DISKREČIOSIOS MATEMATIKOS UŽDAVINYNAS

2. AIBĖS IR KOMBINACIJOS 17(41 psl.)(42 psl.)(43 psl.)Pirmosios rūšies Stirlingo skaičiai žymimi s(n, k) irapibrėžiami taip:s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k), k n,s(0, 0) = 1.Iš n skirtingų elementų k ciklų galima sudaryti |s(n, k)| būdais.Kombinacijų daugybos taisyklė: jei elementą a ∈ A galimaišrinkti n būdais, o elementą b ∈ B – m būdais, tai elementųporas (a, b) galima išrinkti n · m būdais.Tarkime, kad iš abėcėlės A = {a 1 , a 2 , . . . a n } raidžių sudarytiilgio k žodžiai taip, kad raidė a j pasikartoja lygiai p j 0 kartų:p 1 + p 2 + . . . + p n = k.Tokie žodžiai vadinami kartotiniais gretiniais. Jų yrak!p 1 !p 2 ! · · · p n ! .Aibės A poaibis B ⊂ A vadinamas tikriniu, kai B ≠ ∅ & B ≠ A.Kiek tikrinių poaibių turi aibė {ξ, {θ, β, ξ}, {θ}} ?Sprendimas. Baigtinė aibė A, |A| = n turi 2 n poaibių. Tikrinių poaibių yradviem mažiau. Kadangi n = 3, tai tikrinių poaibių bus2 3 − 2 = 6.Kiek poaibių turi aibė{{{δ}, {δ, ξ, α}, {α}}, {{δ}, {δ, ξ, α}, {α}}, {δ}} ?Sprendimas. Kadangi aibė yra sudaryta iš trijų elementų, tai poaibių bus2 3 = 8.Kiek skirtingų kombinacijų galima sudaryti iš žodžioDOMINUOTI raidžių?Sprendimas. Naudojames kartotinių gretinių formule. Šiuo atveju k = 9, oraidės D, O, M, I, N, U ir T pasikartoja atitinkamai 1, 2, 1, 2, 1, 1 ir 1 kartų.Tuomet skirtingų kombinacijų busk!p 1 !p 2 ! · · · p n ! = 9!1!2!1!2!1!1!1! = 362880 = 90720.4