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Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matemática - IM
Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT
Dissertação de Mestrado
Existência e unicidade de solução fraca para uma
equação hiperbólica-parabólica não linear
Roberto Ribeiro Santos Junior
Salvador-Bahia
Dezembro de 2009

Existência e unicidade de solução fraca para uma
equação hiperbólica-parabólica não linear
Roberto Ribeiro Santos Junior
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal da Bahia como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Paulo César Rodrigues
Pinto Varandas.
Co-orientador: Prof. Dr. Jorge Ferreira.
Salvador-Bahia
Dezembro de 2009

Santos Junior, Roberto Ribeiro.
Existência e unicidade de solução fraca para uma equação hiperbólica-parabólica
não linear / Roberto Ribeiro Santos Junior. – Salvador: UFBA, 2009.
91 f.
Orientador: Prof. Dr. Paulo César R. P. Varandas.
Co-Orientador: Prof. Dr. Jorge Ferreira.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática,
Programa de Pós-graduação em Matemática, 2009.
Referências bibliográficas.
1. Equações diferenciais. 2. Equações de evolução não lineares. 3. Métodos de
Galerkin - Tese. I. Varandas, Paulo Cesar R. P. II. Ferreira, Jorge. III. Universidade
Federal da Bahia, Instituto de Matemática. IV. Título.
CDU : 517.9
: 517.986.7

Existência e unicidade de solução fraca para uma
equação hiperbólica-parabólica não linear
Roberto Ribeiro Santos Junior
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal da Bahia como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em
Matemática, aprovada em 09 de dezembro de
2009.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Paulo César Rodrigues Pinto Varandas (Orientador)
(UFBA)
Prof. Dr. Jorge Ferreira (Co-orientador)
(UFRPE\UAG)
Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro
(UFBA)

Aos meus pais Roberto Ri-
beiro e Josefa Rosidete, e a
minha irmã Rafaela.

Agradecimentos
A Deus, por ter me dado saúde e força para conseguir terminar o mestrado.
A Pós-Graduação em Matématica-PGMAT do Instituto de Matemática-IM da
Universidade Federal da Bahia-UFBA, por ter me concedido a oportunidade de cursar o
mestrado nesta universidade e a CAPES por ter me fornecido apoio financeiro.
Ao Prof. Varandas por ter aceitado a empreitada de me orientar e por se prestar
sempre disponível quando precisei.
A todos os funcionários do IM-UFBA, por me tratarem muito bem e pela dis-
posição com que me ajudaram quando necessitei.
A todos os professores da PGMAT do IM-UFBA, pela dedicação que tiveram nas
turmas que passei. Sempre preocupados com o bem estar e o futuro acadêmico dos seus
alunos. Em especial, ao Prof. Armando, suas aulas eram divertidíssimas, ficarão sempre
na minha lembrança.
Ao Teles, Wendell, João Paulo e Robério por me aceitarem no grupo de estudos
que eles já tinham formado. E em particular ao amigo JP Cirineu pelo trabalho de revisão
textual e auxílio com o TEX.
Ao Renivaldo, que durante o período que eu estava como aluno especial pegava
os livros na biblioteca para mim.
Ao Prof. Jorge, que desde a graduação tem me ajudado a crescer profissional-
mente. Não existem palavras para expressar o quanto sou grato ao Prof. Jorge e família.
Aos meus pais. Que são os responsáveis por eu ter conseguido chegar até aqui.
Esta dissertação é o símbolo do sucesso deles como pais.

“Que Stendhal confessasse haver escrito seus livros para
cem leitores cousa é que admira e consterna. O que não
admira, nem provavelmente consternará é se este outro
livro não tiver os cem leitores de Stendhal, nem cin-
quenta, nem vinte e, quando muito, dez. Dez? Talvez
cinco.”
Brás Cubas

Resumo
não linear
Neste trabalho foi estudado o problema misto para a equação hiperbólica-parabólica
k1(x)u ′′ (x, t) + k2(x)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) + F (u(x, t)) = f(x, t), (x, t) ∈ Q = Ω × (0, T ),
onde Ω ⊂ R n é um aberto limitado e F é uma função contínua da reta na reta tal que
sF (s) ≥ 0, para todo s ∈ R.
Com algumas hipóteses adicionais sobre k1 e k2, utilizando o Método de Faedo-
Galerkin e o Teorema de convergência forte em L 1 devido a Strauss, foi mostrado a
existência de solução fraca para o problema com valor inicial e condições de Dirichlet
na fronteira. Para alguns casos particulares da função F foi demonstrado unicidade de
soluções fracas, utilizando o método devido a Ladyzenskaya.
Palavras-chave: Equação hiperbólica-parabólica; Método de Faedo-Galerkin; Solução
fraca; Teorema da Compacidade de Aubin-Lions.

Abstract
equation
In this work it was studied the mixed problem for no linear hiperbolic-parabolic
k1(x)u ′′ (x, t) + k2(x)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) + F (u(x, t)) = f(x, t), (x, t) ∈ Q = Ω × (0, T ),
where Ω ⊂ R n is a bounded open and F : R → R is a continuos function such that
sF (s) ≥ 0, for all s ∈ R.
With some additional hypothesis about k1 e k2, using the Faedo-Galerkin’s method
e strong convergence theorem in L 1 , due to Strauss, was shown the existence of weak so-
lutions for the problem with initial data and Dirichlet boundary conditions. For some
particular cases of F was shown uniqueness of weak solutions using the Ladyzenskays’s
method.
Keywords: Hiperbolic-parabolic equation; Faedo-Galerkin’s method; Weak solution;
Aubin-Lions’s compactness theorem.

Sumário
Introdução 1
1 Preliminares 3
1.1 Os Espaços L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tópicos de Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Convergências em um Espaço Normado . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Espaços reflexivos e separáveis, Representação de Riesz . . . . . . . 8
1.2.3 Teoria de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 O Espaço das Distribuições Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Os Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 A Integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Os Espaços L p (0, T ; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Distribuições Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1 Desigualdades Utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.2 O Teorema de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.3 Resultados devido a Aubin-Lions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8.4 Teoremas relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Existência de solução fraca 28
2.1 Solução fraca para (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Prova do Teorema 2.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Problema aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Passagem ao Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Verificação dos dados iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Prova do Teorema 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Verificação dos dados iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Desigualdade da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10

2.5 Prova do Teorema 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5.1 Verficação dos dados iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Unicidade de Soluções 80
3.1 Não linearidade localmente Lipschitziana e n = 1 . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Não linearidade globalmente Lipschitziana e n dimensão qualquer. . . . . . 86
3.3 Não linearidade continuamente diferenciável satisfazendo uma determinada
condição de crescimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Referências 90

Introdução
Seja Ω um aberto limitado do R n , T > 0 um número real fixado arbitrariamente
e Q = Ω × (0, T ) o cilindro do R n+1 . Em 1976, Bensoussan-Lions-Papanicolau ([3])
estudaram o problema misto para a equação hiperbólica-parabólica
k1(x)u ′′ (x, t) + k2(x)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ Q, (1)
onde k1(x) ≥ 0 e k2(x) ≥ β > 0. Observe que no conjunto dos pontos de Ω no qual
k1(x) = 0, a equação (1) degenera em um caso parabólico. Salientamos que a notação ′
significa ∂
∂t
e ∆ denota o Laplaciano em Ω.
Em 1978 em ([15]) Medeiros generalizou os trabalhos de Vagrov ([21]) e Larkin
([10]) ao determinar existência de soluções fraca do problema misto para a equação (1)
com a inclusão de um termo não linear. Ele trabalhou com a seguinte equação:
k1(x)u ′′ (x, t) + k2(x)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) + |u(x, t)| ρ u(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ Q, (2)
com k1 e k2 como em (1).
Em ([8]) Ferreira estuda um problema abstrato que contém a equação anterior
como caso particular. Mais precisamente,
k1(x, t)u ′′ (x, t) + k2(x, t)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) + F (u(x, t)) = f(x, t), (x, t) ∈ Q, (3)
com as hipóteses:
blema:
• k1(x, t) ≥ 0 q.s. em Q e k2(x, 0) ≥ β > 0;
• F ∈ C 0 (R) satisfazendo sF (s) ≥ 0, ∀s ∈ R.
Neste trabalho estudamos a existência e unicidade de solução fraca para o pro-
⎧
⎪⎨
(P ) u = 0 em Σ = ∂Ω × (0, T )
⎪⎩ u(0) = u0, k1(x)u ′ (0) = k1(x)u1
Sob as seguintes hipóteses:
k1(x)u ′′ (t) + k2(x)u ′ (t) − ∆u + F (u) = f em Q = Ω × (0, T )
1

(H1) Ω ⊂ R n aberto e limitado com fronteira ∂Ω bem regular;
(H2) k1, k2 ∈ L ∞ (Ω), tais que k1 ≥ 0 q.s. em Ω e k2 > 0 q.s. Ω com 1
(H3) F ∈ C 0 (R) satisafazendo sF (s) ≥ 0 ∀s ∈ R.
k2
∈ L ∞ (Ω);
Observe que (P ) trata-se de um problema hiperbólico-parabólico, pois, nos pontos
de Ω nos quais k1 > 0 temos uma EDP hiperbólica, e no conjunto dos pontos de Ω no
qual k1(x) = 0, (P ) é parabólico.
Com F satisfazendo apenas a condição a (H3), no que diz respeito a unicidade
de soluções fraca está em aberto até o hoje, independente da dimensão e do domínio
considerado. Aqui a unicidade é obtida apenas para alguns casos particulares de F.
β > 0 então
Nossos resultados generalizaram os obtidos por Medeiros ([15]). De fato, se k2 ≥
1
k2
≤ 1
β
⇒ 1
k2
∈ L ∞ (Ω).
Além disso, F (s) = |s| ρ s satisfaz sF (s) ≥ 0. Mais ainda, generalizamos os resultados
obtidos por Ferreira ([8]), pois ele considera k2(x, 0) ≥ β > 0.
No primeiro capítulo, fazemos um resumo dos principais conceitos e resultados
necessários para a compreensão dos assuntos que serão abordados nos capítulos seguintes.
No segundo capítulo demonstramos a existência de solução fraca para (P ). Isto
é feito primeiramente substituindo F por uma subsequência de funções lipschitziana (Fk)
satisfazendo as mesmas condições de F e que converge uniformemente sobre os limitados
de R para F. Só que ainda constamos com k1(x) ≥ 0 q.s. em Ω, fato que dificulta muito.
Para contornarmos este empecilho penalizamos a equação, que consiste em somarmos o
termo εu ′′ em (P ), para algum 0 < ε < 1, transformando (P ) em um problema estrita-
mente hiperbólico. Feito isto, utilizamos o método de Faedo-Galerkin para encontrarmos
solução fraca para o problema penalizado, desta forma teremos uma família de soluções
fraca para problema penalizado indexada por ε e k. Passaremos ao limite ε → 0 e k → ∞,
em uma determinada topologia, nesta família. E este por sua vez será uma solução fraca
para (P ).
No terceiro capítulo analizamos alguns casos particulares nos quais está garantida
a unicidade de soluções e justificamos a dificuldade de termos unicidade de soluções no
caso geral.
2

Capítulo 1
Preliminares
Este capítulo foi pensado com o intuito de apresentar o maior número de conceitos
e resultados, para que o caro leitor possa ter uma melhor compreensão dos conteúdos
abordados no restante da dissertação.
Fixaremos a seguinte notação que será usada durante todo o texto: as letras N ,
B e H representarão espaços normados, de Banach e de Hilbert respectivamente. Além
disso, a menos que mencionemos o contrário µ representará a medida de Lebesgue.
1.1 Os Espaços L p (Ω)
Definição 1.1.1. Seja Ω ⊆ R n um conjunto aberto. Representa-se por L p (Ω), 1 ≤ p <
+∞, o espaço vetorial constituído pelas funções f : Ω → R mensuráveis, cuja potência p,
|f| p , é integrável à Lebesgue, isto é:
L p
(Ω) = f : Ω → R; f é mensurável e |f(x)|
Ω
p
dx < +∞ , 1 ≤ p < +∞.
A fim de lidar com estes espaços usando as ferramentas da análise funcional,
gostaríamos que eles fossem espaços vetoriais normados. Todavia, o que ocorre é que
a “candidata natural” a definir uma norma em L p (Ω), 1 ≤ p < +∞, que é a função
· L p (Ω) : L p (Ω) → R dada por:
fLp (Ω) =
|f(x)|
Ω
p 1/p dx
é apenas uma semi-norma, uma vez que f L p (Ω) = 0 se, e somente se, f ≡ 0 quase
sempre em Ω.
dada por:
Para driblar essa “deficiência”, define-se em L p (Ω), 1 ≤ p < +∞, uma relação ∼
f ∼ g ⇐⇒ f ≡ g quase sempre em Ω.
3

É fácil provar que a relação ∼ é uma relação de equivalência. Assim, faz sentido
considerar o quociente de L p (Ω), 1≤p 0; |f(x)| ≤ c q.s. em x ∈ Ω}.
É possível mostrar que, com a norma acima, L ∞ (Ω) é um espaço de Banach.
Uma desigualdade bastante utilizada quando se estuda os espaços L p (Ω) é a
desigualdade de Hölder:
Lema 1.1.3 (Desigualdade de Hölder). Sejam f ∈L p (Ω) e g ∈L q (Ω), com 1≤p

Proposição 1.1.4 (Lema de Imersão). Sejam Ω ⊂ R n , com µ(Ω) < +∞, p e q tais que
1 ≤ p < q ≤ +∞. Então:
L q (Ω) ↩→ L p (Ω).
Demonstração: Seja f ∈ Lq (Ω). Apliquemos a Desigualdade de Hölder ao par ( q
p ,
q
q − p ):
f p
p =
|f(x)|
Ω
p
dx= |f(x)|
Ω
p
.1 dx ≤ |f(x)|
Ω
pq
p/q q−p
p
p dx 1 dx =[µ(Ω)]
Ω
q−p
q f p
q .
Tomando C = [µ(Ω)] q−p
pq , obtemos:
f p ≤ C f q .
Teorema 1.1.5. Sejam (fν)ν∈N uma seqüência em L p (Ω) e f ∈ L p (Ω), tais que fν → f
em L p (Ω). Então existem uma função h ∈ L p (Ω), e uma subseqüência (fνk )k∈N de (fν)ν∈N,
tais que:
(i) fνk (x) → f(x) quase sempre em Ω;
(ii) Para todo k ∈ N, |fνk (x)| ≤ h(x) quase sempre em Ω.
Demonstração: Ver Brezis ([4],p. 58).
Lema 1.1.6 (Lema de Fatou). Sejam fn : Ω[0, +∞] funções mensuráveis. Então
a) lim inf fn(x)dx ≤ lim inf fn(x)dx.
Ω
b) Em particular se fn → f q.s. em Ω,
Demonstração: Ver Castro Junior ([6], p. 53).
Ω
Ω
f(x)dx ≤ lim inf
Ω
fn(x)dx.
Teorema 1.1.7 (Convergência dominada). Sejam f, f1, f2, · · · , : Ω → R funções men-
suráveis tais que fn → f q.s. em Ω. Suponha que exista g : Ω → [0, +∞] uma função
integrável tal que |fn(x)| ≤ g(x) q.s. em Ω. Então:
fn(x)dx → f(x)dx.
Ω
Demonstração: Ver Castro Junior ([6], p. 53).
Teorema 1.1.8 (Convergência dominada 2 a versão). Sejam f, f1, f2, · · · , : Ω → R funções
mensuráveis tais que fn → f q.s. em Ω. Suponha que exista uma sequência gn : Ω →
[0, +∞] de funções integráveis tal que |fn(x)| ≤ gn(x) q.s. em Ω. Se
Ω gn(x)dx →
g(x)dx então
Ω
fn(x)dx → f(x)dx.
Ω
Ω
Ω
5

Demonstração: Basta substituir g por gn na demonstração do Teorema 1.1.7.
Na tabela abaixo apresenta-se um resumo das principais propriedades dos espaços
Lp (Ω). Aqui está sendo considerado p = 1, p = 2, e q é tal que 1 1
+ = 1.
p q
Banach Hilbert Reflexivo 1 Separável 1 Espaço Dual
L p (Ω) sim não sim sim L q (Ω)
L 1 (Ω) sim não não sim L ∞ (Ω)
L 2 (Ω) sim sim sim sim L 2 (Ω)
L ∞ (Ω) sim não não não contém L 1 (Ω)
1 Na Seção 1.2.2 encontram-se mais detalhes sobre espaços reflexivos e separáveis.
1.2 Tópicos de Análise Funcional
Nesta seção fazemos um resumo de conceitos e resultados de Análise funcional
utéis para a compreensão dos capítulos seguintes.
1.2.1 Convergências em um Espaço Normado
Seja N um espaço normado, com norma ·. Por N ′ denota-se o dual topológico
de N , que é o conjunto de todos os funcionais lineares e contínuos definidos em N . Em
N ′ define-se a norma
com a qual N ′ é um espaço de Banach.
f N ′ := sup {|〈f, ξ〉| ; ξ ∈ N , ξ = 1} ,
Definição 1.2.1 (Convergência Forte). Dizemos que ξn converge forte para ξ em N , ou,
simplesmente, ξn converge para ξ em N , e anotamos
quando
ξn → ξ em N
ξn − ξ N → 0.
Definição 1.2.2 (Convergência Fraca). Dizemos que ξn converge fraco para ξ em N , e
anotamos
quando
ξn ⇀ ξ em N
〈f, ξn〉 → 〈f, ξ〉 , ∀ f ∈ N ′ .
6

