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O que prova o lema.
Retornando a (2.25) do Lema de Ferreira segue que:
1
2
k1εu ′
εm(t)
2
+ 1
2
t
0
k2(x)u ′
εm(s)
em que C5 é uma constante que independe de ε e m.
(i)
(ii)
De (2.29) temos que:
2
Ω
ds + 1
2 uεm(t) 2 +
1
2 uεm(t) 2 ≤ C5 ⇒ |uεm(t)| 2 < C6
m
m
=⇒ C6 ≥ (uεm(t), uεm(t)) = ( gjεm(t)wj,
=
j=1
m
[gjεm(t)] 2 = |X(t)| 2
j=1
39
G(uεm(t))dx ≤ C5, (2.29)
i=1
giεmwi)
1
2 |k1εu ′ εm(t)| 2
L2 (Ω) ≤ C5
=⇒ 2C5 ≥| k1εu ′ εm(t)| 2
L2 (Ω) =
|
Ω
k1εu ′
εm(t)|dx =
≥ ε|u
Ω
k1ε=k1+ε
′ εm(t)| 2
dx = ε u
Ω
′ εm(t)u ′ εm(t)dx
= ε(u ′ εm(t), u ′ m
εm(t)) L2 (Ω) = ( g ′ m
jεm(t)wj,
=
m
[g ′ jεm(t)] 2 = ε|X ′ (t)| 2
j=1
j=1
|k1εu
Ω
′ εm(t)|dx
i=1
g ′ iεm) =
Observação 2.2.2. Portanto, a solução Y (t) = (X(t), X ′ (t)) de (P M ∗ ) é limitada, ∀t <
tεm. Logo, de acordo com teorema de prolongamento de solução, Y pode ser prolongada
até T . Por conseguinte uεm solução de (P εm ) está definida em [0, T ].
Afirmação 2.2.3 (Ferreira,[7]). Se r = 2p
p+1 então
onde C6 é uma constante.
u ′ εm r L r (Q) =
Demonstração: Com efeito:
T
|u ′ εm(x, s)| r dxds =
0
Ω
T
0
T
0
Ω
Ω
|u ′ εm(x, s)| r dxds ≤ C6, (2.30)
1
[k2(x)] p
p+1
[k2(x)] p
p+1 |u ′ εm(x, s)| 2p
p+1 dxds.