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Demonstração: Veja Strauss ([19]).
Teorema 1.8.12. Seja F : R → R uma função contínua satisfazendo sF (s) ≥ 0, ∀s ∈ R.
Então existe uma sucessão de funções Fk de R em R tal que:
(i) sFk(s) ≥ 0, ∀k ∈ N e ∀s ∈ R
(ii) Para cada k ∈ N existe Lk tal que
|Fk(t) − Fk(s)| ≤ Lk|t − s| ∀t, s ∈ R
(iii) Fk é diferenciável exceto em um número finito de pontos
(iv) Fk converge para F uniformemente nos limitados de R.
Demonstração: Seja (Fk)k∈N uma sucessão de funções definidas por:
⎧
F (τ)dτ, se s ∈ (−∞, −k]
⎪⎨
Fk(s) =
sk
k −k
−k− 1
k
−k[G(s − 1
k
−sk2 − 1
k
− 2
k
2
2 k
1
k
) − G(s)], se s ∈ [−k, − 1
k ]
F (τ)dτ, se s ∈ [− 1,
0] k
F (τ)dτ, se s ∈ [0, 1
k ]
k[G(s +
⎪⎩
1
1
) − G(s)], se s ∈ [ , k]
k k
k k+ 1
k F (τ)dτ, se s ∈ [k, −∞).
k
Onde G(s) = s
0 F (τ)dτ. Após alguns cálculos encontramos que Fk satisfaz (i) − (iv) e o
teorema está provado.
Teorema 1.8.13. Seja (fn) uma sequência funções deriváveis no intervalo [a, b]. Se, para
um certo c ∈ [a, b], a sequência numérica (fn(c)) converge e se as derivadas f ′ n convergem
uniformemente em [a,b] para uma função g, então (fn) converge uniformemente em [a, b]
para uma função derivável f, tal que f ′ = g.
Demonstração: Ver Lima, ([11], p.380).
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