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Demonstração: Ver Matos ([14], p.127).
Proposição 1.5.5. Se u : (0, T ) → B é B-integrável então para cada f ∈ B ′ temos
f,
T
0
u(t)dt
Demonstração: Ver Matos ([14], p.134).
B ′ ,B
=
T
0
〈f, u(t)〉B ′ ,Bdt
Definição 1.5.6. Uma função vetorial u : (0, T ) → X é dita fracamente mensurável
(abrevia-se w-mensurável) quando a função numérica t ↦→ 〈 f, u(t)〉 é mensurável a Le-
besgue em (0, T ), para todo f ∈ X ′ .
Definição 1.5.7. Dizemos que u é fortemente mensurável (abrevia-se s-mensurável)
quando u for limite quase sempre de uma sequência (ϕν)ν∈N de funções simples.
Em particular, temos que toda função s-mensurável é w-mesunrável. Além disso,
quando u for fortemente mensurável então a aplicação t ↦→ u(t)X é mensurável à Le-
besgue.
Teorema 1.5.8 (S. Bochner). Uma função u : (0, T ) → B é B-integrável se, somente se,
é s-mensurável e a função numérica t ↦→ u(t) é integrável a Lebesgue.
Demonstração: Ver Matos ([14], p. 132).
1.6 Os Espaços L p (0, T ; X)
Considere X um espaço de Banach, cuja norma é dada por · .
Os espaços L p (0, T ), 1 ≤ p ≤ ∞, são definidos como as (classes de) funções
ϕ : (0, T ) → R mensuráveis no sentido de Lebesgue e tais que são Banach com as normas:
fp =
T
0
|f(t)| p
dt
1
p
, se 1 ≤ p < ∞;
fL∞ = sup ess |ϕ(t)|, se p = ∞.
t∈(0,T )
Poderíamos também representá-lo como L p (0, T ; R), onde a presença do corpo R dos
números reais indicaria se tratar de um espaço vetorial de funções reais de variável real.
Isto enseja a seguinte definição para os espaços L p (0, T ; X):
Definição 1.6.1. Denotaremos por L p (0, T ; X), 1 ≤ p < ∞, o espaço vetorial das (clas-
ses de) funções vetoriais ϕ : (0, T ) → X, definidas quase sempre em (0, T ) com valores
em X, fortemente mensuráveis, e tais que a função t ↦→ u(t)X está em L p (0, T ).
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