือ absolute value นั่นเองDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-27กอนที่เราจะทําการพิสูจนที่มาของสมการ (6.63) เรามาฝกการนําสมการดังกลาวมาใชงานเสียกอนสมมุติวาเรากําลังพิจารณาระบบที่เรากําลังจะวัด 1) ตําแหนง ซึ่งแทนดวย operator ˆx และ 2)momentum ซึ่งแทนดวย operator ˆpจากสมการ (6.24) เราทราบวา [ xˆ,pˆ]= i เราฉะนั้น expectation value ของ [ xˆ,p ˆ]ก็คือ[ xˆ,pˆ][ xˆ,pˆ]= Ψ iΨ= iΨΨ= iซึ่ง absolute value ของ complex number i ก็มีคาเทากับ นั่นเอง เพราะฉะนั้น จากสมการ(6.63) จะไดวาΔxΔp≥ ___________________ สมการ (6.64)2ความสัมพันธในสมการขางตน เปนจริงในทุกๆกรณี รวมไปถึงกรณีของอนุภาคอิสระ นอกจากนี้สมการ (6.64) ยังมีชื่อที่เรียกกันทั่วไปวา Heisenberg uncertainty principleแบบฝกหัด 6.15 จงใหสมการ (6.63) เพื่อหาความสัมพันธระหวาง uncertainty ของการวัด angularmomentum ตามแนวแกน x และ ตามแนวแกน y และเปรียบเทียบกับแบบฝกหัด 3.15เฉลย ΔJ ΔJ ≥ Jˆx y z2สําหรับขั้นตอนในการพิสูจนสมการ (6.63) นั้น สรุปโดยสังเขปไดวา1. เริ่มดวย Schwarz inequality ดังที่ไดเคยวิเคราะหในแบบฝกหัด 3.17 ที่วาα α β β α β2≥ ___________________ สมการ (6.65)2. พิจารณา operator  และ ˆB ใดๆที่ใชในการวัดปริมาณทางฟสิกส จะไดวา operator ทั้งสองตองเปน Hermitian operatorDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-283. ถาเรากําหนดให α = ( A ˆ − Aˆ) Ψ และ ( B ˆ Bˆ)( AˆAˆ) ( A)( BˆBˆ) ( B)β = − Ψ จะไดวา2 2αα = Ψ − Ψ = Δ ___________________ สมการ (6.66)2 2β β = Ψ − Ψ = Δ ___________________ สมการ (6.67)เพราะฉะนั้น ทางซายมือของ Schwarz inequality มีคาเทากับ ( ΔAΔ B) 2 ในขณะที่ทางขวามืออยูในรูปของซึ่งจําเปนจะตองจัดรูปเสียใหม( A ˆ A ˆ)( B ˆ B ˆ)α β = Ψ − − Ψ ___________________ สมการ (6.68)4. พิจารณา operatorÔ ใดๆ เราสามารถพลิกแพลงไดวาOˆทั้งนี้ถากําหนดให Oˆ ( Aˆ Aˆ )( Bˆ Bˆ)ˆ ˆ† ˆ ˆ†O+ O O−O2 2= + ___________________ สมการ (6.69)= − − แลวจะมีผลใหˆ ˆ†O O AB ˆ ˆ BA ˆˆ ⎡Aˆ,Bˆ⎤− = − = ⎣ ⎦______________ สมการ (6.70)ˆ ˆ†O O AB ˆ ˆ BA ˆˆ 2 Aˆ Bˆ 2Aˆ Bˆ AˆBˆ+ = + − − + ______________ สมการ (6.71)5. ดังนั้นสมการ (6.68) แปรรูปเปนα β = Ψ OˆΨˆ ˆ† ˆ ˆ†O+ O O−O= Ψ + Ψ2 21 ˆ ˆ†1= Ψ ˆ ˆ( O+ O ) Ψ + Ψ ⎡A,B⎤Ψ2 2 ⎣ ⎦______________ สมการ (6.72)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-29†แบบฝกหัด 6.16 จงพิสูจนวา a) operator O ˆ + Oˆในสมการ (6.71) เปน Hermitian operatorเพราะฉะนั้นแลว expectation value ˆ ˆ†O+ O†เปนจํานวนจริงเสมอ b) operator Oˆ− Oˆในสมการ (6.70) มี expectation value เปนจํานวนจินตภาพเสมอ6. เพราะวา ˆ ˆ†O+ O†เปนจํานวนจริง และ O ˆ − Oˆเปนจํานวนจินตภาพ จากสมการ (6.72) เราบอกไดวา†และเปนธรรมดาที่ ( )( )2 22 1 ˆ ˆ†1α β = Ψ O+ O Ψ + Ψ ⎡Aˆ,Bˆ⎤ Ψ4 4 ⎣ ⎦2 2 21 ˆ ˆ 1 ˆ 1Ψ O+ O Ψ + Ψ ⎡A, Bˆ⎤ ⎡Aˆ,Bˆ⎤4 4 ⎣ ⎦Ψ ≥ Ψ Ψ4 ⎣ ⎦เพราะวาทั้งสองเทอมในทางซายมือของอสมการลวนเปนบวกทั้งคู เพราะฉะนั้นแลว2 1α β ≥ Ψ ⎡ABˆ,ˆ ⎤ Ψ42⎣ ⎦______________ สมการ (6.73)7. เมื่อรวมสมการ (6.73), สมการ (6.66), สมการ (6.67) ,และ อสมการ (6.65) เขาดวยกัน จะไดวา2 2 1Δ Δ ≥ α β ≥ Ψ ⎡Aˆ , Bˆ⎤ Ψ4 ⎣ ⎦( A B)2หรืออีกนัยหนึ่ง ( A B)2 1Δ Δ ≥ Ψ ⎡Aˆ , Bˆ⎤ Ψ42⎣ ⎦ซึ่งลดรูปใหงายลงไดในทายที่สุดก็คือ1ΔAΔB≥⎡Aˆ , Bˆ⎤2 ⎣ ⎦เพียงสั้นๆ 7 ขั้นตอน เราก็สามารถพิสูจนสมการ (6.63) ไดสําเร็จ6.6 Schrödinger EquationDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-30การศึกษา quantum mechanics คงจะขาดความสมบูรณ ถาเราไมไดกลาวถึง Schrödinger equationถึงแมวาจะกระทั่งบัดนี้ เราพยายามที่หลีกเลี่ยงการให wave function เขามาวิเคราะหปรากฏการณทางฟสิกสก็ตามใน Section 4.1.2 ของบทที่ 4 เราไดกลาวถึงสมการ Schrödinger ไปบางแลว ซึ่งสมการดังกลาวเขียนอยูในรูปแบบของสถานะ ket ไดวา∂i Ψ () t = HˆΨ () t∂t ______________ สมการ (6.74)และเพื่อแสดงใหเห็นวา matrix mechanics ดังในสมการ (6.74) นั้นมีขอบเขตการประยุกตกวางขวางกวา Schrödinger equation ที่ศึกษาคุนเคยใน quantum mechanics เบื้องตน เราจะมาศึกษาSchrödinger equation ที่สามารถเขียนออกมาใน 2 รูปแบบดวยกัน คือ 1) position space และ 2)momentum spaceSchrödinger Equation in Position Spaceใน position space เราสามารถนิยาม พลังงานรวมของระบบ หรือ Hamiltonian operator ที่ปรากฏในทางขวาของสมการ (6.74) ใหอยูในรูปของHˆˆ2p= + V( xˆ) ______________ สมการ (6.75)2mทั้งนี้เพื่อความสะดวกในการอธิบายความ เราจํากัดการวิเคราะหแตเฉพาะใน 1 มิติ ตามแกน x จากสมการ (6.75) จะเห็นวาˆ2p2m ก็คือ kinetic energy operator หรือ operator ที่ใชวัดพลังงานจลนของระบบ และ V( x ˆ)ก็คือ potential energy operator ซึ่งเปนตัวแทนของพลังงานศักยที่ระบบอยูภายใตอิทธิพล ยกตัวอยางเชน ในกรณีของอนุภาคอิสระที่เราศึกษาใน Section ที่ผานมา V( x ˆ) = 0 หรือในกรณีที่อะตอมโดนยึดติดอยูกับอะตอมอื่นๆดวยพันธะเคมี