Tall-leksikon - Matematikk på nett - Nordreisa videregående skole

Dagens tall:
• e ≈ 2,
71828182845904523536028747135266249775724709369995
e
• e er grunntallet til de naturlige logaritmene, også kalt napieranske logaritmer etter
den britiske matematikeren Napier – trass i at Napier ikke hadde noen idé om å bruke e
som grunntall.
• Tallet fikk navnet e av Euler som beviste at
•
lim
e =
n → ∞
n
n n
!
14
lim ⎛ 1 ⎞
e = ⎜1+
⎟
x → ∞⎝
x ⎠
2 3 4
x x x
• Newton viste i 1665 at: e = 1+
x + + + + ...
2!
3!
4!
x
der 5! = 1⋅
2⋅3
⋅4
⋅5
og leses ”5
1 1 1 1 1 1
fakultet” . Av dette følger at e = + + + + + + ... når x =1 og 0! = 1.
0!
1!
2!
3!
4!
5!
• Det er lett å huske de første sifrene i e: 2,7 1828 1828 45 90 45 Men akkurat som
for π fins det ikke noe mønster, det er uendelig mange sifre og e kan ikke skrives som
brøk eller rottegn. Euler beviste at e er irrasjonal i 1737. Hermite beviste av e er
transcendent i 1873: Slå opp!
878
• Ei god tilnærming til e er brøken .
323
π −1
• Euler fant også sammenhengen med π : e = −1
• En fantastisk og bemerkelsesverdig egenskap med e er at stigningstallet, altså
endringen til funksjonen
f =
x
( x)
e er lik funksjonen sjøl! (Det betyr at hvis vi
x
deriverer eller integrerer e skjer det ingen ting!
• Hvis du velger reelle tall mellom null og én og legger dem sammen, vil du i
gjennomsnitt velge e tall før summen overstiger én. Prøv! Kalkulatoren kan plukke
tilfeldige tall mellom 0 og 1 med ran# eller rnd#.
• Det er mange tilnærminger mellom e og π , mange svært unøyaktige. Her er en
9 8
overraskende god en: 10⋅ e
≈ π
x
.