naar een optimale samenstelling van wegenbeton - Febelcem

4.2. PRAkTISchE METhODE VOOR DE BEPALING VAN DE DOSERING VAN
GRANuLATEN : DE METhODE VAN DE kLEINSTE kWADRATEN
4.2.1. PRINcIPE
De methode van de kleinste kwadraten laat toe de dosering van een willekeurig aantal grondstoffen
te bepalen zodanig dat de samenstellende zeefkromme de opgegeven ideale zeefkromme
benadert. De methode wordt toegepast op ideale krommen voor het vaste skelet (incl. cement)
ofwel voor ideale krommen voor het inerte skelet. Hierna wordt enkel de berekening gemaakt
voor het inerte skelet.
De methode van de kleinste kwadraten is gebaseerd op de idee dat de kwadraten van de verschillen
tussen de ordinaat van de werkelijke kromme van het mengsel en de ordinaat van de ideale
kromme tot het minimum zouden herleid worden. Het aantal onbekenden is onbeperkt, de
methode van de kleinste kwadraten is dan ook absoluut algemeen toepasbaar.
→ In eerste instantie gaan we ervan uit dat er slechts twee inerte materialen zijn.
Wij noemen de ordinaat van de korrelverdelingskromme van materiaal 1 : y voor de abscis n en
n1
hetzelfde voor materiaal 2 : y . n2
Considérons Considérons
dans un dans dans
premier un un premier
temps, temps,
le cas le où le cas cas
il n’y où où
a il il
que n’y n’y a deux a que que
matières deux deux matières
inertes.
inertes.
Appelons De resulterende ordinaat bekomen door de twee inerte stoffen te mengen in de verhoudingen
Appelons yn1 Appelons
Appelons l’ordonnée yn1
yn1 l’ordonnée de la de courbe la courbe granulométrique granulométrique du matériau du matériau 1 pour 1 l’abscisse pour l’abscisse n ; de
yn1 l’ordonnée
l’ordonnée
de la courbe
de la courbe
granulométrique
granulométrique
du matériau
du matériau
1 pour
1
l’abscisse
pour l’abscisse
n ; de n n ; ; de de
même s1 en même s2 yn2,
même yn2, (in pour yn2, volume) yn2,
le pour pour
matériau le le bedraagt matériau
2.
2. 2. :
Considérons Considérons dans un dans premier un premier temps, temps, le cas le où cas il n’y où a il que n’y a deux que matières deux matières inertes. inertes.
L’ordonnée L’ordonnée
résultante résultante
obtenue obtenue
par mélange par par mélange
des deux des des
matières deux matières deux matières
inertes inertes
dans les dans les dans
proportions les les proportions
s 1 ss1 1
Appelons 1
Appelons et y syn1 n1 s2 1 (en et + s2 yvolume) n2 (en s
et 2 volume) vaut :
s2 (en
et l’ordonnée s2 yn1 volume)
(en l’ordonnée volume) de
vaut
la
vaut :
vaut de courbe
: la : courbe granulométrique granulométrique du matériau du matériau 1 pour 1 l’abscisse pour l’abscisse n ; de n ; de
même même yn2, pour
waarbij y s
yn2, le
y s + 1 + sy= 1
1 +
pour matériau
y s
le matériau 2. 2.
2 y 2 s
n1s1
+ y s1 2
n1 y n2s
+ y s2 n1 2
n1
n2 n2 n2
L’ordonnée L’ordonnée avec
savec srésultante avec 1 + s2 s= 1 + 1 s2 = 1
1 + s2 = résultante s obtenue
1 obtenue par mélange par mélange des deux des matières deux matières inertes inertes dans les dans proportions les proportions s 1 + s2 = 1
1 s 1
et s2 (en et Indien s2 volume) (en yvolume) vaut staat : vaut voor : de ordinaat van de ideale kromme voor het inerte skelet, zal het verschil V ni n
y s1 Si tussen Si désigne de désigne ordinaat l’ordonnée l’ordonnée van de het la courbe de reële la courbe idéale mengsel idéale pour en le pour squelette het le ideale squelette inerte, mengsel inerte, l’écart l’écart En Si y+ ys désigne l’ordonnée de la courbe idéale pour le squelette inerte, l’écart het entre En volgende entre l’ordonnée
1 + sSi 2 y sdésigne l’ordonnée de la courbe idéale pour le squelette inerte, l’écart En
2
En entre l’ordonnée
entre l’ordonnée
n1
zijn :
n1 n2 n2
avec savec du mélange sdu mélange réel et réel l’ordonnée et l’ordonnée idéale idéale sera de sera :
de :
1 + s2 = du 1 mélange réel et l’ordonnée idéale sera de :
1 + s2 = 1
V n
= y s1 + y s2 y
n1
n2
ni
V = y s1 + y (1 s1) y
n n1
n2
ni
V = a s
n n1 1 an
avec : a n1
= y n1 n2 y
a n
= y ni n2 y
V n
waarbij :
= y s1 + y s2 y
n1
n2
ni
V = y s1 + y (1 s1) y
n n1
n2
ni
V = a s
n n1 1 an
avec : a n1
= y n1 n2 y
a n
= y ni n2 y
V n
= y s1 + y s2 y
n1
n2
ni
V = y s1 + y (1 s1) y
n n1
n2
ni
V = a s
n n1 1 an
avec : a n1
= y n1 n2 y
a n
= y ni n2 y
V n
= V n y s1 + y s2 y
n1
n2
ni
V = y s1 + y (1 s1) y
n n1
n2
ni
V = a s
n n1 1 an
=
V n
y s1 + y s2 y
n1
n2
ni
V = y s1 + y (1 s1) y
n n1
n2
ni
V = a s
n n1 1 an
= y s1 + y s2 y
n1
n2
ni
V = y s1 + y (1 s1) y
n n1
n2
ni
V = a s
n n1 1 an
avec : a n1
= y n1 n2 y
a n
= y ni n2 y
Si Si désigne désigne l’ordonnée l’ordonnée de la courbe de la courbe idéale idéale pour le pour squelette le squelette inerte, inerte, l’écart l’écart En entre En l’ordonnée entre l’ordonnée
du mélange du mélange réel et réel l’ordonnée et l’ordonnée idéale idéale sera de sera : de :
y n2 y
Nous allons déterminer s1 d’une telle façon que la somme des carrés des écarts soit minimum :
2
= (an1s 1 an) 2 Wij zullen s1 bepalen op een dusdanige manier dat de som van de kwadraten van de verschillen
Nous minimaal allons déterminer weze : s1 d’une telle façon que la somme des carrés des écarts soit minimum :
2
= (an1s 1 an) weze soit minimaal. minimum.