เราอาจจะ model พลังงานศักยนี้ไดวาV( xˆ)12ˆ2= kx โดยที่ k เปนตัวเลขที่แสดงถึงความแข็งแรงของพันธะเคมีดังกลาวใน position space เราเขียนสถานะของระบบ Ψ () t ใหอยูในรูปของDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-31Ψ () t =∫ dxψ( x,)t x ______________ สมการ (6.76)จะเห็นวา probability amplitude ψ ( x, t)ในสมการ (6.76) นั้น เปนฟงชันกของทั้งตําแหนง และเวลา ที่เปนเชนนี้ก็เพราะ Schrödinger equation ที่ปรากฏในสมการ (6.74) นั้นมีสวนที่เปลี่ยนแปลงไปกับเวลาดวย ดวยสถานะดังสมการ (6.76) ทําใหสมการ (6.74) เปลี่ยนรูปเปน∫∂dxi ( x, t) x dx ( x, t)Hˆxt ψ =∂∫ ψ ______________ สมการ (6.77)และเมื่อนําสถานะ bra x′ เขามาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะไดวา∫∫∂dxiψ( x, t) x′ x = dxψ( x, t)x′Hˆx∂t∫∂pˆdxiψ( x, t) δ( x′ − x) = dxψ( x, t) x′+ V ( xˆ) x∂t∫2m∂pˆiψ( x′ , t) = dxψ( x, t) x′ x + dxψ( x, t) x′V( xˆ) x∂t∫2m∫22______________ สมการ (6.78)ในการคํานวณขางตน ทางซายมือของสมการ เราใชคุณสมบัติของ Dirac delta function ในขณะที่ทางขวาประกอบดวยสองเทอมดวยกัน เทอมแรก จากสมการ (6.28) เราพิสูจนโดยงายวา2 2 2pˆ ∂x′ x =− ( x x)2m 2m 2x δ ′ −∂x′ V( xˆ) x V( x) δ ( x′x)และเทอมที่สอง จากสมการ (6.9) เราบอกไดทันทีวา= − และเมื่อผนวกกันเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับการintegrate Dirac delta function แลว จะทําใหสมการ (6.78) ลดรูปไดเปน2∂pˆiψ( x′ , t) = dxψ( x, t) x′ x + dxψ( x, t) x′V( xˆ) x∂t∫2m∫2 2∂ ∂iψ( x′ , t) =− ψ( x′ , t) + V( x′ ) ψ( x′, t)∂ t 2m 2∂x′และในทายที่สุด เพื่อความสะดวก เราสามารถที่จะเปลี่ยนตัวแปรจากเดิม x′ ใหเปน x ซึ่งก็จะได2 2∂ ∂i ψ( x, t) =− ψ( x, t) + V( x) ψ( x, t)∂t 2m 2∂x ______________ สมการ (6.79)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-32สมการ (6.79) ก็คือ Schrödinger equation ใน position space ซึ่งเปนตนกําเนิดสําคัญของ quantummechanics เบื้องตนที่นักศึกษาคุนเคยเปนอยางดี และโดยปรกติแลว การที่จะไดมาซึ่งผลเฉลยψ ( x, t)ก็ทําไดโดยการแกสมการอนุพันธอันดับสองของสมการดังกลาวนอกจากนี้ ψ ( x, t)ยังอาจจะหาไดโดยการใชความสัมพันธiE t− n() t cne εnnΨ =∑ดังที่ปรากฏใน Section 4.6 ของบทที่ 4 ซึ่งถาเราใชคํานิยาม Ψ () t =∫ dxψ( x,)t x และนําสถานะ bra x′ เขาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะพิสูจนไดวาเมื่อ ψ ( ) เปน eigen function ของสมการn xiE t− nψ ( x, t) cne ψ n( x)n= ∑ ______________ สมการ (6.80)2 2 ∂− ( ) ( ) ( ) ( )2 2 n x V x n x En n xm x ψ + ψ =∂ψ______________ สมการ (6.81)ในบางครั้งเราเรียกสมการ (6.81) นี้วา time independent Schrödinger equation ดวยเหตุที่วาเปนสมการอนุพันธที่ไมขึ้นกับเวลา และสําหรับการคํานวณหา wave function ψ ( x, t)ของระบบก็จะกระทําเปนขั้นตอนโดยสังเขปคือ1. กําหนดพฤติกรรมของระบบโดยการนิยาม V( x )2. กําหนดสถานะเริ่มตน ณ เวลา t=0 ของระบบ ซึ่งแทนดวย probability amplitude ψ ( xt , = 0)3. แกสมการ time independent Schrödinger equation เพื่อหาเซตของ eigen function { ψ n( x )}และeigen energy { E n}∗4. คํานวณสัมประสิทธิ์ cn= ∫ dxψn( x) ψ( x, t = 0)iE t− n5. ψ ( x, t) = cne ∑ ψ n( x)nDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-33Schrödinger Equation in Momentum Spaceในการสรางสมการ Schrödinger ใน momentum space เราจําเปนตองเริ่มดวยการศึกษาเอกลักษณทางคณิตศาสตร pxΨ ˆ กันเสียกอน พิจารณาpxˆΨ = pxˆ1ˆ Ψ= dx p xˆx x Ψ=∫∫dx p x xψ( x)______________ สมการ (6.82)ในสมการขางตน เราใช identity operator ที่เขียนอยูในรูปของ ˆ1 = ∫ dx x x ใหเปนประโยชนนอกจากนี้ เทอม p x x ยังสามารถเขียนใหอยูในรูปของ(6.35) เปนตัวอางอิง แตx1e2π−ipxโดยใชสมการ1 −ipx 1 ∂x e = ie2π2π∂p−ipx______________ สมการ (6.83)และเมื่อแทนสมการ (6.83) เขาไปในสมการ (6.82) จะไดวา1 ∂ˆ−ipxp x Ψ = dxi e ψ ( x)2π∫ ∂p∂ 1 −ipx= idxe ψ ( x)∂p2π∫ ϕ( p)เพราะฉะนั้นแลว∂p xˆ Ψ = i ( p)∂p ϕ ______________ สมการ (6.84)สมการ (6.84) แทบจะเรียกไดวามีความสัมพันธควบคูไปกับสมการ (6.27) เลยทีเดียว และในขณะนี้เราก็พรอมที่จะ derive สมการ Schrödinger ใน momentum spaceDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-34เริ่มดวย Schrödinger equation ในสมการ (6.74) ถาเรานําสถานะ bra p เขาประกบทั้งสองขางของสมการจะไดวา∂ip Ψ () t = p HˆΨ()t∂tˆ2p= Ψ + ˆ Ψ∂iϕ( p, t) p ( t) p V( x) ( t)∂t2m______________ สมการ (6.85)ทางขวามือของสมการขางตนนั้นมีอยูสองเทอมที่จะตองขยายความ เทอมแรกนั้น เนื่องจาก ˆp เปนHermitian operator ทําให2†2⎛ pˆ⎞ ⎛ pˆ⎞=⎜2m⎟ ⎜2m⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠เพราะฉะนั้น2 ⎧ 2† ⎫pˆ⎪ ⎛ pˆ⎞ ⎪p Ψ () t = ⎨ p Ψ()t2m⎜⎬2m⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎭22 2p= p Ψ()t2mpˆpp Ψ () t = ( p)2m2m ϕ______________ สมการ (6.86)สวนเทอมที่สองในสมการ (6.85) นั้นมีความซับซอนมากขึ้น ประการแรกก็คือ operator V( x ˆ)สามารถเขียนใหอยูในรูปของ Taylor series ( ˆ)ˆnV x = ∑ a x ดังนั้นnn∑p V( xˆ) Ψ ( t) = a p xˆΨ( t)nnnและจากสมการ (6.84) จะไดวา⎛ ∂ ⎞p V( xˆ) Ψ ( t) = an⎜i ⎟ ϕ( p, t)⎝ ∂p⎠nn∑ ______________ สมการ (6.87)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-35โดยที่⎛⎜i⎝∂ ⎞⎟∂p⎠n มีความหมายวา อนุพันธอันดับ n ถึงแมรูปแบบของ p V x ˆ(6.87) นั้นจะตีความในเชิงคณิตศาสตรไดชัดเจน บางครั้นเรานิยมเขียนยอๆวาnn⎛ ∂ ⎞∂an⎜i ⎟ ϕ( p, t) = V( i ) ϕ( p, t)⎝ ∂p⎠∂p∑ เพราะฉะนั้นแลว( ) ( t)Ψ ดังสมการ∂p V( xˆ) Ψ ( t) = V( i ) ( p, t)∂p ϕ ______________ สมการ (6.88)และในทายทีสุด เมื่อรวบรวมเทอมในสมการ (6.86) และ สมการ (6.88) จะทําให2∂ p∂i ϕ( p, t) = ϕ( p, t) + V( i ) ϕ( p, t)∂t 2m ∂p ______________ สมการ (6.89)สมการขางตนเปน Schrödinger equation ใน momentum spaceOperator in Position Space and Expectation Valueที่ผานมาเราพยายามที่เขียน eigenstate ใหอยูในรูปของ ket และเขียน operator ใหอยูในรูปของ ketbraโดยพยายามหลีกเลี่ยงที่จะใชรูปแบบสัญลักษณของ wave function ถาไมจําเปน ทั้งนี้ก็เพื่อประโยชนที่ตองการฝกใหนักศึกษาไดคุนเคยกับระเบียบวิธีทาง quantum mechanics ที่ใช ket และmatrix เปนหลัก และไมยึดติดกับ Schrödinger wave function จนเกินไปมาถึงขั้นนี้ เมื่อเรามีความเชี่ยวชาญเกี่ยวกับ ket และ matrix เปนที่นาพอใจแลว ก็ถึงเวลาที่เราจะสละทิ้งรูปแบบเปลือกนอกของสัญลักษณทาง quantum mechanics ไมวาจะเปน a) wave functionหรือเปน b) สถานะ ket ทั้งสอง ยอมมีความหมายเหมือนกัน และเปนเพียงเปลือกที่หุมไวดวยสาระของ quantum mechanics อันเดียวกัน ผูเชี่ยวชาญยอมสามารถเลือกใชเครื่องมือทั้งสอง ไดอยางคลองแคลว และสลับสับเปลี่ยนระหวางสองยุทธวิธีตามความเหมาะสมoperator ที่เราคุนเคย ซึ่งเขียนอยูในรูปแบบภาษาของ wave function ก็คือ operator ที่เขียนอยูในรูปของ position space อาทิเชน momentum operator ตามแนวแกน x คือ pˆ xHamiltonian operator2ˆ 2 H =− ∇ + V( r)2m ∂≡i ∂xหรือDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-36operator ในลักษณะดังกลาวนี้ จะสามารถกระทําไดแตเฉพาะกับ wave function ใน position spaceเพียงเทานั้น อาทิเชนmomentum operator pˆ ψ( x) = ψ( x)Hamiltonian operatorx ∂i ∂x2ˆ 2 Hψ( r) =− ∇ ψ( r) + V( r) ψ( r)2mเมื่อเปนเชนนี้ก็หลีกเลี่ยงไมไดที่บางครั้งจะเกิดความสับสนในการใชสัญลักษณ วา operator Ô ที่เรากําลังกลาวถึงนั้น เปน operator ใน position space หรือ เปน operator ที่เขียนขึ้นในรูปทั่วไปอยางในสมการ (6.5) กันแน จึงตองอาศัยประสบการณของนักศึกษาเอง ที่จะสามารถแยกแยะทั้ง 2 กรณีออกจากกัน โดยอาศัยบริบทของเนื้อหาแวดลอม เปนตัวตัดสินอนึ่ง การเขียน operator ใน position space นั้นคอนขางงายตอการคํานวณ expectation value หรือคํานวณ probability amplitude กําหนดให ψ ( r ) คือ wave function ที่ใชแทนสถานะของระบบจะไดวา expectation value ของ operator Ô ก็คือ3expectation value ˆO = d r ( ) ˆ∫ ψ r Oψ( r) in position space ______ สมการ (6.90)หรือ ในกรณีของ matrix element ระหวางสถานะ φ( r ) และ ( r )ตรงไปตรงมาใน position space กลาวคือψ ก็สามารถคํานวณไดอยาง3 ∗ φψ ≡ ∫ d r φ ( r) ψ( r)in position space ______ สมการ (6.91)นักศึกษาจะเห็นวา สมการ (6.90) นั้นคอนจะงายกวาสมการ (6.12) อยูมากทีเดียว ทั้งๆที่มีความหมายเดียวกัน ที่แตกตางกันก็เพราะวา operator Ô ในสมการ (6.90) นั้นมีขอจํากัดก็คือจะตองเขียนขึ้นใน position space เพียงเทานั้นขอจํากัดดังกลาวนี้ไมกอใหเกิดปญหามากนัก เพราะสถานการณตางๆโดยทั่วไปในทาง quantummechanics นั้น จะใช position space เปนหลักDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-37แบบฝกหัด 6.17 สมมุติวาอนุภาคมวล m ใน 1 มิติอยูในสถานะที่อธิบายดวย wave functionψ14⎛mω⎞ −mωx2( x)e 2 = ⎜ ⎟⎝ π ⎠a) จงคํานวณหา expectation value ของ พลังงานจลน12 m x2b) จงคํานวณหา expectation value ของ operator ω ˆc) จงแสดงใหเห็นวา ψψ = 1d) จงแสดงใหเห็นวา 0 φψ = เมื่อ6.7 Square Well Potential2 2 ∂−2m ∂x 2⎡ 34 ⎛mω⎞⎤φ( x)= ⎢ ⎜ ⎟ ⎥⎢π⎝ ⎣⎠ ⎥⎦14xe−mωx2 2 เมื่อเราไดศึกษาการเขียนสมการ Schrödinger ทั้งสองรูปแบบคือ in position space ในสมการ (6.79)และ in momentum space ในสมการ (6.89) มาแลว ก็มีความจําเปนที่เราจะตองยกตัวอยางการนํามาใชงาน ซึ่งก็คือการศึกษา quantum well ของสารประกอบ GaAs และ GaAlAsโครงสรางของ quantum wellmodel ในการศึกษาV ( x)x2aบอพลังงานศักยGaAlAs2aGaAsภาพ 6.4 แสดงชั้นของสาร GaAs ซึ่งโดยประกบอยูระหวาง GaAlAsxโครงสรางของ quantum well อีกแบบหนึ่งก็คือการนําสารกึ่งตัวนํามาประกอบกันเปนชั้นๆยกตัวอยางเชนในภาพ 6.4 แสดงชั้นของสาร GaAs ซึ่งโดยประกบอยูระหวาง GaAlAs ในการศึกษาหรือทํานายคุณสมบัติของกระแสอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ผานโครงสรางลักษณะดังกลาวนี้เราสามารถใช