DISKREČIOSIOS MATEMATIKOS UŽDAVINYNAS

42Kiek tarp pilnojo grafo K 5 ciklų C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 yranepriklausomų ?C 1 = {v 3 , v 2 , v 4 , v 5 , v 2 , v 1 , v 5 , v 3 }, C 2 = {v 4 , v 5 , v 2 , v 1 , v 5 , v 3 , v 2 , v 4 },C 3 = {v 1 , v 5 , v 3 , v 2 , v 4 , v 5 , v 2 , v 1 }, C 4 = {v 3 , v 5 , v 1 , v 2 , v 5 , v 4 , v 2 , v 3 },C 5 = {v 1 , v 2 , v 5 , v 4 , v 2 , v 3 , v 5 , v 1 }.Sprendimas.Sunumeruokime visas grafo briaunas:{v 1 , v 2 } − 1, {v 1 , v 3 } − 2, {v 1 , v 4 } − 3, {v 1 , v 5 } − 4,{v 2 , v 3 } − 5, {v 2 , v 4 } − 6, {v 2 , v 5 } − 7, {v 3 , v 4 } − 8,{v 3 , v 5 } − 9, {v 4 , v 5 } − 10.Pirmas ciklas yra C 1 = {v 3 , v 2 , v 4 , v 5 , v 2 , v 1 , v 5 , v 3 }. Kaip matome, 2–oji, 3–oji ir 8–oji briaunos į šį ciklą neįeina, vektoriuje–cikle jas atitiks nuliai; 4–oji, 6–oji ir 10–oji briaunos praeinamos ta pačia kryptimi, kaip ir buvo apibrėžtos, todėljas atitiks vienetai; 1–oji, 5–oji, 7–oji ir 9–oji briaunos praeinamos atvirkštinetvarka, todėl jas atitiks −1. Sudarome vektorių–ciklą:M 1 = {−1, 0, 0, 1, −1, 1, −1, 0, −1, 1}.Analogiškai sudarome ir kitus vektorius – ciklus:M 2 = {−1, 0, 0, 1, −1, 1, −1, 0, −1, 1},M 3 = {−1, 0, 0, 1, −1, 1, −1, 0, −1, 1},M 4 = {1, 0, 0, −1, 1, −1, 1, 0, 1, −1},M 5 = {1, 0, 0, −1, 1, −1, 1, 0, 1, −1},Sudarykime iš vektorių–ciklų matricą ir apskaičiuokime jos rangą:⎛⎜⎝−1 0 0 1 −1 1 −1 0 −1 1−1 0 0 1 −1 1 −1 0 −1 1−1 0 0 1 −1 1 −1 0 −1 11 0 0 −1 1 −1 1 0 1 −11 0 0 −1 1 −1 1 0 1 −1Ketvirtąjį stulpelį pridėkime prie penktojo, septintojo ir devintojo. Pirmąjįstulpelį pridėkime prie ketvirtojo ir dešimtojo. Tuomet matrica atrodys taip:⎞⎟⎠