Agora, sejam (fn)n∈N uma seqüência de elementos de N ′ e f ∈ N ′ .
Definição 1.2.3 (Convergência Fraca*). Dizemos que fn converge fraco estrela para f
em N ′ , e anotamos
quando
∗
fn
⇀f em N ′
〈fn, ξ〉 → 〈f, ξ〉 , ∀ ξ ∈ N .
É possível definir uma topologia em N chamada de Topologia Fraca que induz
a convergência fraca enunciada acima. Também pode-se definir uma topologia em N ′
chamada Topologia Fraca* que induz a convergência fraca*. Quando se procede dessa
forma, as convergências numéricas usadas nas definições acima passam a ser uma con-
sequência da maneira como as topologias são definidas. Para mais detalhes a respeito
destas topologias consulte Oliveira ([17], p.104).
Não é difícil mostrar que quando N tem dimensão finita, as três convergências
(a fortiori, as três topologias) coincidem.
Um dos motivos para se definir a topologia fraca* é o Teorema de Alaoglu. Se
dim N ′ = ∞ sabe-se que BN ′(0; 1) não é compacto na topologia usual de N ′ Oliveira
([17], p.11). Mas tem-se o
Teorema 1.2.4 (Alaoglu). Se N é um espaço normado, então a bola fechada BN ′(0; 1)
é compacto na topologia fraca*.
Demonstração: Oliveira ([17], p. 108).
proposição.
As principais relações entre estas convergências ficam determinadas pela seguinte
Proposição 1.2.5. Sejam (ξn)n∈N uma seqüência de elementos de N , (fn)n∈N uma seqüência
de elementos de N ′ , ξ ∈ N , e f ∈ N ′ . Tem-se:
(i) Se ξn → ξ em N então ξn ⇀ ξ em N ;
(ii) Se ξn ⇀ ξ em N , então ξn é limitada e ξ ≤ lim inf ξn;
(iii) Se ξn ⇀ ξ em N e fn → f em N ′ então 〈fn, ξn〉 → 〈f, ξ〉;
(iv) Se fn ⇀ f em N ′ então fn⇀f
em N ′ ;
∗
(v) Se fn⇀f
em N ′ e ξn → ξ em N , então 〈fn, ξn〉 → 〈f, ξ〉;
∗
(vi) Se N é um espaço de Hibert então ξn → ξ em N se, e somente se, ξn ⇀ ξ em N e
ξn → ξ .
7

Demonstração: Faremos apenas a prova da volta do item (vi). Para as demais, ver
Brezis ([4]). Tal demonstração usa o Teorema da Representação de Riesz (veja Teorema
1.2.11).
Por hipótese ξn ⇀ ξ, isto é, 〈f, ξn〉 → 〈f, ξ〉, para todo f ∈ N ′ . Do Teorema
da Representação de Riesz para Espaços de Hilbert, segue em particular que 〈ξn, ξ〉 →
〈ξ, ξ〉 = ξ 2 . Daí,
ξn − ξ 2 = 〈ξn − ξ, ξn − ξ〉
= ξn 2 − 2 〈ξn, ξ〉 + ξ 2 −→ 2 ξ 2 − 2 ξ 2 = 0.
1.2.2 Espaços reflexivos e separáveis, Representação de Riesz
Definição 1.2.6. Um espaço métrico é separável quando possui um subconjunto enu-
merável denso nesse espaço.
Proposição 1.2.7. H é Hilbert separável se, e somente se, ele possui uma base ortonormal
enumerável (ou seja, existe (ξn)n∈N ortonormal tal que Lin(ξn)=H).
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 154).
Teorema 1.2.8. N é separável se, e somente se, para r > 0, o conjunto BN ′(0; r) é
metrizável na topologia fraca*.
Demonstração: Veja Oliveira ([17],p.114).
Corolário 1.2.9. Sejam N um espaço normado separável e fn uma sequência limitada
em N ′ . Então existe uma subsequência fnk
que converge na topologia fraca*.
Demonstração: Suponhamos, sem perda de generalidade que, fn ≤ 1 para todo n.
Pelo Teorema de Alaoglu e o Teorema 1.2.8 o conjunto BN ′(0; 1) é compacto e metrizavél
na topologia fraca*. Logo, fn ≤ 1 possui uma subsequência fraco* convergente.
Definição 1.2.10. Dizemos que N é reflexivo se ele é isomorfo a N ′′ e o isomorfismo
sendo dado pela a aplicação canônica : N → N ′′ , que a cada ξ ∈ N associa ξ ∈ N ′′ por
ξ(f) := f(ξ), f ∈ N ′′ .
Cabe ressaltar que quando N é reflexivo, as convergências (a fortiori, as topolo-
gias) fraca de N ′ e fraca* coincidem.
8

Teorema 1.2.11 (Representação de Riesz). Sejam H um espaço de Hilbert e H ′ seu dual.
A aplicação γ : H → H ′ , γ(ξ) = fξ, para cada ξ ∈ H, dada por
γ(ξ)(η) = fξ(η) = 〈ξ, η〉, ∀η ∈ H
é uma isometria antilinear e sobrejetora em H ′ .
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 137).
Observação 1.2.12. Deste teorema segue que cada elemento de H ′ é identificado com
um único ξ ∈ H, via fξ, e fξ = ξ, dizemos que ξ representa fξ.
Proposição 1.2.13. Todo espaço de Hilbert é reflexivo.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 138).
1.2.3 Teoria de operadores lineares
Definição 1.2.14. Seja T : N1 → N2 um operador linear. Dizemos que T é contínuo,
ou limitado, se
T := sup T ξN2 < ∞.
ξN =1 1
Definição 1.2.15. Um operador linear T : N1 → N2 é compacto, se a imagem T (A) de
todo subconjunto limitado A ⊂ N1 é precompacta em N2.
Teorema 1.2.16 (Teorema de Banach-Steinhaus). Seja (Tn)n∈N, Tn : B → N , uma
sequência de operadores lineares limitados de forma que para todo ξ ∈ B existe o limite
T ξ := limn→∞Tnξ.
Então sup n Tn < ∞. E além disso, T é um operador linear limitado com
T ≤ lim inf
n→∞ Tn.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 52).
Proposição 1.2.17. Sejam B um espaço de Banach reflexivo e T : B → N um operador
linear limitado. Então T é compacto se, e somente se, (T ξn) é convergente em N para
toda sequência fracamente convergente em B.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 188).
Teorema 1.2.18. Se B é reflexivo, então toda sequência limitada em B admite uma
subsequência fracamente convergente.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 114).
9

1.3 O Espaço das Distribuições Escalares
Para um tratamento moderno das equações diferenciais parciais é essencial o
conceito de distribuição. Estabelecer os principais fatos relativos a este conceito é o
objetivo desta seção.
Definição 1.3.1. Dada uma função contínua ϕ : Ω → R , onde Ω é um aberto do R n ,
denomina-se suporte de ϕ, e denota-se por supp(ϕ), ao fecho em Ω do conjunto dos pontos
x ∈ Ω tais que ϕ(x) = 0, ou seja,
supp(ϕ) = {x ∈ Ω; ϕ(x) = 0} Ω
.
Definição 1.3.2. Chamaremos multi-índice a toda n-upla α = (α1, α2, ..., αn) de números
naturais. Dado um multi-índice α, definimos a ordem |α| de α por |α| = α1 +α2 +...+αn,
e representamos por D α o operador derivação
D α =
∂x α1
∂ |α|
1 ...∂xαn n
No caso em que α = (0, 0, 0, ...0), definimos D 0 = I, onde I é o operador identidade.
É fácil ver que supp(D α f) ⊂ supp(f), sempre que D α f faça sentido.
Representamos por C ∞ 0 (Ω) o espaço vetorial das funções ϕ : Ω → R infinitamente
diferenciáveis em Ω, cujo suporte é um conjunto compacto do R n contido em Ω.
Exemplo 1.3.3. Seja u : (0, 1) −→ R a função definida por u(x) = 1, para todo x ∈ (0, 1).
Aqui, Ω = (0, 1) ⊂ R, e n = 1. Claramente u ∈ C ∞ (Ω), mas supp(u) = (0, 1) não é um
compacto de R. Logo, u ∈ C ∞ 0 (0, 1).
Exemplo 1.3.4. Sejam Ω um aberto do R n . Consideremos a função ϕ : Ω −→ R definida
por:
⎧
⎨
1 exp
x
ϕ(x) =
⎩
2
, se x < 1
−1
0, x ≥ 1
onde x 2 = n
i=1 |xi| 2 . Então ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω) e supp (ϕ) = B1 (0) = {x ∈ R n ; x ≤ 1} é
um compacto do R n , contido em Ω. Logo, ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω).
Claramente, C ∞ 0 (Ω) é um espaço vetorial. Neste espaço, consideraremos a se-
guinte noção de convergência, que foi introduzida por Schwartz:
Definição 1.3.5. Sejam (ϕν) ν∈N uma seqüência de funções de C ∞ 0 (Ω) e ϕ em C ∞ 0 (Ω).
Dizemos que (ϕν) ν∈N converge para ϕ em C ∞ 0 (Ω), e anotamos
quando:
ϕν → ϕ em C ∞ 0 (Ω)
.
,
10

(i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω do R n tal que
supp (ϕ) ⊂ K e supp (ϕν) ⊂ K, ∀ ν ∈ N;
(ii) D α ϕν −→ D α ϕ uniformemente em K, para todo multi-índice α.
Definição 1.3.6. O Espaço das Funções Testes, que denotaremos por D (Ω), é o espaço
vetorial C ∞ 0 (Ω) munido da convergência definida acima. Um elemento de D (Ω) será
chamado de função teste sobre Ω.
Um resultado importante é o que assegura que a imersão D (Ω) ↩→ L p (Ω) é densa,
para 1 ≤ p < +∞.( Medeiros; Milla, [16], p. 9)
Definição 1.3.7. Uma Distribuição Escalar (ou Distribuição) sobre Ω, Ω ⊂ R n aberto, é
uma forma linear T : D (Ω) −→ R que é contínua no sentido da convergência sobre D(Ω).
Isto significa que para toda sucessão (ϕν) de D(Ω) convergente a zero no sentido definido
em 1.3.5, então a sucessão (〈T, ϕν〉) converge a zero em R.
Denotamos por 〈T, ϕ〉 o valor da distribuição T calculado na função teste ϕ.
O conjunto de todas as distribuições sobre Ω é um espaço vetorial real que cha-
maremos Espaço das Distribuições Escalares sobre Ω, ou simplesmente Espaço das Dis-
tribuições sobre Ω, e denotaremos por D ′ (Ω). Observe que essa notação é natural, uma
vez que de acordo com a definição acima D ′ (Ω) é o dual topológico de D (Ω).
Definição 1.3.8. Sejam (Tν) ν∈N uma seqüência de elementos de D ′ (Ω) e T em D ′ (Ω).
Dizemos que Tν converge para T em D ′ (Ω), e anotamos
quando
Tν → T em D ′ (Ω)
〈Tν, ϕ〉 → 〈T, ϕ〉 , ∀ ϕ ∈ D(Ω).
Definição 1.3.9. Dizemos que uma função u : Ω → R é localmente integrável em Ω, e
anotamos u ∈ L1 loc (Ω), quando u é integrável à Lebesgue sobre todo compacto K do Rn
contido em Ω.
Exemplo 1.3.10. Seja u ∈ L1 loc (Ω). Considere a forma linear definida em D(Ω) por:
〈Tu, ϕ〉 = u(x)ϕ(x)dx
para toda ϕ ∈ D(Ω). Nestas condições Tu é uma distribuição escalar sobre Ω.
Ω
11

Com efeito, seja dada uma sequência (ϕν)ν∈N de funções teste sobre Ω convergindo
em D(Ω) para uma função teste ϕ. Isto significa que existe K ⊂ Ω compacto do R n tal
que:
supp(ϕν), supp(ϕ) ⊂ K e D α ϕν −→ D α ϕ uniformemente em K, ∀α ∈ N n .
Então:
|〈Tu, ϕν〉 − 〈Tu, ϕ〉| = |〈Tu, ϕν − ϕ〉| = u(x)(ϕν − ϕ)(x)dx
Ω
≤ |u(x)(ϕν − ϕ)(x)|dx ≤ sup |ϕν(x) − ϕ(x)|
x∈K
K
K
|u(x)|dx −→ 0,
Proposição 1.3.11 (Lema de Du Bois Raymond). Seja u ∈ L 1 loc (Ω). Então Tu = 0 se, e
somente se, u = 0 quase sempre em Ω
Demonstração: Ver Medeiros e Milla ([16], p. 10).
Do Lema de Du Bois Raymond segue-se que para cada u ∈ L1 loc (Ω) tem-se Tu
univocamente determinada por u sobre Ω, quase sempre, no seguinte sentido: se u, v ∈
L 1 loc (Ω) então Tu = Tv se, e somente se, u = v quase sempre em Ω.
Por esta razão identifica-se u com a distribuição Tu por ela definida e diremos
a distribuição u ao invés de distribuição Tu. De maneira que o espaço L1 loc (Ω) pode ser
visto como uma parte de D ′ (Ω). E como Lp (Ω) ⊂ L1 loc (Ω) toda função u ∈ Lp (Ω) pode
ser identificada com a distribuição por ela definida.
Cabe ressaltar que existem distribuições não definidas por funções de L1 loc (Ω). O
exemplo clássico é a distribuição Delta de Dirac como pode ser visto no exemplo.
Exemplo 1.3.12 (Delta de Dirac). Seja x0 um ponto de Ω e δx0 a forma linear definida
em D(Ω) do seguinte modo:
〈δx0, ϕ〉 = ϕ(x0), ∀ϕ ∈ D(Ω).
É fácil verificar que δx0 é uma distribuição sobre Ω. Quando x0 = 0 escreve-se δ0. Entre-
tanto, δx0 não é definida por uma função u ∈ L1 loc (Ω), isto é, não existe u ∈ L1loc (Ω) tal
que
〈δx0, ϕ〉 =
Ω
u(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).
De fato, se existisse uma tal função u teríamos que
u(x)ϕ(x)dx = ϕ(x0), ∀ϕ ∈ D(Ω).
Em particular, para ξ ∈ D(Ω) definida por
Ω
ξ(x) = x − x0 2 ϕ(x)
12

para alguma ϕ ∈ D(Ω), acarretaria que:
ξ(x0) = 〈δx0, ξ〉 =
Ω
u(x)x − x0 2 ϕ(x)dx = 0.
Pela arbitrariedade de ϕ ∈ D(Ω) segue do Lema de Du Bois Raymond que
u(x)x − x0 2 = 0 quase sempre em Ω, mostrando que u(x) = 0 quase sempre em Ω,
o que implica que ϕ(x0) = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω), o que é um absurdo.
Com a convergência definida em D ′ (Ω) este passa a ser um espaço vetorial to-
pológico. E tem-se a seguinte cadeia de imersões contínuas e densas:
D(Ω) ↩→ L p (Ω) ↩→ D ′ (Ω), 1 ≤ p < +∞.
Passemos à definição de derivada distribucional.
Definição 1.3.13. Dados T ∈ D ′ (Ω), e α ∈ N n , definimos a derivada distribucional de
ordem α de T , como sendo a aplicação D α T : D(Ω) → R definida por:
〈D α T, ϕ〉 = (−1) |α| 〈T, D α ϕ〉 , ϕ ∈ D(Ω).
Proposição 1.3.14. Sejam T ∈ D ′ (Ω) e D α T a derivada distribucional de ordem α de
T . Então D α T ∈ D ′ (Ω), ∀ α ∈ N n .
Demonstração: A linearidade de D α T segue trivialmente da linearidade de T. Para
verificarmos a continuidade, consideremos uma seqüência (ϕν)ν∈N de funções testes sobre
Ω convergindo em D(Ω) para a função teste ϕ. Isto significa que existe K ⊂ Ω compacto
do R n tal que:
supp(ϕν), supp(ϕ) ⊂ K e D α ϕν −→ D α ϕ uniformemente em K, ∀α ∈ N n .
Segue-se daí que D α ϕν −→ D α ϕ em D(Ω), pois supp(D α ϕν) ⊂ supp(ϕν) ⊂ K e
supp(D α ϕ) ⊂ supp(ϕ) ⊂ K; além de que D β ϕν −→ D β ϕ uniformemente em K.
Consequentemente sendo T ∈ D ′ (Ω) é válido que:
Desta forma,
〈T, D α ϕν〉 → 〈T, D α ϕ〉.
|〈D α T, ϕν〉 − 〈D α T, ϕ〉| = |〈T, D α ϕν〉 − 〈T, D α ϕ〉| → 0
o que prova o desejado.
Segue da proposição acima que cada distribuição T sobre Ω possui derivada dis-
tribucional de todas as ordens. Devido a esse fato, as distribuições são às vezes chamadas
de Funções Generalizadas.
13

Proposição 1.3.15. O operador derivação D α : D ′ (Ω) → D ′ (Ω) é linear e contínuo no
sentido da convergência definida em D ′ (Ω).
Demonstração: A linearidade de D α é óbvia. Provemos a continuidade. Suponhamos
que Tν → T em D ′ (Ω), isto é, 〈Tν, ϕ〉 → 〈T, ϕ〉 para toda ϕ ∈ D(Ω). Por conseguinte,
segue desta última convergência que para toda ψ ∈ D(Ω),
〈D α Tν, ψ〉 = (−1) |α| 〈Tν, D α ψ〉 −→ (−1) |α| 〈T, D α ψ〉 = 〈D α T, ψ〉 ,
ou seja, D α Tν → D α T em D ′ (Ω). Logo, D α : D ′ (Ω) → D ′ (Ω) é um operador contínuo.
Um resultado que vale pena mencionar é que a derivada de uma função de L 1 loc (Ω)
não é, em geral, uma função de L1 loc (Ω), como mostra o próximo exemplo.
Exemplo 1.3.16. Seja u a função de Heaviside definida em R do seguinte modo:
⎧
⎨u(x)
= 1, se x < 0
u(x) =
⎩
u(x) = 0, se x < 0
Ela pertence a L 1 loc (Ω), mas sua derivada u′ no sentido das distribuições não é localmente
integrável. De fato, temos que:
〈u ′ , ϕ〉 = −〈u, ϕ ′ ∞
〉 =
0
−ϕ ′ (x)dx = ϕ(0) = 〈δ0, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D(R)
Logo, pelo Exemplo 1.3.12 concluímos que u ′ = δ0 não pertence a L 1 loc (Ω).
1.4 Os Espaços de Sobolev
Como vimos na seção anterior, toda função u ∈ L p (Ω) possui derivadas distribuci-
onais de todas as ordens. Entretanto, as derivadas de u nem sempre são também funções
em L p (Ω). Este fato levou Sobolev, em 1936, a idealizar uma nova classe de espaços
vetoriais, os quais são de fundamental importância no estudo das equações diferenciais
parciais. Estes espaços são em sua homenagem chamados de Espaços de Sobolev.
Definição 1.4.1. Sejam Ω um aberto do R n , 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N. O Espaço de Sobolev
de ordem m modelado sobre L p (Ω), que denotamos por W m,p (Ω), é o espaço vetorial das
(classes de) funções em L p (Ω) cujas derivadas distribucionais de ordem α pertencem a
L p (Ω), para todo multi-índice α com |α| ≤ m. Simbolicamente escrevemos:
W m,p (Ω) = {u ∈ L p (Ω); D α u ∈ L p (Ω) ∀ α multi-índice tal que |α| ≤ m} .
14

Quando 1 ≤ p < ∞, não é difícil mostrar que W m,p (Ω) é munido da norma:
E W m,∞ (Ω) tem norma:
⎛
uW m,p (Ω) = ⎝
u W m,∞ (Ω) =
D
|α|≤m
α u p
Lp (Ω)
|α|≤m
⎞
⎠
D α u L ∞ (Ω) .
Pode-se provar que os espaços W m,p (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, equipados com as respectivas normas
são Espaços de Banach. Além disso, W m,p (Ω) é reflexivo quando 1 < p < ∞, e separável
quando 1 ≤ p < ∞. Para tal veja Adams ([1], p.47).
Apenas no caso particular em que p = 2, o espaço W m,2 (Ω) é um Espaço de
Hilbert, que denotaremos por H m (Ω). Simbolicamente escrevemos:
H m (Ω) = u ∈ L 2 (Ω); D α u ∈ L 2 (Ω), ∀ α multi-índice tal que |α| ≤ m .
O produto interno de H m (Ω) e a respectiva norma induzida são dados respectivamente,
por:
〈u, v〉 H m (Ω) =
|α|≤m
〈D α u, D α v〉 L 2 (Ω) e u H m (Ω) =
⎡
1/p
.
⎣
D
|α|≤m
α u 2
L2 (Ω)
Quando m = 0 temos que W 0,p = L p (Ω). Sabemos que D(Ω) é denso em L p (Ω),
mas não é verdade que D(Ω) seja sempre denso em W m,p para m ≥ 1 (cf., Medeiros e
Milla, [16],p.26). Motivado por este fato definimos:
Definição 1.4.2.
W m,p
0 (Ω) := D(Ω) W m,p (Ω)
No caso p = 2 denotaremos esta aderência por H m 0 (Ω) := D(Ω) Hm (Ω)
⎤
⎦
1/2
.
15
= W m,2
0 (Ω).
Definição 1.4.3. Sejam m > 0, um número inteiro positivo e 1 ≤ q < ∞. Definimos:
onde p e q são expoentes conjugados.
W −m,q (Ω) := [W m,p
0 (Ω)] ′
No caso p = 2, denotamos H −m (Ω) := [H m 0 (Ω)] ′ .
Quando estudamos os espaços de Sobolev uma desigualdade faz-se de grande
importância, a desigualdade de Poincaré, pois dela obtêm-se propriedades significantes
para os espaços H m 0 .

