nøt_199504

236
(4) fanger både opp kontrollbetingelsen aCH/ay =0 som gir b =ti, og tilstandsbetingelsen
di.t/dt =811 - acwax som gir dl.t/dt =1.1,(8 - F') - ybx .
Differensieres kontrollbetingelsen m.h.p. tiden og innsettes i tilstandsbetingelsen,
får vi så (4) som dermed gir optmimumsbetingelsen på redusert
form i og med at ressursprisen er eliminert. Omskrives (4) til F' +
bxF/b =8, framkommer den såkalte Clark-Munro regelen. Venstresiden uttrykker
her bestandens egen økonomiske avkastningsrate, og den skal
være lik alternativavkastningen gitt av kalkulasjonsrenten 8.
(4) bestemmer alene steady-state verdien for bestanden X. Høstingsraten
y * bestemmes av (1) når dX/dt =0. (4) og (1) representerer derfor en
singulært system fordi (4) ikke er en differensiallikning og grunnen er at
Hamiltonfunksjonen er lineær i kontrollvariabelen y. Løsningen pd optimeringsproblemet
er derfor av «bang-bang» typen. Som diskutert for eks.
i Clark (1990) og Neher (1990) impliserer dette (i en ènbestandsmodell
som her) en såkalt MRAP-strategi (Most Rapid Approach Path) i hostingen.
Dette betyr at hvis en initialt har en bestand som er høyere enn likevektsbestanden
er det optimalt d nytte fangstkapasiteten fullt ut og høste
sd mye som mulig slik at X * blir nådd raskest mulig (merk imidlertid at
fangstkapasitet ikke eksplisitt er introdusert i problemformuleringen). Og
motsatt, hvis en starter med en bestand som er lavere enn likevektsbestanden
er det optimalt å stoppe fangsten inntil likevekten blir nådd.
I og med at en positiv stasjonververdi for bestanden er forutsatt å eksistere,
blir ressursen pr. antagelse ikke utryddet. De krefter som kan lede i
retning av utryddelse kan imidlertid analyseres ved å studere partielle
effekter på (4). På denne måten framkommer Clarks resultater nokså
umiddelbart. For detforste har vi effekten av priser og kostnader. Effekten
av en permanent endret markedspris på likevekten blir
(5) aX */ap =(1/N)[(8-P)bp - Fbxp],
der N .(bF"+2bxF`l-bxx"bx) vil være negativ som følge av andreordensbetingelsen
for maksimum (jfr. note 4) og (8-F`) vil være positiv
som følge av (4). Dessuten vil en høyere markedspris øke enhetsprofitten,
b >0. Fordi bestandsstørrelsen kun påvirker kostnadene og ikke markedsprisen,
slik at marginal enhetsprofitt er upåvirket av endret markedspris,
ab X /ap =b Xp =0, vil derfor en permanent høyere markedspris på ressursen
entydig redusere bestanden, aX *Mp 0.