model ทาง quantum mechanics อยางงาย เพื่อวิเคราะหสมบัติพื้นฐานอยางหยาบๆดวยการมองวาอิเล็กตรอนนั้น ตกอยูภายใตอิทธิพลของบอพลังงานศักยคาหนึ่ง ซึ่งมีความกวางของบอเทากับความหนาของชั้น GaAsDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-38บอพลังงานศักยดังกลาว เรียกกันทั่วไปวา Finite Square Well ในขั้นแรกนี้ Finite Square Well เปนบอพลังงานศักย ซึ่งมีความสูงเทากับ V 0 และความกวาง 2a ดังจะเห็นในภาพที่ 6.5 โดยที่ขอบบอทั้งสองขาง ไดถูกวางไวใหมีความสมมาตร ในทั้งดานขวาและดานซายของแกน x ทั้งนี้ก็เพื่อใหงายตอการวิเคราะหในเชิงคณิตศาสตรในลําดับตอไปV 0− x− a+ a+ xϕI(x)ϕII(x)ϕ III(x)ภาพ 6.5 Finite Square Well ซึ่งเปนลักษณะของบอพลังงานศักยที่มีความสูง V 0 และความกวางของบอ 2aจากภาพที่ 6.5 เราสามารถที่แบง Finite Square Well ตามแนวแกน x ออกเปน 3 สวนดวยกันจากนั้น เขียนสมการ Schrödinger ในแตละสวนตามลําดับไดดังตอไปนี้⎛ 1 2 ⎞⎜−∇ + V0⎟ϕI(x)= EϕI(x)⎝ 2 ⎠1 2− ∇ ϕII(x)= EϕII(x)2⎛ 1 2 ⎞⎜−∇ + V0⎟ϕIII(x)= EϕIII(x)⎝ 2 ⎠; − ∞ < x < −a; − a < x < + a; + a < x < +∞___________ สมการ (6.92)ซึ่งถาเรามุงที่จะวิเคราะห แตเฉพาะในกรณีที่อิเล็กตรอนถูกจํากัดอยูแตภายในบอ กลาวคือ พลังงานของอิเล็กตรอน E < V0จะได wave function ในทั้ง 3 สวนดังนี้φ ( x) = AIφ ( x) = B cos(k ⋅x)IIφ ( x) = AIIIQx ⋅+ e+−Qx⋅+ eφ ( x) = A eIφ ( x) = B sin(k ⋅ x)IIφ ( x) =−AeIIIQx ⋅−−−Qx⋅−___________ สมการ (6.93)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-39+ 2V และ2 2k Q =0E2k2= ___________ สมการ (6.94)แบบฝกหัด 6.18 จงพิสูจนหาความสัมพันธระหวาง k และ Q ในสมการ (6.94)รูปแบบของ wave function ในสมการ (6.93) นั้น ลวนแลวแตเปนคําตอบของ SchrödingerEquation ในสมการ (6.92) โดยสามารถจําแนกออกเปนสองประเภทคือ ฟงชันกคู และฟงชันกคี่ตามที่เห็นไดจากเทอม cos( kx ) และ เทอม sin( kx ) ในสมการที่ (6.93) นั่นเองจะสังเกตวาสมการในขางตนนั้น มีตัวแปรหรือคาคงที่ ซึ่งยังไมทราบคาอยูจํานวนหนึ่งคือ A ±, B±, k และ Q การที่เราจะทราบคาที่แทจริงของตัวแปรเหลานี้ จําเปนเปนตองอาศัยคุณลักษณะอื่นๆของ wave function เขามาพิจารณารวมกันดวยกลาวคือ ถาเราพิจารณาตําแหนง x =− a และ x = + a ซึ่งตําแหนงทั้งสองนี้เปนรอยตอของϕI(x), ϕII(x),และ ϕIII(x)จะไดวา คาของฟงชันก และ 1 st derivative ของฟงชันก จะตองเทากันดวยเหตุที่ wave function มีความตอเนื่อง ไมขาดตอนในบริเวณรอยตอเหลานี้ϕ ( a)= ϕ ( a)IIdϕII(x)dxaIIIdϕIII(x)=dxa___________________ สมการ (6.95)ถาเรานําขอจํากัดในขางตนมาพิจารณากับ wave function ในสมการ (6.93) โดยแยกพิจารณาสําหรับฟงชันกคูและฟงชันกคี่เปนกรณีๆไป จะไดวา−Qa⋅B+ cos(ka) = A+e−Qa⋅-kB+ sin(ka) =−QA+eEven solution−Qa⋅B−sin(ka)=−A−e−Qa⋅kB−cos(ka)= QA−eOdd solution________ สมการ (6.96)จาก สมการ (6.96) และ สมการ (6.94) เราสามารถสรุปความสัมพันธระหวาง k และ Q ดังตอไปนี้k tan(ka)= Q2 2k + Q = 2VEven solution0- k cot(ka)= Q2 2k + Q = 2VOdd solution0________ สมการ (6.97)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-40จะมีเซตของคา { kQ , } เพียงจํานวนหนึ่งเทานั้น ที่จะทําใหสมการ (6.97) เปนจริง โดยที่เราสามารถหาคําตอบไดโดยการวิเคราะหกราฟ ดังแสดงในภาพ (6.6) ยกตัวอยางเชน ในกรณีของฟงชันกคู2 2จุดตัดของวงกลม k + Q = 2V0ซึ่งมีรัศมี 2V0กับกราฟ Q = k tan(ka)เปนจุดของ { kQ , }ที่ทําให สมการ (6.97) เปนจริงแบบฝกหัด 6.19 จงพิสูจนวา ในกรณี ของ Finite Square Well ซึ่งมีความกวาง 2a และความสูง V 02V a0จะมีจํานวน bound state ( E < V0) ซึ่งเปนฟงชันกคูเทากับ 1+ floor( ) และเปนฟงชันกคี่2V a120เทากับ 1+floor( − )πหมายเหตุ ฟงชันก ( )floor x คือจํานวนเต็มที่มากที่สุด ซึ่งนอยกวาจํานวนจริง xπQ22k +Q=2V0Q = k tan(ka)Q =−k cot(ka)kภาพ 6.6 แสดงการวิเคราะหกราฟเพื่อที่จะหาเซต { kQ , } ที่ทําใหสมการ (6.97) เปนจริงยกตัวอยางเชน ในกรณีของฟงชันกคู จุดตัด2 2ของวงกลมสีแดง k + Q = 2V0และ กราฟสีน้ําเงิน Q = k tan(ka)มาถึงจุดนี้ เราสามารถที่จะคํานวณคา { kQ , } ที่เปนไปไดของระบบ โดยเฉพาะอยางยิ่ง คา k นั้นมีความสัมพันธกับระดับพลังงานตามสมการ (6.94) นอกเหนือจากนี้ คาของ B±ยังสามารถเขียนใหอยูในรูปของ A±, k, Q, และ a โดยใชสมการ (6.96)Qae − ⋅Qae − ⋅B+ = A+B−A−cos(ka)sin(ka)Even solutionOdd solution=− ________ สมการ (6.98)ซึ่งถานํา B±ที่ไดในขางตน เขาไปแทนคาในสมการ (6.93) ก็จะได wave function ดังนี้Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-41Qx ⋅I( x) = A+e-Q⋅aeII( x) = A+cos(k ⋅x)cos(k a)φφφ−Qx⋅III( x) = A+eEven solutionQx ⋅I( x) = A−e−Qa⋅eII( x) = − A−sin(k ⋅x)sin(k a)φφφ−Qx⋅III ( x) =−A−eOdd solution______ สมการ (6.99)การที่เราจะได wave function ที่ครบถวนสมบูรณนั้น จําเปนตองหาคาของ A±ในสมการ (6.99)เสียกอน ซึ่งคาของ A±นั้น ไดมาจาก Normalization