Teorema 1.4.4 (Desigualdade de Poincaré). Seja Ω um aberto limitado em alguma
direção xi de R n ,(isto é, existe uma direção ei tal que |pri(Ω)| < C, em que pri é a
projeção do R n sobre o eixo ei) . Então existe uma constante C > 0 tal que
u 2 2 ≤ C∇u 2 2.
Demonstração: Ver Medeiros e Milla ([16], p. 36).
Observação 1.4.5. Considere-se em H 1 0(Ω), Ω limitado em alguma direção xi de R n , a
expressão
u = |∇u(x)|
Ω
2 dx
Então as normas u e u H 1 são equivalentes. De fato, como u 2
H 1 = u 2 2 +u 2 então
é imediato que u 2 ≤ u 2
H 1; da desigualdade de Poincaré segue que u 2
H 1 ≤ Cu 2 .
Logo, u 2 ≤ u 2
H 1 ≤ Cu 2 .
Com base neste resultado em H 1 0(Ω), Ω limitado em alguma direção xi de R n ,
considera-se o produto interno
((u, v)) =
Ω
1
2
∇u · ∇v dx.
Nos capítulos seguintes, uma propriedade dos espaços de Sobolev que será usada
constantemente é a imersão contínua e compacta destes espaços nos L p (Ω), que são garan-
tidas pelos dois teoremas abaixo. No que se segue, e em toda a dissertação, os símbolos
↩→ e c
↩→ representarão imersão contínua e compacta respectivamente.
Definição 1.4.6. Seja Ω um aberto do R n . Dizemos que Ω é de classe C m , m ∈ N, se
sua fronteira é uma variedade de dimensão n − 1 e Ω estando localmente de um mesmo
lado de Γ.
Definição 1.4.7. Um aberto Ω do R n é denominado bem regular se Ω é de classe C m ,
para todo m ≥ 1.
Teorema 1.4.8. Seja Ω um aberto limitado do R n de classe C m . Então as seguintes
imersões são contínuas:
(i) Se n > 2, H1 0(Ω) ↩→ Lq (Ω), para q ∈ 1, 2n
; n−2
(ii) Se n = 2, H 1 0(Ω)↩→L q (Ω), para q ∈ [1, +∞[;
(iii) Se n = 1, H 1 0(Ω)↩→C(Ω).
Demonstração: Ver Adams ([1], p. 97).
.
16

Teorema 1.4.9 (Rellich-Kondrachov). Seja Ω um aberto limitado do R n de classe C 1 .
Então as seguintes imersões são compactas:
(i) Se n > 2, H1 (Ω) c
↩→ Lq (Ω), para q ∈ 1, 2n
; n−2
(ii) Se n = 2, H 1 (Ω) c
↩→ L q (Ω), para q ∈ [1, +∞[;
(iii) Se n = 1, H 1 (Ω) c
↩→ C(Ω).
Demonstração: Ver Adams ([1], p. 144).
Corolário 1.4.10. Se Ω é qualquer domínio limitado do R n , o teorema acima é válido
para H 1 0(Ω) no lugar de H 1 (Ω).
Demonstração: Ver Adams ([1], p. 144).
Observação 1.4.11. Identificando L 2 (Ω) com o seu dual, dos teoremas de imersão acima
temos que:
e portanto
H 1 0(Ω) ↩→ L 2 (Ω) = (L 2 (Ω)) ′ ↩→ H −1 (Ω),
〈f, u〉 H −1 ,H 1 0 = (f, u) L 2, ∀f ∈ L 2 (Ω), ∀u ∈ H 1 0(Ω).
Observação 1.4.12. Uma caracterização do espaço H 1 0(Ω) que é muito útil é dada pelo
Teorema do Traço (para mais detalhe veja Medeiros e Milla ([16], p. 100)), que nos diz
que:
H 1 0(Ω) = {u ∈ H 1 (Ω); u|Γ = 0}.
1.5 A Integral de Bochner
Fixemos um espaço de Banach B, cuja norma representaremos por · e T um
número real positivo.
Definição 1.5.1 (Função simples). Uma função vetorial ϕ : (0, T ) → B é dita simples
quando existem E1, . . . , Ek ⊂ (0, T ), dois a dois disjuntos, com k finito e mensuráveis
tais que existem constantes ϕj, j = 1, 2, ..., k, satisfazendo
(0, T ) ⊃
k
Ei e ϕ|Ei = ϕi
i=1
ϕ| ( k
i=1 Ei) c = 0
17

Como no caso escalar, toda função simples possui uma representação canônica
k
ϕ(t) = χEj (t)ϕj, (1.1)
j=1
onde χEj : (0, T ) → R é a função característica associada ao conjunto Ej.
Dada uma função simples ϕ com representação (1.1), definimos a integral de ϕ,
que denotamos por
T
0
ϕ(t)dt, como sendo o vetor de B dado por:
T
0
ϕ(t)dt =
k
m(Ei)ϕi.
Definição 1.5.2. Dizemos que uma função vetorial u : (0, T ) → B é integrável à Bochner,
e abreviamos B-integrável, quando existir uma sequência (ϕν) ν∈N de funções simples tal
que:
(i) ϕν → u em B, quase sempre em (0, T );
(ii) lim
k,m→∞
T
0
ϕk(t) − ϕm(t) dt = 0.
Neste caso, chamamos de integral de Bochner de u, e denotamos por
de B dado por:
T
0
i=1
u(t)dt = lim
ν→∞
onde o limite é considerado na norma de B.
T
0
ϕν(t)dt,
T
0
18
u(t)dt, ao vetor
Identificando duas funções que coincidem quase sempre, denotamos por B 1 (0, T ; B)
a coleção de todas as (classes de) funções vetoriais u : (0, T ) → B para as quais a inte-
gral de Bochner está bem definida. Note que, quando B = R então B 1 (0, T ; R) é o
espaço L 1 (0, T ). Assim, a integral de Bochner generaliza, num certo sentido, a integral
de Lebesgue.
Teorema 1.5.3. Se u ∈ B1 (0, T ; B) então
T
u(t)dt
≤
Demonstração: Ver Matos ([14], p.126).
0
T
0
u(t)dt
Teorema 1.5.4 (Convergência dominada). Seja (un) uma sequência de funções B-integráveis,
dominada por uma função real integrável g : (0, T ) → R, isto é,
un(t) ≤ g(t), ∀n ∈ N, q.s. em (0, T ).
Se un(t) → u(t) em B q.s. em (0, T ), então u é B-integrável e
T
0
un(t)dt →
T
0
u(t)dt em B.

Demonstração: Ver Matos ([14], p.127).
Proposição 1.5.5. Se u : (0, T ) → B é B-integrável então para cada f ∈ B ′ temos
f,
T
0
u(t)dt
Demonstração: Ver Matos ([14], p.134).
B ′ ,B
=
T
0
〈f, u(t)〉B ′ ,Bdt
Definição 1.5.6. Uma função vetorial u : (0, T ) → X é dita fracamente mensurável
(abrevia-se w-mensurável) quando a função numérica t ↦→ 〈 f, u(t)〉 é mensurável a Le-
besgue em (0, T ), para todo f ∈ X ′ .
Definição 1.5.7. Dizemos que u é fortemente mensurável (abrevia-se s-mensurável)
quando u for limite quase sempre de uma sequência (ϕν)ν∈N de funções simples.
Em particular, temos que toda função s-mensurável é w-mesunrável. Além disso,
quando u for fortemente mensurável então a aplicação t ↦→ u(t)X é mensurável à Le-
besgue.
Teorema 1.5.8 (S. Bochner). Uma função u : (0, T ) → B é B-integrável se, somente se,
é s-mensurável e a função numérica t ↦→ u(t) é integrável a Lebesgue.
Demonstração: Ver Matos ([14], p. 132).
1.6 Os Espaços L p (0, T ; X)
Considere X um espaço de Banach, cuja norma é dada por · .
Os espaços L p (0, T ), 1 ≤ p ≤ ∞, são definidos como as (classes de) funções
ϕ : (0, T ) → R mensuráveis no sentido de Lebesgue e tais que são Banach com as normas:
fp =
T
0
|f(t)| p
dt
1
p
, se 1 ≤ p < ∞;
fL∞ = sup ess |ϕ(t)|, se p = ∞.
t∈(0,T )
Poderíamos também representá-lo como L p (0, T ; R), onde a presença do corpo R dos
números reais indicaria se tratar de um espaço vetorial de funções reais de variável real.
Isto enseja a seguinte definição para os espaços L p (0, T ; X):
Definição 1.6.1. Denotaremos por L p (0, T ; X), 1 ≤ p < ∞, o espaço vetorial das (clas-
ses de) funções vetoriais ϕ : (0, T ) → X, definidas quase sempre em (0, T ) com valores
em X, fortemente mensuráveis, e tais que a função t ↦→ u(t)X está em L p (0, T ).
19

E em L p (0, T ; X) definimos as normas:
ϕL p (0,T ;X) =
T
ϕ(t)
0
p
Xdt 1
p
ϕL ∞ (0,T ;X) = sup ess
t∈(0,T )
, se 1 ≤ p < ∞;
ϕ(t)X, se p = ∞.
E em relação as quais L p (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞, é um espaço de Banach.
Apenas no caso em que p = 2 e H é um espaço de Hilbert, o espaço L 2 (0, T ; H)
é um espaço de Hilbert, cujo produto interno é dado por
(u, v) L 2 (0,T ;X) =
T
0
(u(s), v(s))Hds.
Sendo p e q holder conjugados, 1 1
+ = 1, uma aplicação simples da Desigual-
p q
dade de Hölder implica em que se u ∈ L p (0, T ; X), e v ∈ L q (0, T ; X ′ ) então a função
numérica t ↦→ 〈v(t), u(t)〉 X ′ ,X está em L 1 (0, T ). Um dos resultados fundamentais da teo-
ria dos espaços L p (0, T ; X), de demonstração bastante sofisticada, é aquele que estabelece
a identificação entre os espaços duais
[L p (0, T ; X)] ′ = L q (0, T ; X ′ ).
No caso em que p = 1, essa identificação fica:
[L 1 (0, T, X)] ′ = L ∞ (0, T, X ′ ).
A dualidade entre esses espaços é dada na forma integral por:
T
〈v, u〉 Lq (0,T ;X ′ ),Lp (0,T ;X) =
0
〈v(t), u(t)〉 X ′ ,X dt.
Com esta identificação, os espaços L p (0, T ; X) herdam as propriedades básicas
do espaço de Banach X. Por exemplo se X é reflexivo então L p (0, T ; X) será reflexivo,
para 1 < p < ∞. Se X for separável então L p (0, T ; X) também será separável, para
1 ≤ p < ∞.
Proposição 1.6.2 (Lema de Imersão). Sejam X e Y dois espaços de Banach, e supo-
nhamos que X ↩→ Y . Se 1 ≤ s ≤ r ≤ +∞ então:
L r (0, T ; X) ↩→ L s (0, T ; Y ).
Demonstração: Seja C0 a constante de imersão de X em Y . Dada u ∈ L r (0, T ; X),
temos que u é s-mensurável e
20
u(t) s
Y ≤ C0 u(t) s
X . (1.2)

Ora, a função numérica t ↦→ C0 u(t) s
X está em Lr/s (0, T ) e a função constante v ≡ 1
pertence a L q (0, T ), onde q é o conjugado de r/s.
Da Desigualdade de Hölder, deduzimos que t ↦→ C0 u(t) s
X pertence a L1 (0, T ).
Segue de (1.2) que t ↦→ u(t) s
Y é integrável, e assim, u ∈ Ls (0, T ; Y ).
Para provar que a imersão é contínua, integramos ambos os lados de (1.2) e
usamos a Desigualdade de Hölder para obter:
T
u(t)
0
s
Y
dt ≤
De (1.3) resulta que:
T
C
0
r/s
0 u(t) r
X dt
s/r T
0
dt
1/q
u L s (0,T ;Y ) ≤ C u L r (0,T ;X) .
Lema 1.6.3. Se θ ∈ L p (0, T ) e v ∈ X então ξ(t) = θ(t)v ∈ L p (0, T ; X).
Demonstração: Devemos mostrar que ξ(t) ∈ L p (0, T ), ou seja,
Com efeito,
T
0
ξ(t) p dt =
contudo por hipótese
T
0
T
0
T
0
θ(t)v p dt =
|θ(t)| p dt < ∞.
Logo, o lema está demonstrado.
ξ(t) p dt < ∞.
T
|θ(t)|
0
p v p dt = v p
T
0
21
= C0T 1/q u s
Lr (0,T ;X) . (1.3)
|θ(t)| p dt,
Observação 1.6.4. Seja Q = Ω × (0, T ), Ω subconjunto aberto do R n . Dada u : Q → R,
denotaremos por u(t) a função definida em Ω por u(t)(x) := u(x, t).
Sabemos que:
Como
L p (Q) =
v : Q → R mensurável ; |v(x, t)|
Q
p
dx dt < ∞ .
|v(x, t)|
Q
p dx dt =
T
0
então identificamos L p (Q) = L p (0, T ; L p (Ω)).
|v(x, t)|
Ω
p dx
dt =
T
0
v(t) p pdt

1.7 Distribuições Vetoriais
Seja X um espaço de Banach. Por C 0 ([0, T ]; X), 0 < T < ∞, estaremos repre-
sentando o espaço de Banach das funções contínuas u : [0, T ] → X, munido da norma da
convergência uniforme:
u C 0 ([0,T ];X) = max
t∈[0,T ] u(t)X.
Por C 0 w([0, T ]; X), denotaremos o espaço das funções u :[0, T ] → X fracamente contínuas,
isto é, a aplicação t ↦→ 〈f, u(t)〉 X ′ ,X é contínua em [0, T ], para todo f em X ′ (quando X =
H é um espaço de Hilbert, segue do Teorema de Represetação de Riez que a continuidade
fraca de u é equivalente a continuidade da aplicação t ↦→ (u(t), v)H, onde v ∈ H).
Seja X um espaço de Hilbert. Denotaremos por D(0, T ; X) o espaço vetorial das
funções u:(0, T )→X que são infinitamente diferenciáveis, e cujo suporte é um compacto
da reta R contido em (0, T ).
Definição 1.7.1. Uma distribuição vetorial sobre (0, T ) com valores em X, é uma função
u : D(0, T ) → X linear e contínua. O conjunto dessas transformações lineares é chamado
Espaço das Distribuições Vetoriais sobre (0, T ) com valores em X, e é denotado por
L(D(0, T ), X) = D ′ (0, T ; X). Dados S ∈ D ′ (0, T ; X) e ϕ ∈ D(0, T ), representaremos o
valor de S em ϕ por 〈S, ϕ〉.
Exemplo 1.7.2. Sejam u ∈ L p (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞, e ϕ ∈ D(0, T ). Consideremos a
função Tu : D(0, T ) → X definida por
〈Tu, ϕ〉 =
T
0
u(t)ϕ(t)dt,
onde a integral é calculada no sentido de Bochner em X. A aplicação Tu é uma distri-
buição vetorial sobre (0, T ) com valores em X.
De fato, a linearidade de Tu é trivial. Seja ϕν → 0 em D(0, T ). Isto significa que
existe K ⊂ (0, T ) compacto de R tal que:
Então:
〈Tu, ϕν〉 ≤
supp(ϕν) ⊂ K e D α ϕν −→ 0 uniformemente em K, ∀α ∈ N n .
T
0
u(t)|ϕν(t)|dt ≤ sup
t∈K
Logo, Tu ∈ D ′ (0, T ; X).
|ϕν(t)| u(t)dt ≤ ϕν∞
K
T
0
u(t)dt −→ 0
Como no caso das distribuições escalares, a distribuição Tu é univocamente de-
terminada por u ∈ L p (0, T ; X). De fato, se 〈Tu, ϕ〉 = 0 para todo ϕ em D(0, T ) então:
0 = 〈Tu, ϕ〉 =
T
0
u(t)ϕ(t)dt,
22

e portanto para todo f ∈ X ′ encontramos que
T T
0 = f, u(t)ϕ(t)dt = 〈f, u(t)ϕ(t)〉dt
0
P rop.1.5.5
T
=
0
0
〈f, u(t)〉ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ), ∀f ∈ X ′ .
Do lema de Du Bois Raymond concluímos que 〈f, u(t)〉 = 0, ∀f ∈ X ′ , quase sempre
em (0, T ). E portanto por um dos corolários do Teorema de Hahn-Banach resulta que
u(t) = 0 q.s. em (0, T ).
Desta forma, podemos identificar u com a distribuição Tu por ela definida. Neste
sentido tem-se L p (0, T ; X) ⊂ D ′ (0, T ; X).
buição vetorial.
De forma análoga as distribuições escalares definimos a derivada de uma distri-
Definição 1.7.3. Seja T ∈ D ′ (0, T ; X), definimos a derivada distribucional de T como
sendo a aplicação T ′ : D ′ (0, T ; X) → D ′ (0, T ; X) dada por:
〈T ′ , ϕ〉 = − 〈T, ϕ ′ 〉 , ϕ ∈ D(0, T ).
Com esta definição podemos encontrar resultados semelhantes aos das Proposições
1.3.14 e 1.3.15 para distribuição vetorial.
1.8 Resultados Importantes
teriores.
Nesta seção é feita uma lista de resultados avulsos que usa-se nos capítulos pos-
1.8.1 Desigualdades Utilizadas
No estudo moderno de EDP as desigualdades desempenham um papel muito
importante. Aqui apresentamos duas desigualdades que serão utilizadas.
Lema 1.8.1 (Desigualdade de Gronwall). Sejam α ≥ 0 uma constante, u, v : I ⊂ R → R
duas funções contínuas tais que:
Então vale
Em particular, se α = 0, u ≡ 0.
u(t) ≤ α +
t
t0
v(s)u(s)ds, ∀ t ∈ I.
t
t v(s)ds
u(t) ≤ α · e 0 .
23

