Wave Mechanics in One Dimension - ภาควิชาฟิสิกส์

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 6 Wave Mechanics in One Dimension 6-9⎡ˆ ˆiix, T( x) ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞xˆ 1 pˆxx 1 pˆxx xˆ⎣Δ⎦= ⎜ − Δ ⎟−⎜ − Δ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= xˆi i − xp ˆˆxΔ x − x ˆ + p ˆxx ˆΔxi=− Δx( xp ˆˆx−pˆ xxˆ)สมการขางตนสามารถลดรูปลงไปไดอีก ถาเราเขียน xp ˆˆx− ใหอยูในรูป [ xˆ p ˆ ] ดังนั้นpˆ xxˆ, x⎡ˆ, ˆ ix T( x) ⎤⎣Δ⎦=− Δx x, px[ ˆ ˆ ]_____________________ สมการ (6.22)นอกจากนี้ ถาเราพิจารณาผลของ operator ⎡xˆ, Tˆ( Δ x) ⎤ = xT ˆ ˆ( Δx) −Tˆ( Δx)xˆ⎣ ⎦ที่กระทํากับสถานะΨ =∫ dxψ( x)x ใดๆ จะไดวา( )⎡xT ˆ, ˆ( x) ⎤ ˆ ˆ( ) ˆ( ) ˆ⎣Δ⎦Ψ = xT Δx −T Δxx ∫ dxψ( x)x= xT ˆ ˆ( Δx) dxψ( x) x −Tˆ( Δx) xˆdxψ( x)x∫และเมื่อใชสมบัติของ Tdx ˆ( ) ในสมการ (6.16) และ สมบัติของ ˆx ในสมการ (6.13) เทอมขางตนแปรสภาพเปน∫⎡xT ˆ, ˆ( x) ⎤ ˆ ( ) ˆ⎣Δ⎦Ψ = x∫dxψx−Δx x −T( Δx) ∫dxψ( xxx )= dxψ( x −Δx) x x − dxψ( x −Δx)( x −Δx)x∫∫=Δx dxψ( x−Δx)xฟงชันก ψ ( x −Δ x)ที่ปรากฏเปน integrand ในสมการขางตน สามารถกระจายใหอยูในรูปของ1 ∂ψ2 1 ∂ ψ−Δ = −Δ + Δ −1! ∂x2! 2∂xTaylor expansion ψ ( x x) ψ ( x)x ( x)∫2 แตเนื่องจาก Δx→ 0เราจึงสามารถประมาณ ψ ( x −Δx) ≅ ψ ( x)โดยมิไดมี error มากมายนัก เพราะฉะนั้นแลว สมการขางตนลดรูปเหลือเพียง⎡xT ˆ, ˆ( x) ⎤⎣Δ⎦Ψ =Δ x∫dxψ( x)x =ΔxΨDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009