condition กลาวคือ ความเปนไปไดที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงใดๆ ควรจะมีผลรวมเปน 1 เสมอ หรืออีกนัยหนึ่ง− a+ a+∞2 2 2φI ( x) dx + φII( x) dx + φIII( x) dx = 1-∞ -a+ a∫ ∫ ∫ ________________ สมการ (6.100)การที่ผลบวกของ Integral ทั้ง 3 เทอม มีคาเปน 1 จะทําใหสามารถหาคาของ A±ไดดังนี้QA+=kcos(k ae )2 22V cos (k a)+ k Qa0QA−=ksin(k ae )2 22V sin (k a)+ k Qa0Q⋅aQ⋅a________________ สมการ (6.101)แบบฝกหัด 6.20 จงพิสูจนหาคา A±ในสมการ (6.101)ในที่สุด เราก็ได wave function ที่ครบถวนสมบูรณ ดังจะเห็นใน สมการ (6.99) และ สมการ (6.101)ยกตัวอยางเชน ถาเรากําหนดให a = 2 Bohr และ Vo = 1 Hartrees จากการวิเคราะหกราฟที่มีลักษณะคลายๆกับ ภาพ 6.6 เราจะมีคําตอบที่เปน bound state อยูสองคําตอบ ซึ่งมีพลังงานE=0.166 Hartrees และ E=0.623 Hartrees ดังที่เห็นในภาพ 6.7Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-42210−1− 50 5x-axis (Bohr)Ground State ฟงชันสคูk = 0.576Q = 1.292A + = 3.237E = 0.166 HartreesExcited State ฟงชันสคี่k = 1.116Q = 0.869A - = 2.526E = 0.623 Hartreesภาพ 6.7 แสดง wave function ของบอพลังงานศักยที่มีความกวาง 2 Bohr และความสูง Vo= 1Hartrees คา {k,Q} ไดมาจากเทคนิคการวิเคราะหกราฟดังที่อธิบายในภาพ 6.6เราสามารถที่จะตรวจสอบความถูกตองของ wave function ในสมการ (6.99) และ สมการ (6.101) ไดโดยสมมุติให V0→ ∞ ซึ่งจะเปนระบบแบบ Infinite Square Well ดังที่ไดกลาวไวแลว ในกรณีนี้จะไดวา จุดตัดของกราฟ ดังในภาพที่ 6.6 จะอยูที่Q → ∞⎛ 1 ⎞ka= ⎜n+ ⎟π; n = 0,1,2, …⎝ 2 ⎠2⎛ 1 ⎞ πE = ⎜n+ ⎟2⎝ 2 ⎠ 2aEven solution2Q → ∞ka= nπ; n = 1,2, …22 πE = n22aOdd solutionทําให wave function ในสมการที่ (6.99) ลดรูปลงมาเหลือเพียงϕ ( x)= 0I1ϕII( x)= cos(k ⋅ x)aϕIII(x)= 0Even solutionϕ ( x)= 0I1ϕII( x)= sin(k ⋅ x)aϕIII(x)= 0Odd solutionซึ่งก็เปน wave function ของระบบ infinite square well นั่นเอง6.8 Scattering in One DimensionDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-43Section ที่ผานมา เราไดศึกษาระดับพลังงานและ wave function ของระบบที่ถูกขังอยูในบอพลังงานศักย ซึ่งเปน model ที่เราใชในการศึกษาพฤติกรรมของอิเล็กตรอนที่อยูภายในชั้นของ quantum wellในคราวนี้เราจะมาศึกษาระบบที่พลังงานศักยมีลักษณะเปนเหมือนกําแพง เรียกวา "potential barrier"หรือ กําแพงศักย ซึ่งกําแพงดังกลาวเปน model ในการศึกษาการทดลองที่เรียกวา scatteringexperimentincident beamreflected beamtransmitted beamภาพ 6.8 ในเมื่อเราจํากัดการกระเจิงใหอยูแตเพียง 1 มิติ ทิศทางในการ scattered จึงมีไดเพียง 2 ทิศคือ 1) ยอนกลับ หรือที่เรียกวา reflected beam และ 2) ทะลุผาน หรือที่เรียกวา transmitted beamใน scattering experiment อนุภาคที่มีพลังงานสูงจะถูกยิงเขาสูเปาหมาย เมื่อเขาใกลก็จะมีinteraction กับสิ่งที่กําลังกีดขวาง และอนุภาคก็จะเกิดการ "กระเจิง" หรือ "scattered" ไปในทิศทางตางๆกัน เพื่อใหงายตอการศึกษา เรามาวิเคราะหการทดลองดังกลาวโดยใช model แบบงายๆใน 1มิติ และในเมื่อเราจํากัดการกระเจิงใหอยูแตเพียง 1 มิติ ทิศทางในการ scattered จึงมีไดเพียง 2 ทิศคือ 1) ยอนกลับ หรือที่เรียกวา reflected beam และ 2) ทะลุผาน หรือที่เรียกวา transmitted beamขอควรระวัง นักศึกษาตองไมลืมวาภาพ 6.8 เปนกราฟที่แสดงความนาจะเปนที่จะพบอนุภาค ซึ่งแทที่จริงแลว เมื่ออนุภาคพุงเขามามี interaction กับกําแพงศักยแลว จะปรากฏวามันทะลุผานหรือสะทอนกลับนั้น เปนเรื่องของความนาจะเปน ภาพ 6.8 มิไดหมายความวาอนุภาคพุงชนกําแพงแลวแตกออกเปนสองเสี่ยง ซึ่งสวนหนึ่งทะลุผานและอีกสวนที่เหลือสะทอนกลับPlain-Wave Model of Particle Beamแตทวา ใน scattering experiment ทั่วๆไปแลว เรามิไดใชอนุภาคเพียงอนุภาคเดียวในการทดลองแตเปนลักษณะของ particle beam หรือ ลําของอนุภาคจํานวนมากที่พุงเขาสูเปาหมาย ยกตัวอยางDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-44เชนในกรณีของ particle beam พุงผานพื้นที่วางซึ่งไมมีกําแพงศักยกั้นอยู หรือ V( r ) = 0เขียนสมการ Time-Independent Schrödinger ไดวาเราสามารถ2− 2 ( r ) E ( r )2∇ = m ψ ψในสมการขางตน เราเขียนใหอยูในรูปของ 3 มิติ ซึ่งมีคําตอบของสมการคือψ ( r)=1Ve ik ⋅rและ 2 kE =2m________________ สมการ (6.102)จะเห็นวา normalization constant ของ probability amplitude ขางตน ก็คือ 1 V ซึ่งหมายถึง "หนึ่งสวน square root ของปริมาตรของระบบที่เรากําลังพิจารณา" เทคนิคการเขียนฟงชันกในลักษณะนี้มีประโยชนทําใหฟงชันก ψ ( r ) มีสมบัติการ normalization เปนหนึ่ง กลาวคือ∫∫ 3 ∗ 3 1 −ik ⋅ r 1 + ik ⋅r∫d rψ( r) ψ( r)= d r e eV V1 3= d rV∫3 ∗ d rψ( r) ψ( r) = 1สวน vector k ในสมการ (6.102) นั้นเรียกวา wave vector และมีความสัมพันธกับ momentum ของparticle beam ที่เรากําลังกลาวถึง ซึ่งก็คือp = k ________________ สมการ (6.103)แบบฝกหัด 6.21 จงแสดงใหเห็นวา probability amplitude ในสมการ (6.102) เปน