Demonstração: Ver Castro Júnior ([5], p.60).
Lema 1.8.2 (Desigualdade Elementar). Sejam a, b e c números reais. Então vale a
seguinte desigualdade:
|a + b + c| q ≤ 2 q max {2 q , 1} (|a| q + |b| q + |c| q ) .
Demonstração: De fato, fazendo d = b + c vem que:
|a + b + c| q = |a + d| q ≤ (|a| + |d|) q ≤ 2 q max {|a| q , |d| q }
≤ 2 q (|a| q + |d| q ) ≤ 2 q (|a| q + 2 q (|b| q + |c| q ))
≤ 2 q max {2 q , 1} (|a| q + |b| q + |c| q ) .
1.8.2 O Teorema de Carathéodory
Denotemos por D um subconjunto aberto de R n+1 cujos elementos são denotados
por (x, t), x ∈ R n e t ∈ R. Seja f : D → R n uma função não necessariamente contínua.
Dizemos que uma função absolutamente contínua x(t) definida em algum intervalo da
reta I tal que (x(t), t) ∈ D, ∀t ∈ I, é uma solução para o problema
24
x ′ = f(x, t), (1.4)
se x(t) satisfaz (1.4) q.s. em D. Se (x0, t0) ∈ D, associado a (1.4) temos o problema de
valor inicial x ′ = f(x, t)
x(t0) = x0
(1.5)
Definição 1.8.3. Dizemos que f : D → R n está nas condições de Carathéodory sobre D
quando:
(i) f(x, t) é mensurável em t para cada x fixo,
(ii) f(x, t) é contínua em x para cada t fixo,
(iii) para cada compacto K em D existe uma função real mK(t) integrável tal que
|f(t, x)| ≤ mK(t), ∀(x, t) ∈ K.
Sejam a, b > 0, e consideremos o retângulo
R = (x, t) ∈ R n+1 ; |x − x0| ≤ b, |t − t0| ≤ a .

Teorema 1.8.4 (Carathéodory). Seja f : R → R n satisfazendo as Condições de Ca-
rathéodory sobre R. Então sobre algum intervalo |t − t0| ≤ β, (β > 0), existe uma solução
x(t) do problema de valor inicial.
Demonstração: Veja Coddington e Levinson 1 (apud MACIEL, [13], p. 59).
Seja ϕ(t) uma solução de (1.4) sobre I e I ⊂ J. Então dizemos que ϕ(t) tem
um prolongamento até J, se existe ψ : J → R n também solução de (1.4) tal que ϕ(t) =
ψ(t), ∀t ∈ I.
Teorema 1.8.5 (Prolongamento de Solução). Sejam D = B × [0, T ], 0 < T < ∞,
B = {x ∈ R n ; |x| ≤ b}, b > 0, e f nas Condições de Carathéodory. Seja ϕ(t) uma solução
de ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
x ′ = f(t, x)
x(0) = x0
|x0| ≤ b.
Suponhamos que em qualquer intervalo I ⊂ [0, T ] onde ϕ(t) está definida se tenha |ϕ(t)| ≤
M, para todo t ∈ I, M é independente de I e M < b . Então ϕ tem um prolongamento
até [0, T ].
Demonstração: Veja Coddington e Levinson 2 (apud MACIEL, [13], p. 59).
1.8.3 Resultados devido a Aubin-Lions
Teorema 1.8.6. Se u ∈ L p (0, T ; B) e u ′ ∈ L p (0, T ; B) (1 ≤ p ≤ ∞), então u é após
eventual modificação por um conjunto de medida nula de (0, T ), contínua de [0, T ] → B.
Demonstração: Veja Lions ([12], p. 7).
Teorema 1.8.7 (Lema de Compacidade de Aubin-Lions). Sejam 1 < pi < ∞, i = 1, 2,
e B0, B e B1 espaços de Banach tais que B0
0 < T < ∞, considere o espaço vetorial
munido da norma
Então:
W = {u ∈ L p0 (0, T ; B0); u ′ ∈ L p1 (0, T ; B1)}
uW := uL p 0 (0,T ;B0) + u ′ L p 1 (0,T ;B1)
25
c
↩→ B ↩→ B1 com B0 e B1 reflexivos. Se
1 CODDINGTON, E; LEVINSON,N. Theory of ordinary differential equations. ed. 1. New York:
McGraw-Hill, 1955.
2 CODDINGTON, E; LEVINSON,N. Theory of ordinary differential equations. ed. 1. New York:
McGraw-Hill, 1955.

(i) W é um espaço de Banach
(ii) W c
↩→ L p0 (0, T ; B).
Demonstração: Veja Lions ([12], p. 58).
Observação 1.8.8. Como consquência da Compacidade de Aubin-Lions, temos que se
(uν)ν∈N é uma sequência limitada em L p0 (0, T ; B0) com (u ′ ν)ν∈N limitada em L p1 (0, T ; B1)
então (uν)ν∈N é limitada em W . E mais ainda, por definição de operador compacto, segue
existe uma subsequência (uνk )k∈N de (uν)ν∈N tal que uνk → u forte em Lp0 (0, T ; B).
Lema 1.8.9 (Lema de Lions). Sejam Ω um aberto limitado de R n × R, gν e g funções de
L q (Ω), 1 < q < ∞, tais que
Então
gν L q (Ω) ≤ C, gν → g quase sempre em Ω.
gν ⇀ g em L q (Ω).
Demonstração: Ver Lions ([12], p. 12).
1.8.4 Teoremas relevantes
Proposição 1.8.10. Sejam H1 ↩→ H2, u, v ′ ∈ L 2 (0, T ; H2), u ′ ∈ L 2 (0, T ; H ′ 1) e v ∈
L 2 (0, T ; H1). Então
d
dt (u(t), v(t))H2 = 〈u ′ (t), v(t)〉H ′ 1 ,H1 + (u(t), v′ (t))H2.
Demonstração: Ver Lima 3 (apud MACIEL, [13], p. 9).
Teorema 1.8.11 (W.A. Strauss). Sejam Ω ⊂ R n um aberto limitado, ur : Ω → R uma
sucessão de funções mensuráveis em Ω,e (Fr) uma sucessão de funções reais tal que Fr ◦ur
seja mensurável, para cada r ∈ N.Suponhamos que:
(i) Fr ◦ ur −→ v q.s. em Q
(ii)
Ω |Fr(ur(x))||ur(x)| < C, ∀r ∈ N
(iii) (Fr) é uniformemente limitada sobre limitado de R
Então:
v ∈ L 1 (Ω) e Fr ◦ ur −→ v em L 1 (Ω)
3 LIMA, O.Existência e unicidade de soluções fracas de uma equação hiperbólica-parabólica não linear.
1985. Tese (Doutorado em Matemática) - Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Rio de Janeiro, 1985.
26

Demonstração: Veja Strauss ([19]).
Teorema 1.8.12. Seja F : R → R uma função contínua satisfazendo sF (s) ≥ 0, ∀s ∈ R.
Então existe uma sucessão de funções Fk de R em R tal que:
(i) sFk(s) ≥ 0, ∀k ∈ N e ∀s ∈ R
(ii) Para cada k ∈ N existe Lk tal que
|Fk(t) − Fk(s)| ≤ Lk|t − s| ∀t, s ∈ R
(iii) Fk é diferenciável exceto em um número finito de pontos
(iv) Fk converge para F uniformemente nos limitados de R.
Demonstração: Seja (Fk)k∈N uma sucessão de funções definidas por:
⎧
F (τ)dτ, se s ∈ (−∞, −k]
⎪⎨
Fk(s) =
sk
k −k
−k− 1
k
−k[G(s − 1
k
−sk2 − 1
k
− 2
k
2
2 k
1
k
) − G(s)], se s ∈ [−k, − 1
k ]
F (τ)dτ, se s ∈ [− 1,
0] k
F (τ)dτ, se s ∈ [0, 1
k ]
k[G(s +
⎪⎩
1
1
) − G(s)], se s ∈ [ , k]
k k
k k+ 1
k F (τ)dτ, se s ∈ [k, −∞).
k
Onde G(s) = s
0 F (τ)dτ. Após alguns cálculos encontramos que Fk satisfaz (i) − (iv) e o
teorema está provado.
Teorema 1.8.13. Seja (fn) uma sequência funções deriváveis no intervalo [a, b]. Se, para
um certo c ∈ [a, b], a sequência numérica (fn(c)) converge e se as derivadas f ′ n convergem
uniformemente em [a,b] para uma função g, então (fn) converge uniformemente em [a, b]
para uma função derivável f, tal que f ′ = g.
Demonstração: Ver Lima, ([11], p.380).
27

Capítulo 2
Existência de solução fraca
Seja Ω um aberto limitado do R n com fronteira bastante regular Γ. Para cada
número real arbitrário T > 0, Q denotará o cilindro Q = Ω × (0, T ) com fronteira lateral
Σ = Γ × (0, T ).
Fixaremos a seguinte notação: (·), | · | e ((·)), · denotarão o produto interno
e norma em L 2 (Ω) e H 1 0(Ω) respectivamente. Sendo que estamos considerando o espaço
H 1 0(Ω) munido da “norma do gradiente”, isto é, u = |∇u|.
Assumiremos as seguinte hipóteses:
(H1) k1, k2 ∈ L ∞ (Ω), tais que k1 ≥ 0 q.s. em Ω e k2 > 0 q.s. Ω com 1
(H2) F ∈ C 0 (R) satisfazendo sF (s) ≥ 0 ∀s ∈ R.
k2
∈ L ∞ (Ω);
Exemplo 2.0.14. As funções k1(x) = | cos x| e k2(x) = 3 + cos x satisfazem a hipótese
(H1) em (0, π).
Este capítulo é dedicado a demonstração de um teorema que assegura, sob as
hipóteses acima, a existência de solução fraca para o problema:
⎧
⎪⎨
(P ) u = 0 em Σ
⎪⎩ u(0) = u0, k1(x)u ′ (0) = k1(x)u1
k1(x)u ′′ (t) + k2(x)u ′ (t) − ∆u + F (u) = f em Q
Observe que para os pontos nos quais k1 > 0 (P ) é uma EDP hiperbólica e nos
pontos nos quais k1 = 0 (P ) é parabólica. Assim, nosso problema é do tipo hiperbólico-
parabólico.
2.1 Solução fraca para (P)
Teorema 2.1.1. Seja F : R → R contínua tal que sF (s) ≥ 0, f ∈ L 2(p+1)
p−1 (Q) , u0 ∈
H1 0(Ω), u1 ∈ L2 (Ω) com G(u0) ∈ L1 (Ω), onde G(s) = s
F (τ)dτ. Então existe uma
0
28
.

função u : Q → R tal que:
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.1)
29
u ′ ∈ L 2p
p+1 (Q) (2.2)
k1u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), k2u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.3)
k1u ′′ + k2u ′ − ∆u + F (u) = f em L 1 (0, T ; H −1 (Ω) + L 1 (Ω)) (2.4)
u(0) = u0
k1(x)u ′ (0) = k1(x)u1
(2.5)
(2.6)
Observação 2.1.2. Suponhamos que sejam válidas as condições (2.1) a (2.4). Vamos
mostrar que faz sentido o cálculo dos dados iniciais. Com efeito:
• Como 2 > 2p
p+1 então
L 2 (Ω) ↩→ L 2p
p+1 (Ω).
Do Teorema de Rellich-Kondrachov segue que H 1 0(Ω) ↩→ L 2 (Ω). Desta forma, de
(2.1) temos que:
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L 2p
p+1 (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)).
• De (2.2) segue que u ′ ∈ L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)).
Logo pelo Teorema 1.8.6 segue que u ∈ C 0 ([0, T ]; L 2p
p+1 (Ω)), portanto faz sentido o cálculo
de u(0).
De (2.3) e (2.4) pelo Teorema 1.8.6 segue que k1u ′ ∈ C 0 ([0, T ]; H −1 (Ω) + L 1 (Ω)),
então faz sentido calcular k1(x)u ′ (0).
Observação 2.1.3. Sendo que k2u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) nos leva a concluir que u ′ ∈
L2 (0, T ; L2 (Ω)). De fato:
u ′ 2
L2 (Q) =
|u
Q
′ (x, t)| 2
1
dx dt =
Q k2(x) |k2(x)u ′ (x, t)| 2 dx dt
≤
1
∈L k2 ∞
1
|
k2 L∞ (Ω) Q
(Ω)
k2(x)u ′ (x, t)| 2 dx dt
=
1
k2u ′ L2 (Q) < ∞.
k2 L∞ (Ω)
A prova do Teorema 2.1.1, que é o resultado principal deste capítulo, será uma
consequência do seguinte teorema:

Teorema 2.1.4. Seja F : R → R tal que sF (s) ≥ 0 Lipschitziana derivável exceto em um
número finito de pontos, f ∈ L 2(p+1)
p−1 (Q) , u0 ∈ H 1 0(Ω), u1 ∈ L 2 (Ω) com G(u0) ∈ L 1 (Ω),
onde G(s) = s
F (τ)dτ. Então existe uma função u : Q → R tal que:
0
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.7)
30
u ′ ∈ L 2p
p+1 (Q) (2.8)
k1u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), k2u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.9)
k1(x)u ′′ (t) + k2(x)u ′ (t) − ∆u + F (u) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)) (2.10)
u(0) = u0
k1(x)u ′ (0) = k1(x)u1
(2.11)
(2.12)
Assim como no Teorema 2.1.1 verificamos sem grandes dificuldades que faz sentido
o cálculo dos dados iniciais.
Para demonstrarmos o Teorema 2.1.4 primeiro penalizaremos a equação. Isto
consiste em transformarmos o problema hiperbólico parabólico em outro estritamente
hiperbólico da seguinte forma: para cada 0 < ε < 1 consideramos o problema
(P ε ⎧
⎪⎨ (k1(x) + ε)u
)
⎪⎩
′′ (t) + k2(x)u ′ (t) − ∆u + F (u) = f em Q
u = 0 em Σ
u(0) = u0, k1(x)u ′ (0) = .
k1(x)u1
Mostraremos que para cada ε existe ao menos uma solução fraca para (P ε ). Com
isto teremos uma família de funções indexadas por ε, passaremos ao limite ε → 0 nesta
família, e este por sua vez será uma solução fraca para o Teorema 2.1.4.
Considere k1ε = k1 + ε. A prova do Teorema 2.1.4 será uma consequência do
seguinte teorema:
Teorema 2.1.5. Seja F : R → R tal que sF (s) ≥ 0 Lipschitziana derivavel exceto em um
número finito de pontos, f ∈ L 2(p+1)
p−1 (Q) , u0 ∈ H 1 0(Ω), u1 ∈ L 2 (Ω) com G(u0) ∈ L 1 (Ω),
onde G(s) = s
0 F (τ)dτ. Então para cada ε existe uma função uε : Q → R tal que:
uε ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.13)
u ′ ε ∈ L 2p
p+1 (Q) (2.14)
k1εu ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), k2u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.15)
k1ε(x)u ′′
ε(t) + k2(x)u ′ ε(t) − ∆uε + F (uε) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)) (2.16)
uε(0) = u0
k1ε(x)u ′ ε(0) = k1ε(x)u1
(2.17)
(2.18)

2.2 Prova do Teorema 2.1.5
A demonstração será feito utilizando o Método de Faedo-Galerkin que consiste
de três etapas. São elas:
Problema Aproximado: Definimos um “ problema reflexo” do problema (P ε ), em um
espaço de dimensão finita conveniente, que denominamos de Problema Aproximado,
e representamos por (P εm ). Feito isto, mostraremos que esse problema aproxi-
mado possui solução (local), que chamamos de Solução Aproximada. Aqui, para a
existência de soluções locais para (P εm ), mostraremos que este sistema é equivalente
a uma EDO de 1 a ordem, e utilizaremos o Teorema de Existência de Carathéodory.
Estimativas: Procuraremos estimativas a priori sobre a sequência de soluções aproxima-
das que nos permitam prolongar a solução ao intervalo [0, T ] e efetuar a “passagem
ao limite”.
Passagem ao Limite: A partir das estimativas a priori mostramos que a sequência de
soluções aproximadas converge, em uma determinada topologia conveniente, para
uma solução de (P ε ).
2.2.1 Problema aproximado
Seja (wν)ν∈N uma base Hilbertiana do H 1 0(Ω) e Vm = [w1, . . . , wm] o subespaço
gerado pelos m primeiros vetores da base (wν)ν∈N.
Vamos mostrar que para cada m ∈ N fixado existe uma função uεm : [o, tεm) → Vm
solução do seguinte sistema:
(P εm ⎧
(k1εu
⎪⎨
)
⎪⎩
′′
εm(t), wj) + (k2u ′ εm(t), wj) + a(uεm(t), wj) + (F (uεm(t), wj))
= (f(t), wj), ∀j = 1, . . . , m
uεm(0) = u0m −→ u0 forte em H1 0(Ω)
k1εu ′ εm(0) = √ k1εu1m, em que u1m −→ u1 forte em ̷L 2 (Ω).
Em que a(u, v) = ((u, v)).
Daí:
Observe que sendo (wν)ν∈N uma base de H 1 0(Ω) então ( √ k1εwν)ν∈N também é.
(a)
u0 ∈ H 1 0(Ω) ⇒ u0 = lim
m→∞
∴ u0m =
m
j=1
m
j=1
α0jmwj = lim
m→∞ u0m
α0jmwj
31