2 Nous allons déterminer s1 d’une telle façon que la somme des carrés des écarts soit minimum :
2
= (a soit minimum.
n1s1 an) 2 avec : a n1
soit minimum.
= y n1 n2 y
a n
= y ni n2 y
avec : a n1
=
n1
a n
= y ni n2 y
Nous allons déterminer s1 d’une telle façon que la somme des carrés des écarts soit minimum :
2
= (an1s 1 an ) 2 soit minimum.
V n
V
n n
La valeur minimale est obtenue en calculant la dérivée de cette fonction et en l'assimilant à 0.
( an1s1 an) Donc
2
La De valeur minimum minimale waarde est obtenue wordt en bekomen calculant la door dérivée de de afgeleide cette fonction te berekenen et en l'assimilant van à deze 0. functie en gelijk
te stellen ( aan an1s [ 1 0. an) ]
Donc Dus :
= 0
s1 2 2 2
an1 s1 2an1ans 1 + an s ( ) = 0
1
2
( 2an1 s1 2an1an ) = 0
an1an s1 =
2
an1 ayant s1, nous avons s2 par la relation s2 = 1 s1 .
2
La valeur minimale est obtenue en calculant la dérivée de cette fonction et en l'assimilant à 0.
[ ( an1s1 an) ]
Donc
= 0
s1 2 2 2
an1 s1 2an1ans 1 + an s ( ) = 0
1
2
( 2an1 s1 2an1an ) = 0
an1an s1 =
2
an1 ayant s1, nous avons s2 par la relation s2 = 1 s1 .
2
Nous allons déterminer s1 d’une telle façon que la somme des carrés des écarts soit minimum :
2
V = (a
n
n1s1 an )
[ ] = 0
s1 2 2 2
an1 s1 2an1ans 1 + an s ( ) = 0
1
2
( 2an1 s1 2an1an ) = 0
an1an s1 =
2
an1 ayant s1, nous avons s2 par la relation s2 = 1 s1 .
2 soit minimum.
La valeur minimale est obtenue en calculant la dérivée de cette fonction et en l'assimilant à 0.
( an1s1 an) Donc
2
Nous allons déterminer s1 d’une telle façon que la somme des carrés des écarts soit minimum :
2
V = (a
n
n1s1 an )
[ ] = 0
s1 2 2 2
an1 s1 2an1ans 1 + an s ( ) = 0
1
2
( 2an1 s1 2an1an ) = 0
an1an s1 =
2
an1 2 soit minimum.
La valeur minimale est obtenue en calculant la dérivée de cette fonction et en l'assimilant à 0.
( an1s1 an) Donc
2
La valeur minimale est obtenue en calculant la dérivée de cette fonction et en l'assimilant à 0.
( an1s1 an) Donc
[ ] = 0
s1 2 2 2
an1 s1 2an1ans 1 + an s ( ) = 0
1
2
( 2an1 s1 2an1an ) = 0
an1an s1 =
2
an1 2
[ ] = 0
s1 2 2 2
an1 s1 2an1ans 1 + an s ( ) = 0
1
2
( 2an1 s1 2an1an ) = 0
an1an s1 =
2
an1 ayant s1, nous avons s2 par la relation s2 = 1 s1 .
Cas où il y a trois matières inertes à mélanger.
47 NAAR EEN OPTIMALE SAMENSTELLING VAN WEGENBETON
Nous avons s1 + s2 + s3 = 1 (ou s3 = 1 s1 s2 )
En = yn1s1 + yn2s2 + yn3s3 y Cas où il y a trois matières inertes à mélanger.
Nous avons
ni
s1 + s2 + s3 = 1 (ou s3 = 1 s1 s2 )
En = yn1s1 + yn2s2 + yn3s3 y Cas où il y a trois matières inertes à mélanger.
Nous avons
ni
s1 + s2 + s3 = 1 (ou s3 = 1 s1 s2 )
y Cas où il y a trois matières inertes à mélanger.
ayant ayant s1, nous s1, avons nous avons s2 par s2 la par relation la relation s2 = 1 ss 2 1 = .
Nous avons
1 s1 .
Cas où Cas il y où a trois il y a matières trois matières inertes inertes à mélanger.
ni à mélanger.
s1 + s2 + s3 = 1 (ou s3 = 1 s1 s2 )
En = yn1s1 + yn2s2 + yn3s3 yni E = yE s = + yy s s + + yy s + 1 ys 1s s s y
En = yn1s1 + yn2s2 + yn3s3 E = y s + y s + y 1 s s
( ( ) y ) y