Banco_de_Dissetacoes_files/Roberto Ribeiro Santos Junio.pdf

|F1(Y, t)| =
0m×m Im×m
−A −1 C −A −1 B
Y ≤ Cb
Para 1 ≤ j ≤ m temos que [F2(Y, t)]j = 0 e para j ≥ m + 1:
m
|[F2(Y, t)]j| ≤ |A
(2.20) k=1
−1
m
≤ |A −1
≤
(∗)
k=1
m
i,k=1
(j−m)k |
(j−m)k |
≤ C|Y | ≤ bC
(∗) F é lipschitziana com F (0) = 0.
m
F Yiwi , wk ≤
i=1
F
m
Yiwi |wk)| ≤
i=1
|A −1
(j−m)k ||Yi||wi||wk|
∴ |F2(Y, t)| ≤ Cb
|F3(Y, t)| = max
1≤j≤m |[A−1 M(t)]j| = |[A −1 M(t)]j0| ≤
(2.19)
m
k=1
|A −1
j0k |(f(t), wk)| = ϕ(t)
Como f ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) então |f(t)| ∈ L 2 (0, T ). Pela desigualdade de Cauchy-
Schwarz temos que:
.
|(f(t), wk)| ≤ |f(t)| · |wk| ⇒
Logo, ϕ é integrável.
Assim,
T
0
|(f(t), wk)|dt ≤
|F (Y, t)| ≤ C + ϕ(t)
T
0
|f(t)| · |wk|dt < ∞.
Portanto, o sistema (P M ∗ ) está nas condições de Carathéodory por conseguinte
possui solução local.
Logo, o sistema (P εm ) também possui solução local, isto é, existem tεm e uεm(t) =
m j=1 gjεm(t)wj ∈ Vm, tais que uεm satisfaz o problema (P εm ), para todo t ∈ [0, tεm),
tεm ≤ T .
35