(b)
u1 ∈ L 2 (Ω) ⇒
H1 0 (Ω)↩→L2 (Ω)
u1 = lim
m→∞
∴ u1m =
m
j=1
m
j=1
β1jm
β1jm k1εwj
k1εwj = lim
m→∞ u1m
Escrevendo uεm(t) = m
j=1 gjεm(t)wj, com gjεm(t) pelo menos de classe C 2 resulta de (a)
e (b) que para gjεm(0) = α0jm e g ′ jεm(0) = β1jm, o sistema P (εm) é equivalente ao seguinte
sistema de EDO’s:
(P εm∗ ⎧m
l=1
⎪⎨
)
⎪⎩
g′′ lεm (t)(k1εwl, wj) + m l=1 g′ lεm (t)(k2wl, wj) + m l=1 glεm(t)a(wl, wj)
+ (F ( m l=1 glεm(t)) , wj) = (f(t), wj), ∀j = 1, . . . , m
gjεm(0) = α0jm
g ′ jεm(0) = β1jm
Equivalentemente o sistema acima pode ser escrito como:
⎛
⎜
⎝
(w1, k1εw1)
.
. . .
. ..
(w1, k1εwm)
.
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
g
(wm, k1εw1) . . . (wm, k1εwm)
′′
1εm(t)
.
g ′′ ⎞
⎟
⎠
mεm(t)
+
⎛
⎜
⎝
(w1, k2w1)
.
. . .
. ..
(w1, k2wm)
.
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
g
(wm, k2w1) . . . (wm, k2wm)
′ 1εm(t)
.
g ′ ⎞
⎟
⎠
mεm(t)
+
⎛
a(w1, w1)
⎜
⎝ .
a(wm, w1)
⎞ ⎛ ⎞
. . . a(w1, wm) g1εm(t)
.
⎟ ⎜ ⎟
.. . ⎟ ⎜
⎠ ⎝ . ⎟
⎠
. . . (wm, wm) gmεm(t)
+
⎛
(F (
⎜
⎝
m l=1 glεm(t)wl) , w1)
.
(F ( m l=1 glεm(t)wl) , wm)
⎛
⎞
(f(t), w1)
=
⎜
⎝
.
(f(t), wm)
Colocando na notação matricial o sistema acima encontramos que:
⎟
⎠
AX ′′ + BX ′ + CX + L(X) = M(t),
onde Aij = (wi, k1εwj), Bij = (wi, k2wj), Cij = a(wi, wj), X(t) = (g1εm(t)), . . . , gmεm(t)),
Lj(X) = (F ( m
i=1 Xiwi) , wj) e Mj(t) = (f(t), wj) com 1 ≤ i, j ≤ m.
Desta forma, o sistema (P εm∗ ) é equivalente a:
⎞
⎟
⎠
32

⎧
AX ′′ + BX ′ + CX + L(X) = M(t)
⎪⎨
(P M) X(0) = X0
⎪⎩
X ′ (0) = X1
Sendo que w1, . . . , wm é linearmente independente em L 2 (Ω) então k1εw1, . . . , k1εwm
também é linearmente independente em L 2 (Ω). Logo, a matriz A é invertível o que implica
que:
Façamos
Então
e
Y ′ (t) =
=
=
X ′ (t)
X ′′ = −A −1 BX ′ − A −1 CX − A −1 L(X) + A −1 M(t)
X ′′ (t)
=
X ′ (t)
−A−1BX ′ − A−1CX
0m×m Im×m
−A −1 C −A −1 B
Y (t) =
X(t)
X ′ (t)
.
X ′ (t)
−A−1BX ′ − A−1CX − A−1L(X) + A−1M(t)
0m×1
0m×1
+
−A−1 +
L(X) A−1M(t)
X
X ′
0m×1
+
−A
Y
−1
0m×1
+
L(X) A−1
,
M(t)
Y (0) =
X(0)
X ′ (0)
Chamamos de F1(Y, t), F2(Y, t), F3(Y, t) as funções matriciais:
F1(Y, t) =
F2(Y, t) =
F3(Y, t) =
0m×m Im×m
−A −1 C −A −1 B
0m×1
−A−1L(P1(Y ))
0m×1
A −1 M(t)
P1 : R
Em que
2m → Rm (X, X ′ ) ↦→ X
.
Assim, (P M) é equivalente ao sistema:
(P M ∗ ⎧
⎨Y
)
⎩
′ = F (Y, t) = F1(Y, t) + F2(Y, t) + F3(Y, t)
Y (0) = Y0
.
.
;
Y ;
33

Vamos mostrar que (P M ∗ ) está nas condições de Carathéodory.
Seja D = B × [0, T ], onde B = {Y ∈ R 2m ; |Y | ≤ b}. Então:
1-Para Y fixado F é mensurável em t.
De fato, sendo F1(Y, t) e F2(Y, t) independentes de t são consequentemente men-
suráveis em t. A função F3(Y, t) também é mensurável em t, já que:
⎧
⎨0,
se 0 ≤ j ≤ m
[F3(Y, t)]j =
⎩m
k=1 A−1
(j−m)kMk = m k=1 A−1
(j−m)k (f(t), wk), se m + 1 ≤ j ≤ 2m.
(2.19)
E A −1
2(p+1)
(j−m)k ∈ R e f ∈ L p−1 (0, T ; L 2(p+1)
p−1 (Ω)) ↩→ L2 (0, T ; L2 (Ω)), (já que 2(p+1)
p−1
F é mensurável.
> 2).
Logo, F é soma de funções mensuráveis (já que f é w-mensurável), por conseguinte
2-Para t fixado F é contínua em Y .
A função F1(Y, t) é contínua em Y , pois, é o produto de uma matriz, cujas
entradas são números reais, pela matriz Y , ou seja, F1(Y, t) é linear em Y . A função
F3(Y, t) é independente de Y, portanto, é contínua para t fixado. A função F2 é dada por:
⎧
⎪⎨
0, se 0 ≤ j ≤ m
[F2(Y, t)]j = −
⎪⎩
m k=1 A−1
(j−m)k [L(P1(Y ))]k =
− m k=1 A−1
(j−m)k (F ( m
i=1 Xiwi)
(2.20)
, wk) , m + 1 ≤ j ≤ 2m.
Considere as funções:
P1 : R 2m → R m
(y1, . . . , y2m) ↦→ (y1, . . . , ym)
G1 : R m → L 2 (Ω)
G2 : L 2 (Ω) → L 2 (Ω)
(y1, . . . , ym) ↦→ m
1 yiwi
f ↦→ F ◦ f : Ω → R
x ↦→ (F ◦ f)(x) = F (f(x))
As funções P1 e G1 são contínuas, pois, são transformações lineares cujos domínios
têm dimensão finita. Além disso, como por hipótese F é lipschitziana com sF (s) ≥ 0 (o
que implica que F (0) = 0) segue que G2 também está bem definida e é contínua.
Desta forma, aplicação Y ↦→ ((F ( m
i=1 Xiwi) , wk) , wk) = ((G2 ◦ G1 ◦ P1)(Y ), wk)
é contínua, já que é composição de funções contínuas.
Logo, F2 é contínua em Y . Consequentemente F é contínua em Y para t fixo.
3- Integrabilidade
Como Y varia em B temos que:
34

|F1(Y, t)| =
0m×m Im×m
−A −1 C −A −1 B
Y ≤ Cb
Para 1 ≤ j ≤ m temos que [F2(Y, t)]j = 0 e para j ≥ m + 1:
m
|[F2(Y, t)]j| ≤ |A
(2.20) k=1
−1
m
≤ |A −1
≤
(∗)
k=1
m
i,k=1
(j−m)k |
(j−m)k |
≤ C|Y | ≤ bC
(∗) F é lipschitziana com F (0) = 0.
m
F Yiwi , wk ≤
i=1
F
m
Yiwi |wk)| ≤
i=1
|A −1
(j−m)k ||Yi||wi||wk|
∴ |F2(Y, t)| ≤ Cb
|F3(Y, t)| = max
1≤j≤m |[A−1 M(t)]j| = |[A −1 M(t)]j0| ≤
(2.19)
m
k=1
|A −1
j0k |(f(t), wk)| = ϕ(t)
Como f ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) então |f(t)| ∈ L 2 (0, T ). Pela desigualdade de Cauchy-
Schwarz temos que:
.
|(f(t), wk)| ≤ |f(t)| · |wk| ⇒
Logo, ϕ é integrável.
Assim,
T
0
|(f(t), wk)|dt ≤
|F (Y, t)| ≤ C + ϕ(t)
T
0
|f(t)| · |wk|dt < ∞.
Portanto, o sistema (P M ∗ ) está nas condições de Carathéodory por conseguinte
possui solução local.
Logo, o sistema (P εm ) também possui solução local, isto é, existem tεm e uεm(t) =
m j=1 gjεm(t)wj ∈ Vm, tais que uεm satisfaz o problema (P εm ), para todo t ∈ [0, tεm),
tεm ≤ T .
35

2.2.2 Estimativas
que:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Sabemos que existe uεm : [0, tεm) → Vm da forma uεm(t) = m
j=1 gjεm(t)wj tal
(k1εu ′′
εm(t), wj) + (k2(x)u ′ εm(t), wj) + a(uεm, wj) + (F (uεm), wj)
36
= (f(t), wj), 1 ≤ j ≤ m (2.21)
Multiplicando (2.21) por g ′ jεm(t) e somando em j=1 até m encontramos que:
(k1εu ′′
εm(t), u ′ εm(t)) + (k2(x)u ′ εm(t), u ′ εm(t)) + a(uεm(t), u ′ εm(t)) +
Note que:
(k1εu ′′
εm(t), u ′
εm(t)) = k1εu
Ω
′′
(F (uεm(t)), u ′ εm(t)) = (f(t), u ′ εm(t)) (2.22)
εm(t)u ′ εm(t)dx =
k1ε>0
Ω
k1εu ′′
εm(t) k1εu ′ εm(t)dx
= ( k1εu ′′
εm(t), k1εu ′ εm(t)) = 1 d
2 dt (k1εu ′ εm(t), k1εu ′ εm(t))
= 1 d
2 dt
k1εu ′
εm(t) 2
(k2(x)u ′ εm(t), u ′
εm(t)) = k2(x)u
Ω
′ εm(t)u ′ εm(t)dx
= k2(x)u
Ω
K2>0
′ εm(t) k2(x)u ′ εm(t)dx
= ( k2(x)u ′ εm(t), k2(x)u ′
εm(t)) = k2(x)u ′
εm(t)
a(uεm(t), u ′
εm(t)) = ∇uεm(t) · ∇u
Ω
′
1 d
εm(t)dx =
Ω 2 dt (∇uεm(t) · ∇uεm(t))dx
= 1
d
(∇uεm(t) · ∇uεm(t))dx =
2 dt
1 d
2
uεm(t)
2 dt
(F (uεm(t)), u ′
εm(t)) =
=
Ω
Ω
Ω
F (uεm(t))u ′
εm(t)dx = G
Ω
′ (uεm(t))u ′ εm(t)ds
d
dt G(uεm(t))dx = d
G(uεm(t))dx
dt
Ω
2

Com isto (2.22) é equivalente a:
1 d
2 dt
k1εu ′
εm(t) 2
+ k2(x)u ′
εm(t)
2
+ 1 d
2 dt uεm(t) 2 + d
G(uεm(t))dx
dt Ω
= (f(t), u ′ εm(t))
Integrando de 0 a t, t < tεm < T , temos que:
t
1 d
2 0 dt
k1εu ′
εm(s) 2
t
ds +
0
k2(x)u ′
εm(s) 2
ds + 1
2
t
d
+ G(uεm(s))dxds =
dt
⇒ 1
2
k1εu ′
εm(t) 2
− 1
2
k1εu ′
εm(0) 2
+
− 1
2 uεm(0) 2
+ G(uεm(t))dx −
⇒ 1
2
k1εu ′
εm(s)
2
=
+
Ω
t
0
t
0
0
Ω
t
Ω
0
t
0
t
d
dt uεm(s) 2 ds +
0
k2(x)u ′
εm(s)
G(uεm(0))dx =
2
t
0
(f(s), u ′ εm(s))ds
ds + 1
2
uεm(t) 2
(f(s), u ′ εm(s))ds
k2(x)u ′
εm(s) 2
ds + 1
2 uεm(t) 2
+ G(uεm(t))dx
Ω
(f(s), u ′ εm(s))ds + 1
2 |u1m| 2 + 1
2 u0m 2
+ G(u0m)dx (2.23)
Como u0m e u1m convergem forte em H 1 0(Ω) e L 2 (Ω) respectivamente então ambas
são limitadas nos respectivos espaços. Além disso, sendo L a constante de lipschitz de F ,
usando o fato de que F (0) = 0 temos que:
s
|G(s)| =
F (τ)dτ
≤
s
|F (τ)|dτ ≤ L
=⇒
Ω
G(u0m(x))dx
≤
Desta forma,
1
2
k1εu ′
εm(s) 2
+
0
t
0
Ω
|G(u0m(x))|dx ≤
0
k2(x)u ′
εm(s)
2
Ω
s
0
Ω
|τ|dτ ≤ C|s| 2
|u0m(x)| 2 dx = |u0m| L 2 (Ω)
ds + 1
2 uεm(t) 2
+
<
t
0
Ω
G(uεm(t))dx
(f(s), u ′ εm(s))ds + C1
≤
H 1 0 (Ω)↩→L2 (Ω)
37
(2.24)
C
(2.25)
para alguma constante C1 > 1
2
√
k1εu1m2
+ 1
2u0m2 +
Ω G(u0m)dx que independe de m
e ε.
Lema 2.2.1 (Ferreira, [7]).
t
em que C é uma constante.
0
(f(s), u ′ εm(s))ds ≤ C + 1
2
t
0
k2(x)u ′
εm(s)
2
ds,

Demonstração: De fato:
t
0
(f(s), u ′ εm(s))ds =
t
0
=
f(s)u ′ εm(s)dxds ≤
1
Ω
t
0
Ω
[k2(x)] p
p+1
t
0
Ω
|f(s)||u ′ εm(s)|dxds
38
[k2(x)] p
p+1 |f(s)||u ′ εm(s)|dxds (2.26)
Seja β = p + 1 e β ′ = p+1
1 1
. Isto implica que + p β β ′ = 1. Aplicando a desigualdade
de Hölder em (2.26) vem que:
t
0
Ω
1
[k2(x)] p
p+1
t
≤
=
0
t
0
=
1
k 2 ∈L p (Ω)
≤ T 1
p+1
Ω
[k2(x)] p
p+1 |f(s)||u ′ εm(s)|dx ds
1
[k2(x)] p
1
dx ds
(p+1) p+1
1
1
dx ds
Ω [k2(x)] p
1
t p
1
ds
0
1
k2
p
p+1
k2
L p (Ω)
L p (Ω)
t
0
Ω
p+1 t
0
p+1 t
Ω
p+1 t
0
[k2(x)]
0 Ω
p p+1
p+1 p |f(s)| p+1
p |u ′ εm(s)| p+1
p dx ds
p
p+1
k2(x)|f(s)| p+1
p |u ′ εm(s)| p+1
p dx ds
p
p+1
Ω
k2(x)|f(s)| p+1
p |u ′ εm(s)| p+1
p dx ds
p
p+1
k2(x)|f(s)| p+1
p |u ′ εm(s)| p+1
p dx ds
p
p+1
.
(2.27)
Ora, f ∈ L 2(p+1)
p−1 (Q) isto implica que |f| p+1
p ∈ L 2p
p−1 (Q). Assim, aplicando a
desigualdade de Hölder a β = 2p
p−1 e β′ = 2p
p+1
t
0
, obtemos que:
k2(x)|f(s)|
Ω
p+1
p |u ′ εm(s)| p+1
p dxds
t
≤ |f(s)|
0 Ω
2(p+1)
p−1 dxds
p−1
2p t
[k2(x)]
0 Ω
2p
p+1 |u ′ εm(s)| p+1 2p
p
p+1
t
p
= |f| 2(p+1) k2(x)[k2(x)]
L p−1 0 Ω
p−1
p+1 |u ′ εm(s)| 2
dxds
p+1
2p
p−1
2p
≤ C1|k2| L∞ t
(Ω) |
0 Ω
k2(x)u ′ εm(s)| 2
dxds
p+1
2p
t
≤ C2 k2(x)|u
0
′ εm(s)| 2
L2 (Ω) ds
p+1
2p
.
Logo, de (2.26), (2.27)e (2.28) segue que:
t
0
(f(s), u ′ εm(s))ds ≤ C3
t
0
| k1(x)u ′ εm(t)| 2 1
2
ds
C 2 3
2
+ 1
2
t
0
p+1 dxds
≤
ab≤ a2 b2
+ 2 2
| k1(x)u ′ εm(s)| 2 ds.
p+1
2p
(2.28)

O que prova o lema.
Retornando a (2.25) do Lema de Ferreira segue que:
1
2
k1εu ′
εm(t)
2
+ 1
2
t
0
k2(x)u ′
εm(s)
em que C5 é uma constante que independe de ε e m.
(i)
(ii)
De (2.29) temos que:
2
Ω
ds + 1
2 uεm(t) 2 +
1
2 uεm(t) 2 ≤ C5 ⇒ |uεm(t)| 2 < C6
m
m
=⇒ C6 ≥ (uεm(t), uεm(t)) = ( gjεm(t)wj,
=
j=1
m
[gjεm(t)] 2 = |X(t)| 2
j=1
39
G(uεm(t))dx ≤ C5, (2.29)
i=1
giεmwi)
1
2 |k1εu ′ εm(t)| 2
L2 (Ω) ≤ C5
=⇒ 2C5 ≥| k1εu ′ εm(t)| 2
L2 (Ω) =
|
Ω
k1εu ′
εm(t)|dx =
≥ ε|u
Ω
k1ε=k1+ε
′ εm(t)| 2
dx = ε u
Ω
′ εm(t)u ′ εm(t)dx
= ε(u ′ εm(t), u ′ m
εm(t)) L2 (Ω) = ( g ′ m
jεm(t)wj,
=
m
[g ′ jεm(t)] 2 = ε|X ′ (t)| 2
j=1
j=1
|k1εu
Ω
′ εm(t)|dx
i=1
g ′ iεm) =
Observação 2.2.2. Portanto, a solução Y (t) = (X(t), X ′ (t)) de (P M ∗ ) é limitada, ∀t <
tεm. Logo, de acordo com teorema de prolongamento de solução, Y pode ser prolongada
até T . Por conseguinte uεm solução de (P εm ) está definida em [0, T ].
Afirmação 2.2.3 (Ferreira,[7]). Se r = 2p
p+1 então
onde C6 é uma constante.
u ′ εm r L r (Q) =
Demonstração: Com efeito:
T
|u ′ εm(x, s)| r dxds =
0
Ω
T
0
T
0
Ω
Ω
|u ′ εm(x, s)| r dxds ≤ C6, (2.30)
1
[k2(x)] p
p+1
[k2(x)] p
p+1 |u ′ εm(x, s)| 2p
p+1 dxds.

