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Sumário
Introdução 1
1 Preliminares 3
1.1 Os Espaços L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tópicos de Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Convergências em um Espaço Normado . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Espaços reflexivos e separáveis, Representação de Riesz . . . . . . . 8
1.2.3 Teoria de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 O Espaço das Distribuições Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Os Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 A Integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Os Espaços L p (0, T ; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Distribuições Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1 Desigualdades Utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.2 O Teorema de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.3 Resultados devido a Aubin-Lions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.4 Teoremas relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Existência de solução fraca 28
2.1 Solução fraca para (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Prova do Teorema 2.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Problema aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Passagem ao Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Verificação dos dados iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Prova do Teorema 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Verificação dos dados iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Desigualdade da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10