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(i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω do R n tal que
supp (ϕ) ⊂ K e supp (ϕν) ⊂ K, ∀ ν ∈ N;
(ii) D α ϕν −→ D α ϕ uniformemente em K, para todo multi-índice α.
Definição 1.3.6. O Espaço das Funções Testes, que denotaremos por D (Ω), é o espaço
vetorial C ∞ 0 (Ω) munido da convergência definida acima. Um elemento de D (Ω) será
chamado de função teste sobre Ω.
Um resultado importante é o que assegura que a imersão D (Ω) ↩→ L p (Ω) é densa,
para 1 ≤ p < +∞.( Medeiros; Milla, [16], p. 9)
Definição 1.3.7. Uma Distribuição Escalar (ou Distribuição) sobre Ω, Ω ⊂ R n aberto, é
uma forma linear T : D (Ω) −→ R que é contínua no sentido da convergência sobre D(Ω).
Isto significa que para toda sucessão (ϕν) de D(Ω) convergente a zero no sentido definido
em 1.3.5, então a sucessão (〈T, ϕν〉) converge a zero em R.
Denotamos por 〈T, ϕ〉 o valor da distribuição T calculado na função teste ϕ.
O conjunto de todas as distribuições sobre Ω é um espaço vetorial real que cha-
maremos Espaço das Distribuições Escalares sobre Ω, ou simplesmente Espaço das Dis-
tribuições sobre Ω, e denotaremos por D ′ (Ω). Observe que essa notação é natural, uma
vez que de acordo com a definição acima D ′ (Ω) é o dual topológico de D (Ω).
Definição 1.3.8. Sejam (Tν) ν∈N uma seqüência de elementos de D ′ (Ω) e T em D ′ (Ω).
Dizemos que Tν converge para T em D ′ (Ω), e anotamos
quando
Tν → T em D ′ (Ω)
〈Tν, ϕ〉 → 〈T, ϕ〉 , ∀ ϕ ∈ D(Ω).
Definição 1.3.9. Dizemos que uma função u : Ω → R é localmente integrável em Ω, e
anotamos u ∈ L1 loc (Ω), quando u é integrável à Lebesgue sobre todo compacto K do Rn
contido em Ω.
Exemplo 1.3.10. Seja u ∈ L1 loc (Ω). Considere a forma linear definida em D(Ω) por:
〈Tu, ϕ〉 = u(x)ϕ(x)dx
para toda ϕ ∈ D(Ω). Nestas condições Tu é uma distribuição escalar sobre Ω.
Ω
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