T
0
Ω
Aplicando a desigualdade de Holder com β = p + 1 e β ′ = p+1
p
1
[k2(x)] p
p+1
T
≤
0
≤ T 1
p+1
≤ C7
Ω
[k2(x)] p
p+1 |u ′ εm(x, s)| 2p
p+1 dxds
1
[k2(x)] p dxds
(p+1) p+1
p
p+1 T
1
k2
T
Donde,
0
L p (Ω)
0
1
| k2(x)u ′ εm(s)| 2
L 2 (Ω) ds
u ′ εmL r (Q) ≤ C7
p+1 T
k2(x)|u
Ω
′ εm(x, s)| 2
dxds
p
p+1
p
p+1
0
Ω
T
|
0
k2(x)u ′ εm(s)| 2
L2 (Ω) ds
p p+1
p+1 2p
≤
2ab≤a2 +b2 C8 + 1
2
T
0
vem que:
[k2(x)] p p+1
p+1 p |u ′ εm(x, s)| 2p
p+1
p+1 p dxds
p
p+1
| k2(x)u ′ εm(s)| 2
L 2 (Ω)
ds ≤
(2.29)
como queríamos demonstrar.
De (2.29), da Afirmação 2.2.3 e do fato que uεm está definida em [0, T ] segue que:
C9,
(uεm) é limitada em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.31)
(u ′ εm) é limitada em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) (2.32)
( k1εuεm) é limitada em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) (2.33)
( k2u ′ εm) é limitada em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.34)
Como L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) = [L 1 (0, T ; H −1 (Ω))] ′ e L 1 (0, T ; H −1 (Ω)) é separável, então
toda sucessão limitada em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) admite uma subsucessão que converge na
topologia fraca*. Assim, de (2.31) segue que existe uma subsequência (uεmk ) de uεm tal
que
(uεmk ) → uε fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
Sendo que L 2p
p+1 (Q) é Banach reflexivo, então toda sequência limitada admite
uma subsequência convergente fraco. Desta maneira, de (2.32), com (u ′ εmk ) no lugar de
(u ′ εm), concluímos que existe uma subsequência (u ′ εmkl ) de (u′ εmk ) tal que
para algum χ.
u ′ εmkl
−→ χ fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)),
Para não carregar a notação, convencionaremos que todas as subsequências de
(uεm) continuarão a ser representadas por (uεm), ficando claro que estamos trabalhando
com subsequências de subsequências. Nestes termos segue que:
40

Afirmação 2.2.4.
uεm −→ uε fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) = [L 1 (0, T ; H −1 (Ω))] ′
41
(2.35)
u ′ εm −→ χ fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) (2.36)
χ = u ′ ε
De (2.35) por definição de convergência fraca* temos que:
〈uεm, w〉 L ∞ (0,T ;H 1 0 (Ω)),L 1 (0,T ;H −1 (Ω)) −→ 〈uε, w〉 L ∞ (0,T ;H 1 0 (Ω)),L 1 (0,T ;H −1 (Ω)) , ∀w ∈ L1 (0, T ; H −1 (Ω))
⇐⇒
T
〈uεm(t), w〉 H1 0 ,H
0
−1dt −→
T
0
〈uε(t), w〉 H 1 0 ,H −1dt, ∀w ∈ L1 (0, T ; H −1 (Ω))
Considere w(t)(x) = θ(t)v(x), v ∈ H 1 0(Ω) e θ ∈ D(0, T ), nestas condições w ∈
L 1 (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)) (isto é válido pelo Lema 1.6.3, Observação 1.4.11 e
Proposição 1.6.2). Daí:
⇐⇒
T
T
〈uεm(t), θ(t)v(x)〉 H1 0 ,H−1dt −→
0
〈uε(t), θ(t)v(x)〉 H1 0 ,H
0
−1dt, ∀v ∈ H10(Ω) T
T
〈uεm(t)θ(t), v(x)〉 H−1 ,H1dt =
0
0
uεm(t)θ(t)dt, v
0
H−1 ,H1 T
T
= 〈〈uεm, θ〉, v〉 H−1 ,H1 −→
0
0
−→ 〈uε(t)θ(t), v(x)〉 H−1 ,H1dt =
0
0
uε(t)θ(t)dt, v
0
H−1 ,H1 = 〈〈uε, θ〉, v〉 H−1 ,H1 −→
0
0
para algum η.
=⇒
∴ 〈〈uεm, θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 −→ 〈〈uε, θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 , ∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
=⇒ 〈uεm, θ〉 −→ 〈uε, θ〉, ∀θ ∈ D(0, T ) fraco em H −1 (Ω) (2.37)
∴ uεm −→ uε fraco em D ′ (0, T ; H −1 (Ω)) (2.38)
De (2.34) como ̷L 2 (Q) é Banach reflexivo, segue que:
k2u ′ εm −→ η fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)),
Isto significa por definição de convergência fraca que:
T
0
〈 k2u ′ εm, w〉 −→ 〈η, w〉, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
( k2u ′ εm(t), w(t))dt −→
T
0
(η(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.39)

De fato:
Considere z = 1
√ k2 w, com w ∈ L2 (0, T ; L 2 (Ω)). É fácil ver que z ∈ L2 (0, T ; L 2 (Ω)).
|z| 2
L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) =
0
T
1
w(x, t)
0 Ω k2(x)
=
1
∞
̷L
k2
|w| 2
L2 (Q) < ∞
0
2
dxdt ≤
1
∞
̷L
k2
T
0
Ω
|w(x, t)| 2 dxdt
E assim de (2.39) teremos que:
T
k2u
0
′ εm(t), w(t)
T
√ dt −→ η(t),
k2
0
w(t)
√ dt, ∀w ∈ L
k2
2 (0, T ; L 2 (Ω))
T
=⇒ (u
0
′ T
η(t)
εm(t), w(t))dt −→ √ , w(t) dt, ∀w ∈ L
0 k2
2 (0, T ; L 2 (Ω))
Suponhamos que w(t) = θ(t)v, com θ ∈ D(0, T ) e v ∈ H1 0(Ω). Daí:
T
(u
0
′ T
η(t)
εm(t), v)θ(t)dt −→ √ , v θ(t)dt, ∀v ∈ H
0 k2
1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
T
=⇒ u ′ T
η(t)
εm(t)θ(t)dt, v −→ √ θ(t)dt, v ∀v ∈ H
k1
1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
=⇒ 〈〈u ′ εm, θ〉, v〉 −→
=⇒ 〈u ′ εm, θ〉 −→
η
√k1 , θ
∴ u ′ εm −→ η
√ k2
, v , ∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
η
√k1 , θ , ∀θ ∈ D(0, T ) fraco em H −1 (Ω)
42
fraco em D ′ (0, T ; H −1 (Ω)) (2.40)
Como o operador derivação em D ′ (0, T ; H −1 (Ω)) é contínuo então de (2.38) e
(2.40) segue que u ′ ε = η
√ k2 , ou seja, η = √ k2u ′ ε .
Substituindo η = u ′ ε
T
0
segue que:
( k2u ′ εm(t), w(t))dt −→
√ k2 em (2.39) encontramos que:
T
0
( k2u ′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
Em particular para z = 1
√ k2 w, com w ∈ L2 (0, T ; L 2 (Ω)), temos que:
T
0
Sendo 2p
p−1
T
0
(u ′ εm(t), w(t))dt −→
T
0
(u ′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
> 2 então L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). Da equação acima
(u ′ εm(t), w(t))dt −→
T
(u
0
′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)).
Portanto, u ′ εm −→ u ′ ε fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)), consequentemente por unici-
dade do limite fraco segue de (2.36) que χ = u ′ ε. Como queríamos demonstrar.

2.2.3 Passagem ao Limite
Nesta seção, faremos a passagem ao limite m −→ ∞ na equação aproximada do
problema P εm . Para facilitar a compreensão dividimos em quatro etapas: L1, L2, L3 e
L4.
L1:
ou seja,
⇐⇒
d
dt (k1ε(x)uεm(t) ′ , v) −→ d
dt (k1ε(x)uε(t) ′ , v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T )
Com efeito, de (2.36) e da Afirmação (2.2.4) temos que:
T
〈u
0
′ εm(t), w(t)〉 2p 2p
L p+1 ,L p−1
T
⇐⇒
0
u ′ εm −→ u ′ ε fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)),
〈u ′ εm, w〉 −→ 〈u ′ ε, w〉, ∀w ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω))
dt −→
T
(u ′ εm(t), w(t))dt −→
0
〈u ′ ε(t), w(t)〉 L 2p
p+1 ,L 2p
p−1
T
0
43
dt, ∀w ∈ L 2p
p−1 (Q) (2.41)
(u ′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2p
p−1 (Q) (2.42)
Note que √ k1εw ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)), ∀w ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)). De fato:
k1εw
=⇒
2p
p−1
L 2p
T
= |
p−1 (Q) 0
2p
p−1
k1εw(t)|
L 2p
T
dt = |
p−1 (Ω) 0 Ω
k1ε(x)w(x, t)| 2p
p−1 dxdt
p
p−1
≤ k1εL∞
T
(Ω) |w(x, t)|
0 Ω
2p
T
2p
p−1
p−1
dxdt = C |w(t)|
0 L 2p dt
p−1 (Ω)
2p
p−1
= Cw
L 2p < ∞
p−1 (Q)
Assim, de (2.42) vem que:
T
0
T
0
(u ′ εm(t), k1ε(x)w(t))dt −→
( k1ε(x)u ′ εm(t), w(t))dt −→
T
(u
0
′ ε(t), k1εw(t))dt, ∀w ∈ L 2p
p−1 (Q)
T
(
0
k1εu ′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2p
p−1 (Q)
∴ k1εu ′ εm −→ k1εu ′ ε fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)). (2.43)
De (2.33) segue que existe uma subsequência de ( √ k1εu ′ εm) que ainda denotamos
por ( √ k1εu ′ εm) tal que:
isto é,
k1εu ′ εm −→ µ fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) = [L 1 (0, T ; L 2 (Ω))] ′ , (2.44)
〈 k1εu ′ εm, w〉 −→ 〈µ, w〉, ∀w ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω))

Daí:
=⇒
T
0
( k1ε(x)uεm(t) ′ , w(t))dt −→
Como L 2p
p−1 (Ω) ↩→ L 2 (Ω), pois, 2p
p−1
T
0
T
0
44
(µ, w(t))dt, ∀w ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.45)
> 2. Então:
L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)) ↩→ L 1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)) ↩→ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)).
( k1ε(x)uεm(t) ′ , w(t))dt −→
T
0
(µ, w(t))dt, ∀w ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω))
∴ k1εu ′ εm ⇀ µ em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)). (2.46)
Por conseguinte, (2.43) e (2.46) segue que µ = √ k1εu ′ ε.
Considere w(t)(x) = θ(t) k1ε(x)v, v ∈ H 1 0(Ω) e θ ∈ D(0, T ), é fácil ver que nestas
condições w ∈ L1 (0, T ; L2 (Ω)). De fato, basta ver que k1ε(x)v ∈ L2 (Ω) :
| k1εv| 2
L2 (Ω) =
|k1ε(x)| 2 |v| 2 dx ≤ k1ε 2 L∞
(Ω) |v| 2 dx =
Ω
= k1ε 2 L ∞ (Ω)|v| 2
L 2 (Ω)
Assim, de (2.45) segue que:
T
0
T
0
≤
H 1 0 (Ω)↩→L2 (Ω)
( k1ε(x)uεm(t) ′ , θ(t) k1ε(x)v)dt −→
(k1ε(x)uεm(t) ′ , v)θ(t)dt −→
Ω
C|k1ε|L∞ (Ω)v 2
H1 0 (Ω) < ∞.
T
0
( k1εu ′ ε, θ(t) k1ε(x)v)dt,
∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
T
(k1εu
0
′ ε, v)θ(t)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
(2.47)
∴ (k1ε(x)uεm(t) ′ , v) −→ (k1ε(x)u ′ ε, v), ∀v ∈ H 1 0(Ω), em D ′ (0, T ) (2.48)
Como o operador derivação em D ′ (0, T ) é contínuo então:
d
dt (k1ε(x)uεm(t) ′ , v) −→ d
dt (k1ε(x)u ′ ε, v), ∀v ∈ H 1 0(Ω), em D ′ (0, T )
Observação 2.2.5. Como vimos √ k1εu ′ εm −→ √ k1εu ′ ε fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)), nestas
condições é fácil ver que k1εu ′ εm −→ k1εu ′ ε fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)). Logo, k1εu ′ ε ∈
L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). Verificando assim a condicão (2.15) do Teorema 2.1.5.

L2:
(k2(x)u ′ εm(t), v) −→ (k2(x)u ′ ε(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T )
De fato, de (2.34) temos que ( √ k2u ′ εm) é limitada em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), que é
Banach reflexivo, então existe uma subsequência de ( √ k2u ′ εm) a qual ainda denotaremos
por ( √ k2u ′ εm) tal que:
Observe que 2p
p+1
k2u ′ εm −→ η fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.49)
< 2. Assim:
L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) ↩→ L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) (2.50)
=⇒ [L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))] ′ ↩→ [L 2 (0, T ; L 2 (Ω))] ′
De acordo com a definição de convergência fraca, de (2.49) vem que:
Em particular,
〈 k2u ′ εm, w〉 −→ 〈η, w〉, w ∈ [L 2 (0, T ; L 2 (Ω))] ′
〈 k2u ′ εm, w〉 −→ 〈η, w〉, w ∈ [L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))] ′
∴ k2u ′ εm ⇀ η em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)).
45
(2.51)
(2.52)
Sabemos de (2.36) e da Afirmação 2.2.4 que u ′ εm ⇀ u ′ ε em L 2p
p+1 (Q). Procedendo
de forma semelhante ao que foi feito no início da Seção 2.2.3 (mais precisamente em L1)
encontramos que √ k2u ′ εm ⇀ √ k2u ′ ε em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)). E desta forma teremos que
η = √ k2u ′ ε. O que implica que:
T
0
=⇒
∴ k2u ′ εm ⇀ k2u ′ ε em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.53)
Fazendo w(t)(x) = θ(t) k2(x)v, θ ∈ D(0, T ) e v ∈ H 1 0(Ω), em (2.52) temos que:
( k2u ′ εm(t), θ(t) k2v)dt −→
T
0
T
(k2(x)u ′ εm(t), v)θ(t)dt −→
Logo,
( k2u ′ εm(t), θ(t) k2v)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
0
T
0
(k2(x)u ′ εm(t), v)θ(t)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
(k2(x)u ′ εm(t), v) −→ (k2(x)u ′ εm(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ), (2.54)
como queríamos demonstrar.
Observação 2.2.6. De (2.53) fazendo w(t) = k2(x)z(t), z ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) em (2.52)
encontramos que k2u ′ εm −→ k2u ′ ε fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), ou seja, k2u ′ ε ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
O que mostra (2.15).
Como por hipótese 1
k2 ∈ L∞ (Ω) então podemos considerar w(t) = 1
√k2(x) z(t),
z ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) em (2.52). O que acarreta que u ′ εm −→ u ′ ε fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).