eigenstate ของmomentum operator ใน 3 มิติ ∂ ∂ ∂ x pˆx Ψ = ψ( r) y pˆy Ψ = ψ( r) z pˆzΨ = ψ( r)i ∂x i ∂y i ∂zและพิสูจนใหเห็นวา eigenvalue ของ momentum operator ดังกลาวก็คือ k นั่นเองDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-45นักศึกษาจะเขาใจวารูปแบบทางคณิตศาสตรของ probability amplitude (หรือ wave function) ในสมการ (6.102) นั้น มีสมบัติที่เหมาะสมที่จะใชเปน model ของ particle beam ไดเปนอยางดี ดวยการพิจารณา time evolution ของฟงชันก ψ ( r ) ดังกลาวนี้ ซึ่งในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.80)จะไดวาψ ( rt , ) =1Ve ikr( ⋅ −ωt)เมื่อ2ω= 2km________________ สมการ (6.104)เมื่อ plot graph ของ ψ ( rt , ) ใน 1 มิติ จะเห็นวามีลักษณะเปนคลื่นที่กําลังเคลื่อนที่ดังภาพ 6.9 โดยที่k เปนตัวกําหนดทิศทางการเคลื่อนที่ดังกลาวprobability amplitudeprobabilityψ( x, t ) ∼exp( ikx −i ωt)2ψ ( xt, )=คาคงที่xxภาพ 6.9 แสดง model ที่ใชแทนระบบของ particle beam จะสังเกตวา probability amplitudeเคลื่อนที่จากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณีที่ k เปนบวก) ในทางตรงกันขาม ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคที่ประกอบกันขึ้นเปน particle beam มีคาคงที่ตลอดแนวแกน xภาพ 6.9 แสดง model ที่ใชแทนระบบของ particle beam จะสังเกตวา1) probability amplitude เคลื่อนที่จากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณีที่ k เปนบวก) ซึ่งลักษณะทางคณิตศาสตรเชนนี้ก็เหมือนกับการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่ประกอบกันขึ้นเปน particle beam2) ในทางตรงกันขาม ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคเหลานี้ มีคาคงที่ตลอดแนวแกน x ซึ่งเปนลักษณะของ particle beam ที่โดยเฉลี่ยแลว พอจะอนุโลมไดวามีลักษะเปนเนื้อเดียวกันโดยตลอดทั้งbeam เพราะฉะนั้น ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคจึงเปนคาคงที่ตลอดแนวแกน xDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-46อยางไรก็ตาม สถานะของระบบดังในสมการ (6.104) เปนเพียงอีกสถานะหนึ่งที่เปนไปได ในความเปนจริงแลว particle beam อาจจะประกอบดวยอนุภาคที่มี momentum คาตางๆกัน หรือมีทิศทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคแตกตางกัน ยกตัวอยางเชนแสงที่สองจากดวงอาทิตยมีความถี่ตางๆกัน ซึ่งหมายถึงมี momentum แตกตางกัน หรือแสงที่ปรากฏอยูภายในหองมีที่มาจากหนาตางหลายๆบานซึ่งหมายถึงมีวามันมีทิศทางตางๆกันนั่นก็หมายถึงในเมื่อเราพิจารณา particle beam ที่ซับซอนเหมือนจริงมากขึ้น สถานะของระบบอาจจะอยูในรูปของ linear superposition ของสถานะพื้นฐานดังในสมการ (6.102) ดังจะไดยกตัวอยางการคํานวณในทาง quantum mechanics ที่เกี่ยวของกันการ scatteringScattering from Potential BarrierAe+ ikx−ikx+ BeikxCe +incident + reflectedtransmitted or tunneledภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มิติของ interaction ระหวางอนุภาคที่ถูกเรงใหมีความเร็วสูงกับ targetภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มิติของ interaction ระหวางอนุภาคที่ถูกเรงใหมีความเร็วสูงกับtarget ซึ่งเราแทน interaction ดังกลาวดวย potential barrier ที่มีความสูงเทากับ V 0 และเขียนใหอยูในรูปของฟงชันกไดวา⎧ 0

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-47และสมมุติใหอนุภาคมีพลังงาน E

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-48− ikd + ikd − qd + qdAe + Be = Fe + Ge− ikd + ikd − qd + qdikAe − ikBe = qFe −qGeqd −qd ikdFe + Ge = Ceqd −qd ikdqFe − qGe = ikCeและเพื่อใหจํานวนตัวแปรลดลง เราหารทุกๆสมการดวย A และจัดรูปเสียใหมจะไดวา+ ikd − qd + qd −ikdbe − fe − ge =−e+ ikd − qd + qd −ikd−ikbe − qfe + qge =−ikeikd qd −qd− ce + fe + ge = 0ikd qd −qd− ikce + qfe − qge = 0B C F GA A A Aทั้งนี้เรานิยาม b≡ , c≡ , f ≡ , g ≡ เพื่อความกระชับในการเขียนสมการ และสมการขางตนมีคําตอบผลเฉลยคือ−ikd −qd − ikd + qd −2ikdb= fe + ge −e−2ikd−4ikqec =( q−ik) e − ( q+ik)e( q+ik)ef =2q( q−ik)eg =2q2 + 2qd2 −2qdikd −qdikd + qdcc________________ สมการ (6.108)ซึ่งเมื่อนําผลเฉลยดังกลาวแทนเขาไปใน probability amplitude ในสมการ (6.106) จะไดลักษณะดังภาพ 6.10 จะสังเกตเห็นวา ถึงแมพลังงานของระบบ จะมีคานอยกวา potential barrier ก็ตามอนุภาคยังมีความนาจะเปนที่จะทะลุผานกําแพงศักยออกไปได ปรากฏการณเชนนี้เรียกวา "tunneling"tunneling เปนหนึ่งในปรากฏการณที่เกิดขึ้นจริง แตขัดแยงกับ classical mechanics โดยสิ้นเชิงนักศึกษาคงเคยปนจักรยานใหเร็วที่สุด จากนั้นปลอยใหมันวิ่งขึ้นเนินดวยอาศัยพลังงานจลนของตัวจักรยานเอง แนนอนวาถาพลังงานจลนที่เราใสเขาไปในจักรยานดวยการปนนั้น มีคานอยกวาพลังงานศักยที่เกิดจากความสูงของเนิน เรายอมขามเนินไปไมได กลาวคือ ความนาจะเปนที่จะพบจักรยาน ณ อีกฟากหนึ่งของเนินเปนศูนยDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-49แตในระบบขนาดเล็กๆเชน