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e portanto para todo f ∈ X ′ encontramos que
T T
0 = f, u(t)ϕ(t)dt = 〈f, u(t)ϕ(t)〉dt
0
P rop.1.5.5
T
=
0
0
〈f, u(t)〉ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ), ∀f ∈ X ′ .
Do lema de Du Bois Raymond concluímos que 〈f, u(t)〉 = 0, ∀f ∈ X ′ , quase sempre
em (0, T ). E portanto por um dos corolários do Teorema de Hahn-Banach resulta que
u(t) = 0 q.s. em (0, T ).
Desta forma, podemos identificar u com a distribuição Tu por ela definida. Neste
sentido tem-se L p (0, T ; X) ⊂ D ′ (0, T ; X).
buição vetorial.
De forma análoga as distribuições escalares definimos a derivada de uma distri-
Definição 1.7.3. Seja T ∈ D ′ (0, T ; X), definimos a derivada distribucional de T como
sendo a aplicação T ′ : D ′ (0, T ; X) → D ′ (0, T ; X) dada por:
〈T ′ , ϕ〉 = − 〈T, ϕ ′ 〉 , ϕ ∈ D(0, T ).
Com esta definição podemos encontrar resultados semelhantes aos das Proposições
1.3.14 e 1.3.15 para distribuição vetorial.
1.8 Resultados Importantes
teriores.
Nesta seção é feita uma lista de resultados avulsos que usa-se nos capítulos pos-
1.8.1 Desigualdades Utilizadas
No estudo moderno de EDP as desigualdades desempenham um papel muito
importante. Aqui apresentamos duas desigualdades que serão utilizadas.
Lema 1.8.1 (Desigualdade de Gronwall). Sejam α ≥ 0 uma constante, u, v : I ⊂ R → R
duas funções contínuas tais que:
Então vale
Em particular, se α = 0, u ≡ 0.
u(t) ≤ α +
t
t0
v(s)u(s)ds, ∀ t ∈ I.
t
t v(s)ds
u(t) ≤ α · e 0 .
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