L3:
a(uεm(t), v) −→ a(uεm(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T )
De fato, de (2.35) segue que:
T
〈uεm(t), w(t)〉 H1 0 ,H
0
−1dt −→
T
0
〈uε(t), w(t)〉 H 1 0 ,H −1dt, ∀w ∈ L1 (0, T ; H −1 (Ω))
Como H 1 0(Ω) é um espaço de Hilbert com o produto interno denotado por ((·))
e [H 1 0(Ω)] ′ = H −1 (Ω), então pelo Teorema da Representação de Riez a equação acima é
equivalente a:
que:
Logo,
L4:
forma:
T
0
((uεm(t), w(t)))dt −→
T
0
((uε(t), w(t)))dt, ∀w ∈ L 1 (0, T ; H 1 0(Ω)).
Considerando w(t) = θ(t)v, θ ∈ D(0, T ) e v ∈ H 1 0(Ω), na equação acima temos
T
=⇒
((uεm(t), v))θ(t)dt −→
0
T
0
a(uεm(t), v)θ(t)dt −→
T
((uε(t), v))θ(t)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T )
0
T
0
a(uε(t), v)θ(t)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω), ∀θ ∈ D(0, T ).
a(uεm(t), v) −→ a(uε(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ) (2.55)
(F (uεm(t)), v) −→ (F (uεm(t)), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T )
Como 1 < 2p
p+1 < 2 então L2 (Ω) ↩→ L 2p
p+1 (Ω). Além disso, H 1 0(Ω) c
↩→ L 2 (Ω). Desta
De (2.31) e (2.32) temos que:
H 1 0(Ω) c
↩→ L 2 (Ω) ↩→ L 2p
p+1 (Ω).
(uεm) é limitada em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω))
(u ′ εm) é limitada em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))
Aplicando o Teorema da compacidade de Aubin-Lions (Teorema 1.8.7) a cadeia H 1 0(Ω) c
↩→
L 2 (Ω) ↩→ L 2p
p+1 (Ω) temos que existe uma subsequência de (uεm) a qual continuaremos
denotando por (uεm) tal que:
uεm −→ ζ forte em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.56)
46

Vejamos que ζ = uε. Com efeito de (2.35) temos que uεm
isto significa que:
Em particular,
Logo,
47
∗
⇀ uε em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)),
〈uεm, w〉 −→ 〈uε, w〉, ∀w ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)). (2.57)
〈uεm, w〉 −→ 〈uε, w〉, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.58)
uεm −→ uε fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Com isto de (2.56) temos que ζ = uε. Portanto, passando a uma subsequência se
necessário podemos supor que:
e por continuidade de F,
uεm −→ uε quase sempre em Q (2.59)
F (uεm) −→ F (uε) quase sempre em Q.
Por hipótese sF (s) > 0 e Lipschitziana, com costante de Lipchitz L, isto implica
que F (0) = 0. Assim:
T
|F (uεm(t))(x)| 2 dxdt ≤
0
Ω
T
0
L|uεm(x, t)|
Ω
2 T
dxdt = L |uεm(t)|
0
2
L2 (Ω) dt
≤
H1 0 (Ω)↩→L2 T
LC
(Ω)
uεm(t)dt ≤ LCT uεmL∞ (0,T ;H1 0 (Ω)) <
0
(2.31)
∞.
(2.60)
Logo, (F (uεm)) é limitada em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). Consequentemente pelo Lema de
Lions (Lema 1.8.9) vem que:
F (uεm) −→ F (uε) fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Pela definição de convergência fraca isto significa que:
T
=⇒
T
0
〈F (uεm), w〉 −→ 〈F (uε), w〉, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
(F (uεm(t)), w)dt −→
T
0
(F (uε(t)), w)dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
Em particular para w(t) = θ(t)v, θ ∈ D(0, T ) e v ∈ H 1 0(Ω), temos que:
0
(F (uεm(t)), v)θ(t)dt −→
Logo,
T
0
(F (uε(t)), v)θ(t)dt, ∀θ ∈ D(0, T ), ∀v ∈ H 1 0(Ω)
(F (uεm(t)), v) −→ (F (uε(t)), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ) (2.61)

Em resumo de L1, L2, L3 e L4 temos que:
d
dt (k1ε(x)u ′ εm(t), v) −→ d
dt (k1ε(x)u ′ ε, v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T );
(k2(x)u ′ εm(t), v) −→ (k2(x)u ′ εm(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T );
a(uεm(t), v) −→ a(uε(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T );
(F (uεm(t)), v) −→ (F (uε(t)), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
Como a família {Vm} é densa em H 1 0(Ω) então de (2.21) segue que:
(k1ε(x)u ′′
εm(t), v) + (k2(x)u ′ εm(t), v) + a(uεm(t), v) + (F (uεm(t)), v)
48
= (f(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω). (2.62)
Sendo uεm(t) = m
j=1 gjεm(t)wj, com gjεm(t) pelo menos de classe C 2 então
d
dt (k1ε(x)u ′ εm(t), v) = d
dt
m
g ′
jεm(t)(k1εwj, v) =
j=1
= (k1ε(x)u ′′
εm(t), v).
m
j=1
Desta forma, podemos escrever (2.62) da seguinte forma:
g ′′
jεm(t)(k1εwj, v)
d
dt (k1ε(x)u ′ εm(t), v) + (k2(x)u ′ εm(t), v) + a(uεm(t), v) + (F (uεm(t)), v)
Multiplicando por θ ∈ D(0, T ) e integrando de 0 a T vem que:
T
0
d
dt (k1ε(x)u ′ εm(t), v)θ(t)dt +
T
0
T
(k2(x)u ′ εm(t), v)θ(t)dt +
Passando o limite m → ∞ encontramos que :
+
0
= (f(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
T
0
a(uεm(t), v)θ(t)dt
(F (uεm(t)), v)θ(t)dt = (f(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
d
dt (k1ε(x)u ′ ε(t), v) + (k2(x)u ′ ε(t), v) + a(uε(t), v) + (F (uε(t), v)
= (f(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ). (2.63)
Mostremos agora que k1εu ′′
ε ∈ L 2 (0, T ; H −1 (Ω)). De fato, identificando L 2 (Ω) com
seu dual temos:
H 1 0(Ω) ↩→ L 2 (Ω) = [L 2 (Ω)] ′ ↩→ H −1 (Ω)
e como k1εu ′ ε ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; H −1 (Ω)) resulta que k1εu ′ ε define uma distri-
buição vetorial com valores em H −1 (Ω) e cuja derivada é dada por:
〈k1εu ′′
ε, θ〉 = −
T
0
k1εu ′ ε(t)θ ′ (t)dt ∈ H −1 (Ω), ∀θ ∈ D(0, T )

e ∀v ∈ H 1 0(Ω), temos
〈〈k1εu ′′
T
ε, θ〉,v〉 H−1 ,H1 = −
0
0
= −
Obs. (1.4.11)
T
k1εu ′ ε(t)θ ′
(t)dt, v
(k1εu
0
′ ε(t), v)θ ′ (t)dt =
H −1 ,H 1 0
= −
d
dt (k1εu ′ ε(t), v), θ
T
〈k1εu
0
′ ε(t)θ ′ (t), v〉 H−1 ,H1dt 0
49
(2.64)
Como uε ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) então −∆uε ∈ L 2 (0, T ; H −1 (Ω)).
De fato, isto é verdade porque
∀t ∈ (0, T ), uε(t) ∈ H 1 0(Ω) ⇒ −∆uε(t) ∈ H −1 (Ω) e uε(t)H1 = ∆uεH−1 0
T
∴ ∆uε(t)
0
2
T
H−1dt = uε
0
2
H1dt < ∞.
0
Desta forma, −∆uε defini uma distribuição vetorial em H −1 (Ω). Consequentemente tere-
mos que:
T
〈〈−∆uε, θ〉, v〉 H−1 ,H1 =
0
0
T
=
0
(−∆uε(t), v)θ(t)dt =
T
0
((uε, v))θ(t)dt
a(uε, v)θ(t)dt = 〈a(uε, v), θ〉, ∀θ ∈ D(0, T ), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
(2.65)
De forma análoga para k2u ′ ε, F (uε) ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; H −1 (Ω)) e f ∈
L 2(p+1)
p−1 (0, T ; L 2(p+1)
p−1 (Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; H −1 (Ω)), teremos que:
〈〈k2u ′ ε, θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 = 〈(k2u ′ ε(t), v), θ〉, ∀θ ∈ D(0, T ), ∀v ∈ H 1 0(Ω) (2.66)
〈〈F (uε), θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 = 〈(F (uε(t)), v), θ〉, ∀θ ∈ D(0, T ), ∀v ∈ H 1 0(Ω) (2.67)
〈〈f, θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 = 〈(f(t), v), θ〉, ∀θ ∈ D(0, T ), ∀v ∈ H 1 0(Ω). (2.68)
Somando (2.64) a (2.67), fazendo uso de (2.63) e (2.68) segue que:
〈〈k1εu ′′
ε + k2u ′ ε − ∆uε + F (uε), θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 = 〈〈f, θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 , ∀θ ∈ D(0, T ), ∀v ∈ H 1 0(Ω)
isto é,
k1εu ′′
ε + k2u ′ ε − ∆uε + F (uε) = f em D ′ (0, T, H −1 (Ω)) = L(D(0, T ), H −1 (Ω)).
Logo,
k1εu ′′
ε = − k2u ′ ε
∈L2 (0,T ;L2 + ∆uε
(Ω)) ∈L2 (0,T ;H−1 − F (uε)
(Ω)) ∈L2 (0,T ;L2 + f
(Ω)) ∈L2 (0,T ;L2 ∈ L
(Ω))
2 (0, T ; H −1 (Ω)).
Por conseguinte,
k1εu ′′
ε + k2u ′ ε − ∆uε + F (uε) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)).

2.2.4 Verificação dos dados iniciais
De (2.35) e da Observação 2.2.6 temos que:
Isto implica que:
T
0
T
0
uεm −→ uε fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
〈uεm(t), w(t)〉dt −→
(u ′ εm(t), w(t))dt −→
u ′ εm −→ u ′ ε fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
T
0
T
0
〈uε(t), w(t)〉dt, ∀w ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω))
(u ′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Seja ψ ∈ C 1 ([0, T ]) com ψ(0) = 1 e ψ(T ) = 0. Se v ∈ H 1 0(Ω) temos das con-
vergências acima que:
T
0
T
0
(uεm(t), ψ ′ (t)v)dt −→
(u ′ εm(t), ψ(t)v)dt −→
T
0
T
Somando as equações acima encontramos que:
T
0
=⇒
(uεm(t), ψ ′ (t)v)dt +
T
0
T
0
T
0
0
(uε(t), ψ ′ (t)v)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω)
(u ′ ε(t), ψ(t)v)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω).
(u ′ εm(t), ψ(t)v)dt −→
(uε(t), ψ ′ (t)v)dt +
T
[(uεm(t), ψ ′ (t)v) + (u ′ εm(t), ψ(t)v)]dt −→
T
Visto que (veja Proposição 1.8.10):
então T
0
0
(u ′ ε(t), ψ(t)v)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω)
[(uε(t), ψ ′ (t)v) + (u ′ ε(t), ψ(t)v)]dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω).
d
dt (uεm(t), ψ(t)v) = (u ′ εm(t), ψ(t)v) + (uεm(t), ψ ′ (t)v),
0
d
dt (uεm(t),
T
ψ(t)v)dt −→
0
d
dt (uε(t), ψ(t)v)dt
=⇒ (uεm(T ), ψ(T )v) − (uεm(0), ψ(0)v) −→ (uε(T ), ψ(T )v) − (uε(0), ψ(0)v)
=⇒ −(uεm(0), v) −→ −(uε(0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω)
=⇒ (u0m, v) −→ (uε(0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
50

Como u0m −→ u0 forte em H 1 0(Ω) acarreta que converge forte em L 2 (Ω). Então
(uom, z) −→ (u0, z), ∀z ∈ L 2 (Ω). Por unicidade do limite fraco, segue que:
(uε(0), v) = (u0, v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
E por ser H 1 0(Ω) ↩→ L 2 (Ω) com a imersão sendo contínua e densa, concluímos que:
(uε(0), v) = (u0, v), ∀v ∈ L 2 (Ω).
Logo, uε(0) = u0 no sentido de L 2 (Ω).
Para calcular k1εu ′ (0) multiplicamos a equação aproximada (2.62) por ψ e inte-
gramos por partes, obtendo:
−(u1m, v) −
T
0
( k1εu ′ εm(t), v)ψ ′ (t)dt +
+
T
0
T
0
(k2(x)u ′ εm(t), v)ψ(t)dt +
(F (uεm(t)), v)ψ(t)dt =
T
0
T
0
51
a(uεm(t), v)ψ(t)dt
(f(t), v)ψ(t)dt.
(2.69)
Como ψ, ψ ′ ∈ L 2 (0, T ) e u1m −→ u1 forte em L 2 (Ω), tomando o limite em (2.69) encon-
tramos que:
−(u1, v) −
T
0
( k1εu ′ ε(t), v)ψ ′ (t)dt +
T
0
T
E novamente por integração por partes obtemos:
−(u1, v)+( k1εu ′ ε(0), v) +
+
T
E usando (2.63) vem que:
Por densidade obtemos que:
0
T
+
a(uε(t), v)ψ(t)dt +
0
0
(k2(x)u ′ ε(t), v)ψ(t)dt +
(F (uε(t)), v)ψ(t)dt =
d
dt (k1εu ′ ε(t), v)ψ(t)dt +
T
0
T
(F (uε(t)), v)ψ(t)dt =
(u1, v) = ( k1εu ′ ε(0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
u1 = k1εu ′ ε(0) ⇒ k1εu ′ ε(0) = k1εu1.
0
T
0
T
0
a(uε(t), v)ψ(t)dt
(f(t), v)ψ(t)dt.
(k2(x)u ′ ε(t), v)ψ(t)dt
T
0
(f(t), v)ψ(t)dt.
(2.70)
Concluímos então a prova do Teorema 2.1.5.

2.3 Prova do Teorema 2.1.4
tal que:
(i)
Sabemos que existe uma subsequência de (uεm) a qual ainda denotamos por (uεm)
Observações:
uεm −→ uε fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
u ′ εm −→ u ′ ε fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))
k2u ′ εm −→ k2u ′ ε fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
k1εu ′ εm −→ k1εu ′ ε fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω))
F (uεm) −→ F (uε) fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
k1εu ′ εm −→ k1εu ′ ε fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) = [L 1 (0, T ; L 2 (Ω))] ′
⇐⇒ 〈 k1εu ′ εm, w〉 −→ 〈 k1εu ′ ε, w〉, ∀w ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)).
Pelo Teorema de Banach-Steinhaus temos que:
k1εu ′ ε L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ lim inf
m→∞ k1εu ′ εm L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ≤
em que C10 é uma constante que independe de ε.
52
C10, (2.71)
(ii) L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) é reflexivo. Isto implica que convergência fraca e fraca* coincidem.
Logo,
isto é,
(2.29)
k2u ′ εm −→ k2u ′ ε fraco* em [L 2 (0, T ; L 2 (Ω))] ′ = [L 2 (0, T ; L 2 (Ω))],
〈 k2u ′ εm, w〉 −→ 〈 k2u ′ ε, w〉, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Pelo Teorema de Banach-Steinhaus temos que:
k2u ′ ε L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ lim inf
m→∞ k2u ′ εm L 2 (0,T ;L 2 (Ω)) ≤
em que C11 é uma constante que independe de ε.
(iii) De forma análoga a (i) encontramos que:
onde C12 é uma constante que independe de ε.
C11, (2.72)
(2.29)
uε L ∞ (0,T ;H 1 0 (Ω)) ≤ C12, (2.73)

(iv) Semelhante a (ii) temos que que u ′ εm ⇀ u ′ ε em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)), o que implica em
convergência fraca*, já que L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) é reflexivo. Aplicando o Teorema
de Banach-Steinhaus e usando a Afirmação 2.2.3 encontramos que:
u ′ ε L 2p
p+1 (0,T ;L 2p
p+1 (Ω)) ≤ lim inf
m→∞ u′ εm L 2p
p+1 (0,T ;L 2p
p+1 (Ω)) < C13, (2.74)
onde C13 é uma constante que independe de ε.
(v) De forma análoga ao que foi feito na Afirmação 2.2.3 usando (ii) podemos encontrar
que:
u ′ ε r L r (Q) =
T
onde r = 2p
p+1 e C14 é uma constante que independe de ε.
De (2.71), (2.72) e (2.73) segue que:
1
2 | k1ε(x)uε(t) ′ | 2
L 2 (Ω) +
T
em que C15 é uma constante que independe de ε.
0
0
Ω
53
|u ′ ε(t)| r dxds ≤ C14, (2.75)
| k2(x)uε(t) ′ | 2
L2 1
(Ω) dt +
2 uεH1 0 (Ω) ≤ C15, (2.76)
Estamos considerando ε arbitrário tal que 0 < ε < 1, desta forma tome ε = 1
l .
Com isto quando fizermos ε → 0 significa que estamos passando o limite l → ∞ na
sequência ( 1
l )l∈N.
Procedendo de forma semelhante ao que foi feito nas seções anteriores as desigual-
dades (2.76) e (2.74) nos permitem concluir que existe uma subsequência de (uε) (estamos
considerando ε = 1/l)a qual ainda denotamos de (uε) tal que:
uε −→ u fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.77)
u ′ ε −→ u ′
k2u ′ ε −→ k2u ′
k1εu ′ ε −→ k1u ′
fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) (2.78)
fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.79)
fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) (2.80)
F (uε) −→ F (u) fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.81)
Observação 2.3.1. As convergências (2.77)- (2.79) implicam que as condições (2.7),(2.8)
e parte da condição (2.9) do Teorema 2.1.4 são satisfeitas. Além disso, como por hipótese
1
k2 ∈ L∞ (Ω) conseguimos extrair da convergência (2.79) que u ′ ε −→ u ′ fraco em L2 (0, T ; L2 (Ω)),
os argumentos são semelhantes aos aplicados na Observação 2.2.6.
A única convergência que necessita de uma explicação é (2.80). De fato, por
definição de convergência fraca de (2.78) temos que:
〈u ′ ε, w〉 −→ 〈u ′ , w〉, ∀w ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)).

Inicialmente mostraremos que:
k1εu ′ ε −→ k1u ′ fraco em L 2p
p+1 (Q). (2.82)
Com efeito, dado w ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)) temos que:
|〈 k1εu ′ ε, w〉 − 〈 k1u ′ , w〉| ≤ |〈 k1εu ′ ε, w〉 − 〈 k1u ′ ε, w〉|
(i)
Vejamos que:
(i)
|〈 k1εu ′ ε, w〉−〈 k1u ′ ε, w〉| = |〈 k1εu ′ ε − k1u ′ ε, w〉|
≤ k1εu ′ ε − k1u ′ ε L 2p
p+1 (Q) w L 2p
p−1 (Q)
= w
≤ w
T
0 Ω
T
0
Ω
54
+ |〈 k1u ′ ε, w〉 − 〈 k1u ′ , w〉|
(ii)
| k1ε(x) − k1(x)| 2p
p+1 |u ′ ε(t)| 2p
p+1 dxdt
k1ε − k1
≤ w k1ε − k1
≤ w k1ε − k1
≤
(2.74)
C13w k1ε − k1
2p
p+1
L∞ (Ω) |u′ ε(t)| 2p
p+1 dxdt
2p
p+1
L∞ T
(Ω) |u
0 Ω
′ ε(t)| 2p
p+1 dxdt
2p
p+1
L∞ (Ω) |u′ 2p
p+1
ε|
L 2p
p+1 (Q)
2p
p+1
L∞ (Ω) −−→
ε→0 0
Vejamos por que √ k1ε − √ k2L ∞ (Ω) −−→
ε→0 0. Dado x ∈ Ω temos que:
(*)
Logo,
| k1ε(x) − k1(x)| = | k1(x) + ε − k1(x)| = k1(x) + ε − k1(x)
≤ k1(x) + ε − k1(x) =
(∗)
√ ε
√ a + b ≤ √ a + √ b
=⇒ √ a = √ a − b + b ≤ √ a − b + √ b
∴ √ a − √ b ≤ √ a − b
k1ε − k1L ∞ (Ω) ≤ √ ε −−→
ε→0 0
(ii) Por outro lado, é fácil ver que √ k1u ′ ε ⇀ √ k1u ′ em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)), mutatis
mutandis no início da seção (2.2.3) encontramos este resultado.