atom หรือ molecule ปรากฏการณ tunneling เกิดขึ้นไดทั่วไป และยังเปนที่มาของสิ่งประดิษฐที่เรียกวา "Scanning Tunneling Microscope" หรือ STM อีกดวยจากการวิเคราะหปรากฏการณ tunneling ดังกลาว เราสามารถนิยาม transmission coefficient วาเปนอัตราสวนของ particle beam ที่ทะลุออกไป ตอ incident beam ไดวาtransmission coefficientTCA2= ________________ สมการ (6.109)และในทํานองเดียวกัน reflection coefficient ก็เปนอัตราสวนที่ particle beam จะสะทอนกลับภายหลังจากมี interaction กับ potential barrier แลวreflection coefficientRBA2= ________________ สมการ (6.110)ขอควรระวัง อยางไรก็ตาม transmission coefficient และ reflection coefficient ดังในสมการขางตนมีความหมายแคบๆที่มีขอบเขตการใชงานจํากัดอยูแตเฉพาะในการวิเคราะห potential barrier เทานั้นคํานิยามของ coefficient ทั้งสองซึ้งใชเปนมาตรฐานสากลจําเปนจะตองนําความรูเรื่อง probabilitycurrent เขามารวมอธิบาย ซึ่งเราจะกลาวถึงโดยละเอียดอีกครั้งในเนื้อหาของบท Scatteringดังตัวอยางของ potential barrier ขางตน เมื่อรวมรวมเอาสมการ (6.109) , (6.108) , และ (6.107) เขาดวยกัน เราบอกไดวาT1=2V021+sinh (2 qd)4 EV ( 0 − E)เมื่อq =( − E)2mV02__________ สมการ (6.111)แบบฝกหัด 6.22 จงพิสูจนสมการ (6.111)2 2 2⎣⎦2 + 2qd2 −2qd2 2บอกใบ : ( q −ik) e − ( q + ik) e = ⎡2( q + k )sinh(2 qd) ⎤ + [ 4qk]Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-50แบบฝกหัด 6.23 จงวิเคราะหหา probability amplitude ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.108) แตเปนในกรณีที่ E > V0และพิสูจนใหเห็นวา ในกรณีดังกลาวนี้12mT =เมื่อ( E-V0)q =__________ สมการ (6.112)2V021+sin (2 qd)4 EE ( −V0)transmission coefficient as a function of beam energy2T 10.80.6T1=2V1 + 0⎨4 EE −V ⎪⎩sin (2 qd )E V2⎪⎧ sinh (2 qd )E

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-51และเมื่อกลาวถึง classical mechanics หรือ Newtonian mechanics แลวนั้น หัวใจสําคัญของทฤษฏีดังกลาวตั้งอยูบนพื้นฐานของกฎขอที่สองของ Newton ซึ่งกลาววาdpF = = ma ใน Newtonian mechanics __________ สมการ (6.113)dtในมุมมองของ Newtonian mechanics กฎดังกลาวเปน axiom ที่กําหนดขึ้นโดยไมมีตรรกะรองรับ แตดวยอาศัยผลการทดลองจํานวนมหาศาลที่พิสูจนเปนประจักพยานแลววา กฎดังกลาวถูกตอง และใน Section 6.9 นี้เราจะมากลาวถึงศักยภาพอีกอันหนึ่งของ quantum mechanics ที่สามารถ "derive"กฎขอสองของ Newtonกอนอื่นเรามาพิจารณา Hermitian operator  ใดๆ และมาวิเคราะหวา เมื่อนํา operator ดังกลาวมาตรวจวัดสถานะของระบบ expectation value ที่ไดจะเปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไรบางddtˆ dA = Ψ() t AˆΨ () tdtและเมื่ออาศัยกฎลูกโซจะไดวาd ˆ ⎛ d ⎞() ˆ () () ˆ⎛ d ⎞ ∂A = t A t t A () t () t Aˆ⎜ Ψ ⎟ Ψ + Ψ ⎜ Ψ ⎟+ Ψ Ψ()tdt ⎝dt ⎠ ⎝dt ⎠ ∂tเมื่อนํา Schrödinger equation ดังในสมการ (6.74) เขามาเปลี่ยนรูปพจนที่อยูในวงเล็บ จะทําใหd ˆ ⎛ i ˆ ⎞() ˆ () () ˆ⎛ i ˆ ⎞ ∂A = () () ˆ⎜ Ψ t H⎟A Ψ t − Ψ t A⎜ H Ψ t ⎟+ Ψ t A Ψ()tdt ⎝⎠ ⎝⎠ ∂ti() ˆˆ it HA () t () t AH ˆ ˆ∂= Ψ Ψ − Ψ Ψ () t + Ψ() t AˆΨ()t∂td ˆ iA () t HA ˆˆ AH ˆ ˆ∂= Ψ − Ψ () t + Ψ() t AˆΨ()tdt ∂tเราสามารถลดรูปสมการขางตนใหกระชับขึ้นอีกโดยใชคํานิยามของ commutatorHA ˆˆ − AH ˆ ˆ = ⎡ H ˆ, A ˆ⎤⎣ ⎦เพราะฉะนั้นแลวDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-52ddtˆ i() ˆ , ˆ ∂A = Ψ t ⎡H A⎤Ψ () t + Ψ() t AˆΨ()t ⎣ ⎦ ∂t__________ สมการ (6.114)สมการขางตนอธิบายความเปลี่ยนแปลงตามเวลาของ expectation value ของ operator ใดๆ ซึ่งมีประโยชนมากในการวิเคราะหวาระบบที่เรากําลังพิจารณาอยูนั้น มี ตําแหนง, momentum, หรือปริมาณทางฟสิกสอื่นๆ เปนฟงชันกอยางไรกับเวลาที่ผานไปยกตัวอยางเชน พิจารณา momentum operator p ˆ x จากสมการ (6.114) จะไดวาddti ˆ∂pˆx = Ψ() t ⎡H, pˆx⎤Ψ () t + Ψ() t pˆxΨ()t ⎣ ⎦∂t= 0__________ สมการ (6.115)เนื่องจาก momentum operator p ˆ x ไมสวนที่ขึ้นกับเวลา ดังนั้นเทอมที่สองจึงเปนศูนย นอกจากนี้Hamiltonian ใน 1 มิติคือHˆˆ2p= + V( xˆ) เพราะฉะนั้นแลว2m⎡ ˆ2ˆ p ⎤⎡H, pˆx⎤ , pˆ⎣ ⎦= ⎢ x⎥+⎢⎣2m⎥⎦⎡ ⎤ˆn= ⎢∑anx, pˆx⎥⎢⎣n ⎥⎦=∑nˆna ⎡n x , pˆ⎣[ V( xˆ),pˆ]x⎤⎦xโดยที่ในสมการขางตน เราเขียน operator ของพลังงานศักย V( x ) ใหอยูในรูปของ Taylor expansionV xˆ = ∑ a xˆ2นอกจากนี้ จากแบบฝกหัด 6.23 เราบอกไดวา( ) nn∑⎡Hˆ , pˆx⎤ = i annxˆ⎣ ⎦n−1a xˆ⎡Hˆ , pˆx⎤∂i V( xˆ⎣ ⎦= )∂xn∂= i∂x∑nnnDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-531แบบฝกหัด 6.25 จงหาพิสูจนวา ⎡ˆn, ˆ ˆnx p ⎤ = i nx − โดยเริ่มจากสมการ (6.24)ดวยเหตุนี้เอง สมการ (6.115) จึงลดรูปเหลือเพียง⎣x⎦ddtpˆ xdVdx= − __________ สมการ (6.116)นอกจากนี้ อีกตัวอยางหนึ่งของการนําเอาสมการ (6.114) มาใชวิเคราะหก็คือ expectation valueของตําแหนงของอนุภาค หรือddti ˆ∂xˆ = Ψ() t ⎡H, xˆ⎤Ψ () t + Ψ() t xˆΨ()t ⎣ ⎦∂t= 0แบบฝกหัด 6.26 จงหาพิสูจนวาซึ่งจากการสมการ (6.117) ทําให⎡ ˆ iH xˆ⎤ =− pˆ⎣ ⎦ m, x__________ สมการ (6.117)ddtx ˆˆp x= __________ สมการ (6.118)mสมการ (6.116) และสมการ (6.118) ดูผิวเผินคงเปนเพียงเอกลักษณทางคณิตศาสตรอีกอันหนึ่งที่ไมมีประโยชนใชงานที่เปนรูปธรรมมากนัก แทจริงแลว ทั้งสองสมการมีความสําคัญและยังมีชื่อเฉพาะวา Ehrenfest Theoremเราจะเห็นความสําคัญของ Ehrenfest Theorem ดวยการวิเคราะหตอยอดจากสมการทางคณิตศาสตรd ⎛ d ⎞≡ ⎜ ⎟dt ⎝dt⎠ทั้งสองอีกสักนิด ถาเรานิยามความเรงวา a xˆแลวจากสมการ (6.118) จะได1 da=mdtdma = pˆdtxpˆxDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-54และจากสมการ (6.116) ถาเรานิยามแรงที่กระทํากับอนุภาควา F ≡ − V( xˆ) จะนําไปสูความสัมพันธที่เปนรากฐานของความรูทางกลศาสตรของมนุษยในยุคกอนป 1926 นั่นก็คือddx6.10 บทสรุปF = maในบทที่ 6 เราใชกลไกของ matrix mechanics เพื่อศึกษาระบบที่มี basis state เปนสถานะที่ตอเนื่องอาทิเชน position และ momentum ซึ่งเริ่มดวยการใช position เปน basis stateΨ =∫dxψ( x)xในลักษณะเชนนี้ bra-ket ของสองสถานะใดๆ สามารถเขียนใหอยูในรูปของ integral ไดวาΦΨ =∫ dxϕ( x) ψ( x)∗จากนั้นเราก็ไดทําความรูจักกับ operator ที่เกี่ยวของ นั่นก็คือ translation operator Ta ˆ( ) ซึ่งมีผลใหbasis state x เปลี่ยนไปเปนสถานะ x + a และแทนที่จะเลื่อนสถานะตามแนวแกน x เปนระยะทาง a เราสามารถที่จะพิจารณาการเลื่อนเปนระยะ infinitesimal translation Δ x โดยที่ˆ iT( Δ x) = 1− pˆxΔxเมื่อ p ˆ x คือ generator of translationทั้งนี้ นอกจาก p ˆ x จะเปน generator of translation มันก็ยังเปน momentum operator ซึ่งมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตรที่สําคัญคือและ[ xˆ pˆ], x= i ∂x pˆ x Ψ = ( x)i ∂x ψDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-55นอกจากการใช position เปน basis state แลวนั้น ยังสามารถใช momentum เปน basis stateกลาวคือΨ =∫dpϕ( p)pในกรณีดังกลาว เราเรียก ϕ ( p)= p Ψ วาเปน probability amplitude ใน momentum space ซึ่งแตกตางจากเดิม ψ ( x)= x Ψ ซึ่งเปน probability amplitude ใน position space โดยที่ basis stateในทั้งสอง space มีความสัมพันธกันก็คือx p=1e2πipxซึ่งเมื่อเขียนอยูในรูปของ probability amplitude ψ ( x)และ ϕ ( p)จะมีความเกี่ยวโยงทางคณิตศาสตรคือ1ϕ( p) = dxψ( x)e2π∫−ipxและ1ψ ( x) = dpϕ( p)e2π∫+ ipxทั้งนี้เราไดยกตัวอยางของการใช quantum mechanics มาวิเคราะหอนุภาคอิสระ ซึ่งเราใช Gaussianwave packet เปน model ในการศึกษา และดวยการพิจารณาความไมแนนอนของการบอกตําแหนงและ momentum ของอนุภาคในอุดมคตินี้เอง นําไปสูความสัมพันธที่เรียกวา HeisenbergUncertainty Principle ที่วาΔxΔp≥ 2หากแตกฎดังกลาวมิไดจํากัดอยูแตเพียง position และ momentum เทานั้น สําหรับ operator ใดๆที่สามารถใชในการวัดปริมาณทางฟสิกส จะไดวาΔAΔB≥⎡ Aˆ , Bˆ⎤⎣ ⎦2Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-56และเมื่อมีเครื่องมือทางคณิตศาสตรที่พรอม เราก็ไดกลาวถึง Schrödinger equation ซึ่งจริงๆแลวสามารถเขียนใหอยูในรูปของ position space2 2 ∂2∂iψ( x, t) =− ψ( x, t) + V( x) ψ( x, t)∂t 2m ∂xและ ของ momentum space2∂ p ∂i ϕ( p, t) = ϕ( p, t) + V( i ) ϕ( p, t)∂t 2m ∂pเพื่อยกตัวอยางการนํา Schrödinger equation มาใชงาน เราวิเคราะหระบบที่เรียกวา square wellpotential และ scattering ใน 1 มิติ ซึ่งปรากฏการณที่สําคัญของการศึกษาในครั้งนี้ ก็คือ tunneling ที่หมายถึงการที่ particle beam สามารถทะลุผานกําแพงศักยออกมาได ถึงแมวาพลังงานจลนของมันจะมีคานอยกวากําแพงศักยก็ตามและในทายที่สุด เรากลาวถึง Ehrenfest theorem ที่เปนทฤษฏีที่แสดงใหเห็นวา Newtonian mechanicsแทที่จริงแลว เปน subset ของ quantum mechanics เทานั้นเอง6.11 ปญหาทายบทแบบฝกหัด 6.27 จงคํานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณีของกําแพงศักยที่นิยามดวย⎧ 0 x < 0V( x)= ⎨⎩V0x≥0เฉลย ถา E < V0แลว R= 1 T = 0 ถา E > V0แบบฝกหัด 6.28 จงพิสูจนสมการ (6.39)T =4ε( 1+ε ) 2เมื่อ ε ≡ 1−V 0Eแบบฝกหัด 6.29 จงพิสูจนวา ∂x pˆ x x′ = ( x x)i x δ − ′∂________________ สมการ (6.119)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-57แบบฝกหัด 6.30 จงพิสูจนสมการ (6.57) และ สมการ (6.58)แบบฝกหัด 6.31 เริ่มจาก probability amplitude ใน momentum space ของ Gaussian wave packetϕ( p)=ฟงชันกae πψ ( x)− p2a2221 −x2e2a2π a= จริงจงพิสูจนวา Fourier transform ในสมการ (6.39) ทําใหเกิดเปนแบบฝกหัด 6.32 จงคํานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณีของ"บอศักย"ที่นิยามดวยเฉลย ถา E V0>2V0⎧ 0 x + d1T =21+sin (2 qd)4 EE ( + V )0เมื่อq =( )2mE+ V02Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-58This page is intentionally left blankDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009