Desta forma, passando ao limite ε → 0 temos que:
Logo,
|〈 k1εu ′ ε, w〉 − 〈 k1u ′ , w〉| −→ 0.
k1εu ′ ε −→ k1u ′ fraco em L 2p
p+1 (Q).
De (2.76) temos que √ k1εu ′ ε é limitada em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) que é o dual de
L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), que é Banach separável. Consequentemente existe uma subsequência
de √ k1εu ′ ε a qual ainda denotamos por √ k1εu ′ ε tal que:
ou seja,
Em particular, ( 2p
p−1
Isto significa que
implica que
k1εu ′ ε −→ γ fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)),
〈 k1εu ′ ε, w〉 −→ 〈γ, w〉, ∀w ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)).
> 2)
〈 k1εu ′ ε, w〉 −→ 〈γ, w〉, ∀w ∈ L 2p
p−1 (0, T ; L 2p
p−1 (Ω)).
k1εu ′ ε −→ γ fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))
Portanto de (2.82), por unicidade do limite fraco, concluimos γ = √ k1u ′ , o que
k1εu ′ ε −→ k1u ′ fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)).
Uma outra convergência que será importante é a seguinte:
Afirmação 2.3.2.
k1εu ′ ε −→ k1u ′ fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.83)
Demonstração: Com efeito dado w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) temos que:
|〈k1εu ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉| ≤ |〈k1εu ′ ε, w〉 − 〈
k1ε k1u ′ ε, w〉| + |〈
k1ε k1u ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉|
= |〈k1εu ′ ε −
k1ε k1u ′ ε, w〉| + |〈
k1ε k1u ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉|
= |〈(k1ε −
k1ε k1)u ′ ε, w〉| + |〈
k1ε k1u ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉|
≤ (k1ε −
k1ε k1)u ′ εL2 (Q)wL2 (Q) + |〈
(i)
k1ε k1u ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉|
(ii)
Note que:
55

(i)
(k1ε −
k1ε k1)u ′ ε 2
L2 (Q) =
T
|(k1ε(x) − k1ε(x) k1(x))u ′ ε(t)| 2 dxdt
0 Ω
≤ k1ε −
k1ε k1L∞ T
(Ω) |u
0 Ω
′ ε(t)| 2 dxdt
= k1ε −
k1ε k1L∞ (Ω)u ′ εL2 (Q)
≤ k1ε −
(∗)
k1ε k1L∞ (Ω)M
(*) De (2.75) (u ′ ε) é limitada em ̷L 2p
p+1 (Q) ↩→ L 2 (Q), ( a imersão é válida porque
2p
p+1 > 2) assim (u′ ε) é limitada em ̷L 2 (Q).
Dado x ∈ Ω temos que:
Logo,
(ii) Observe que:
|k1ε(x) − k1ε(x) k1(x)| = |k1(x) + ε − k1(x) + ε k1(x)|
E além disso,
=⇒ k1ε − k1ε
≤ |k1(x) − k1 + ε k1(x)| + ε
= | k1(x) k1(x) − k1(x) + ε k1(x)| + ε
= k1(x)| k1(x) − k1(x) + ε| + ε
=
√
k1(x)+ε> √
k1(x)(
k1(x)
k1(x) + ε − k1(x)) + ε
≤ k1(x) √ ε + ε
√
ε + ε
≤ k1L∞ (Ω)
k1L∞ (Ω) ≤ k1L∞ (Ω)
(k1ε −
k1ε k1)u ′ ε 2
L2 (Q) −−→
ε→0 0.
〈
k1ε k1u ′ ε, w〉 =
=
T
0
T
〈k1u ′ , w〉 = 〈
k1 k1u ′ , w〉| =
=
T
0
0
√ ε + ε −−→
ε→0 0.
( k1ε(x) k1(x)u ′ ε(t), w(t))dt
( k1ε(x)u ′ ε(x), k1(x)w(t))dt
= 〈 k1εu ′ ε, k1w〉.
T
( k1(x)u ′ (t), k1(x)w(t))dt
= 〈 k1u ′ (t), k1w(t)〉.
0
( k1(x) k1(x)u ′ (t), w(t))dt =
56

Desta forma,
|〈
k1ε k1u ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉| = |〈 k1εu ′ ε, k1w〉 − 〈 k1u ′ , k1w〉|.
Como √ k1w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) ↩→ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e de (2.80) √ k1εu ′ ε −→ √ k1u ′
fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)). Então:
Portando de (i) e (ii), concluimos que:
O que pela arbitrariedade de w significa que
Observação:
|〈
k1ε k1u ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉| −−−→
ε→∞ 0.
|〈k1εu ′ ε, w〉 − 〈k1u ′ , w〉| −−−→
ε→∞ 0.
k1εu ′ ε −→ k1u ′ fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
• De (2.83) temos que k1εu ′ ε −→ k1u ′ fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), isto significa que:
T
0
(k1ε(x)u ′ ε(t), w(t))dt −→
T
0
(k1(x)u ′ (x), w)dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Consideremos w(t) = θ(t)v, θ ∈ D(0, T ) e v ∈ H 1 0(Ω), daí:
T
0
(k1ε(x)u ′ ε(t), v)θ(t)dt −→
T
0
(k1(x)u ′ (x), v)θ(t)dt, ∀θ ∈ D(0, T ), ∀v ∈ H 1 0(Ω)
=⇒ (k1ε(x)u ′ ε(t), v) −→ (k1(x)u ′ (t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
Como o operador derivação em D ′ (0, T ) é contínuo então:
d
dt (k1ε(x)u ′ ε(t), v) −→ d
dt (k1(x)u ′ (t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
• De (2.79) temos que √ k2u ′ ε −→ √ k2u ′ fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). Procedendo de
forma análoga acima temos que:
( k2(x)u ′ ε(t), v) −→ ( k2(x)u ′ (t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
• De (2.77) temos que uε −→ u fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)). Procedendo de forma
análoga ao que foi feito para encontrar (2.55) encontramos que:
a(uε(t), v) −→ a(u(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
57

• Da mesma forma que fizemos para encontrar (2.61) concluímos que:
(F (uε(t)), v) −→ (F (u(t)), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
Do Teorema (2.1.5) (mais precisamente de (2.63)) já temos que:
d
dt (k1ε(x)u ′ ε(t), v) + (k2(x)u ′ ε(t), v) + a(uε(t), v) + (F (uε(t)), v)
= (f(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
Logo, da observação acima passando ao limite ε → 0 encontramos que:
d
dt (k1(x)u ′ (t), v) + (k2(x)u ′ (t), v) + a(u(t), v) + (F (u(t)), v)
= (f(t), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω) em D ′ (0, T ).
De forma puramente análoga ao que foi feito no Teorma 2.1.5 mostramos que
58
(2.84)
k1(x)u ′′ + k2(x)u ′ − ∆u + F (u) = f em D ′ (0, T ; H −1 (Ω)). (2.85)
Além disso, vemos também que k1u ′′ ∈ L 2 (0, T ; H −1 (Ω)), e
k1(x)u ′′ + k2(x)u ′ − ∆u + F (u) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)).
2.3.1 Verificação dos dados iniciais
que u(0) = u0.
Sabemos que:
uε −→ u fraco* emL ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
u ′ ε −→ u ′ fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
Mutatis mutandis na verificação dos dados iniciais do Teorema 2.1.5 encontramos
Vamos verificar que:
k1u ′ (0) = k1u0.
Na verificação dos dados iniciais do Teorema 2.1.5 encontramos em (2.70) que:
−(u1, v) −
T
0
( k1εu ′ ε(t), v)ψ ′ (t)dt +
T
0
T
Para ψ ∈ C 1 ([0, T ]; R) tal que ψ(0) = 1 e ψ(T ) = 0.
+
0
(k2(x)u ′ ε(t), v)ψ(t)dt +
(F (uε(t)), v)ψ(t)dt =
T
0
T
0
a(uε(t), v)ψ(t)dt
(f(t), v)ψ(t)dt.
(2.86)

Usando as convergências (2.77)-(2.81) e fato de que ψ, ψ ′ ∈ L 2 (0, T ), podemos
passar o limite ε → 0 em (2.86) resultando que:
−(u1, v) −
T
0
( k1u ′ (t), v)ψ ′ (t)dt +
+
T
0
T
E novamente por integração por partes obtemos:
−(u1, v)+( k1u ′ (0), v) +
+
T
0
T
a(u(t), v)ψ(t)dt +
Logo, de (2.84) segue que:
Por densidade obtemos que:
0
0
(k2(x)u ′ (t), v)ψ(t)dt +
(F (u(t)), v)ψ(t)dt =
d
dt (k1u ′ (t), v)ψ(t)dt +
T
0
T
0
T
0
T
(F (u(t)), v)ψ(t)dt =
(u1, v) = ( k1u ′ (0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
u1 = k1u ′ (0)
0
a(u(t), v)ψ(t)dt
(f(t), v)ψ(t)dt.
(k2(x)u ′ (t), v)ψ(t)dt
T
0
(f(t), v)ψ(t)dt.
59
(2.87)
Portanto, k1u ′ (0) = √ k1u1 no sentido de L 2 (Ω), o que finaliza a demonstração
do Teorema 2.1.4.
2.4 Desigualdade da energia
Teorema 2.4.1. Seja u : Q → R solução do Teorema 2.1.4 então vale a seguinte desi-
gualdade:
1
2
k1u ′
(s)
2
+ 1
t
2 0
k2(x)u ′
(s) 2
ds + 1
2 u(t)2
+ G(u(t))dx
Ω
≤ 1
2 |u1| 2 + 1
2 u0 2
+ G(u0(x))dx + |f| 2(p+1) .
L p−1 (Q)
Demonstração: Nas Seção Estimativas encontramos em (2.23) que:
1
2
k1εu ′
εm(s)
2
+
=
t
0
t
0
Ω
k2(x)u ′
εm(t) 2
ds + 1
2 uεm(t) 2
+ G(uεm(t))dx
Ω
(f(s), u ′ εm(s))ds + 1
2 |u1m| 2 + 1
2 u0m 2
+ G(u0m)dx.
Ω
(2.88)

t
Como t < T então:
(f(s), u ′ T
εm(s))ds ≤ (f(s), u
0
′ T
εm(s))ds ≤
0
f(x, s)u
Ω
′ T
εm(x, s))dx ds
≤ |f(x, s)||u ′ εm(x, s))|dx ds
0
(∗) 2(p+1)
p−1
> 2p
p−1
≤
0 Ω
T
0
Ω
|f(x, s)| 2p
p−1 dx ds
p−1
2p T
0
= f L 2p
p−1 (Q) u ′ εm L 2p
p+1 (Q) ≤
≤ Cf 2(p+1) .
L p−1 (Q)
(Af.2.2.3)
⇒ L 2(p+1)
p−1 (Q) ↩→ L 2p
p+1 (Q).
Assim, de (2.88) vem que:
1
2
k1εu ′
εm(t)
2
+ 1
2
(∗)
t
0
k2(x)u ′
εm(s) 2
ds + 1
2 uεm(t) 2
+
≤ 1
2 |u1m| 2 + 1
2 u0m 2
+
Ω
Ω
|u ′ εm(x, s))| 2p
p+1 dx ds
p+1
2p
Cf 2(p+1) u
L p−1 (Q)
′ 2p
εm
L p+1 (Q)
Ω
G(uεm(t))dx
G(u0m)dx + Cf 2(p+1) .
L p−1 (Q)
Multiplicando por θ ∈ C 0 (0, T ), θ ≥ 0 e integrando de 0 a T temos que:
T
1
2 0
k1εu ′
εm(t) 2
θ(t)dt + 1
T t
2 0 0
k1u ′
εm(s) 2
ds θ(t)dt
+ 1
T
uεm(t)
2 0
2 T
θ(t)dt + G(uεm(t))dx θ(t)dt
0 Ω
≤ 1
T
|u1m|
2
2 θ(t)dt + 1
T
u0m
2
2 T
θ(t)dt +
+
0
0
T
Cf 2(p+1) θ(t)dt.
0 L p−1 (Q)
0
G(u0m(x))dx
Ω
θ(t)dt
60
(2.89)
(2.90)
Agora vamos encontrar uma cota inferior para cada parcela do primeiro membro
da desigualdade (2.90):
(i)
T
1
2 0
k1u ′
(t)
De fato, sabemos que:
2
θ(t)dt ≤ lim inf
ε→∞
T
1
lim inf
m→∞ 2 0
k1εu ′
εm(t)
k1εu ′
εm −−−→ k1εu
m→∞
′ ε fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω))
k1εu ′
ε −−−→ k1u
ε→∞
′ fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)).
2
θ(t)dt .

Como θ ∈ C 0 (0, T ) e θ ≥ 0 segue que:
√ θ k1εu ′ εm −−−→
m→∞
√ θ k1εu ′ ε fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)).
Assim, pelo Teorema de Banach-Steinhauss temos que:
Também é válido que:
Logo,
| √ θ k1εu ′ ε| L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ lim inf
m→∞ |√ θ k1εu ′ εm| L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)). (2.91)
√ θ k1εu ′ ε −−−→
ε→∞
| √ θ k1u ′ | L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ lim inf
ε→0
Portanto, de (2.91) e (2.92) segue que:
| √ θ k1u ′ | L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ lim inf
ε→0
Da equação acima segue que
√ θ k1u ′ fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)).
≤ lim inf
ε→0
61
| √ θ k1εu ′ ε| L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)). (2.92)
| √ θ k1εu ′ ε| L∞ (0,T ;L2 (Ω))
lim inf
m→∞ |√θ k1εu ′ εm| L∞ (0,T ;L2 (Ω))
(2.93)
| √ θ k1εu ′ εm(t)| ≥ | √ θ k1u ′ | L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) = C0, q.s em (0, T ). (2.94)
De fato, suponhamos por absurdo que exista t0 ∈ (0, T ) tal que
=⇒ lim inf
ε→0
O que de (2.93) é um absurdo.
Logo, de (2.94) segue que:
| √ θ k1εu ′ εm(t0)| < C0
=⇒ | √ θ k1εu ′ εm| L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)) < C0
lim inf
m→∞ |√ θ k1εu ′ εm| L ∞ (0,T ;L 2 (Ω))
| √ θ k1u ′ (t)| ≤ | √ θ k1εu ′ εm(t)|.
Integrando de 0 a T e usando o Lema de Fatou, vem que:
1
2
T
0
k1u ′
(t)
O que verifica (i).
2
θ(t)dt ≤ lim inf
ε→∞
1
lim inf
m→∞ 2
T
0
< C0.
k1εu ′
εm(t)
2
θ(t)dt .

(ii)
T t
0
0
k2u ′
(s)
De (2.53) temos que √ k2u ′ εm −−−→
m→∞
que:
T
0
2
( k2u ′ εm(t), w(t))dt −−−→
m→∞
T
ds θ(t)dt ≤ lim inf
ε→0
lim inf
m→∞
0
T
0
t
0
k2u ′
εm(s)
2
62
ds. θ(t)dt
√ k2u ′ ε fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). Isto significa
( k2u ′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Em particular, para que z = χ[0,t]w, t < T e w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) temos que:
T
(χ[0,t]
0
k2u ′ εm(t), w(t))dt −−−→
∴ χ[0,t]
m→∞
k2u ′ εm −−−→
T
m→∞ χ[0,t]
(χ[0,t]
0
Assim pelo Teorema de Banach-Steinhaus segue que:
∴
k2u ′ ε(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
k2u ′ ε fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
|χ[0,t] k2u ′ ε| L2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ lim inf
m→∞ |χ[0,t]
k2u ′ εm| L2 (0,T ;L2 (Ω))
t
t
0
| k2u ′ ε(s)| 2 ds ≤ lim inf
m→∞
0
| k2u ′ εm(s)| 2 ds, ∀t ∈ [0, T ].
Como √ k2u ′ ε −→ √ k2u ′ fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (veja 2.79) então pelos mesmos
argumentos acima temos que:
Logo,
t
0
t
0
| k2u ′ (s)| 2 ds ≤ lim inf
ε→0
| k2u ′ (t)|dt ≤ lim inf
ε→0
≤ lim inf
ε→0
t
t
0
| k2u ′ ε(s)| 2 ds.
|
0
k2u ′ ε(t)|dt
t
lim inf |
m→∞
k2u ′ εm(t)| 2
dt .
Pelo Lema de Fatou vem que:
T t
|
0 0
k2u ′
T t
(t)|dt θ(t)dt ≤ lim inf lim inf |
ε→0 m→∞
0 0
k2u ′ εm(t)| 2
dt θ(t)dt.
(iii) De forma análoga a (i) mostramos que:
T
0
u(t) 2 θ(t)dt ≤ lim inf
ε→0
lim inf
m→∞
0
T
0
uεm(t) 2 θ(t)dt.

(iv)
T
0
G(u(t))dx
Ω
θ(t)dt ≤ lim inf
ε→0
lim inf
m→∞
T
0
G(uεm(t))dx
Ω
θ(t)dt.
De fato, de (2.56) e (2.59) temos que uεm −→ uε forte em L 2 (Q), e q.s. em Q,
consequentemente pela continuidade de G acarreta que G(uεm) −→ G(uε) q. s. em
Q. Como |G(uεm(x, t))| ≤ C|uεm(x, t)| 2 (veja (2.24)) então :
|G(uεm(x, t)|dx dt ≤ C |uεm(x, t)| 2 dx dt
Q
Portanto, por uma versão do Teorema da Convergência Dominada segue que:
T
T
|G(uεm(x, t)|dx dt −→ |G(uε(x, t)|dx dt
Note que:
Pois,
=⇒
T
0
0
Ω
Ω
θ(t)|G(uεm(x, t)|dx dt −→
Q
0 Ω
T
0
Ω
θ(t)|G(uε(x, t)|dx dt.
63
G ≥ 0. (2.95)
– ∀a ≥ 0, temos que F (s) ≥ 0, ∀s ∈ [0, a] ⇒ a
F (s)ds ≥ 0 ⇒ G(a) ≥ 0
0
– ∀a < 0, temos que F (s) < 0, ∀s ∈ [a, 0) ⇒ 0
a F (s)ds < 0 ⇒ − a
F (s)ds <
0
0 ⇒ a
0 F (s)ds > 0 ⇒ G(a) > 0
Logo, G(s) ≥ 0, ∀s ∈ R.
Logo, usando o Lema de Fatou encontramos que:
T
T
θ(t)G(uε(x, t)dx dt = |θ(t)G(uε(x, t)|dx dt
0 Ω
0 Ω
T
≤ lim inf θ(t)|G(uεm(x, t)|dx dt
m→∞
0 Ω
T
≤ lim inf
m→∞
θ(t)G(uεm(x, t)dx dt.
Usando as convergências (2.77) e (2.78) procedendo de forma análoga a (2.56) a
(2.59) encontramos que uε −→ u forte em L 2 (Q), e q.s. em Q. Então de acordo
com o exposto podemos afirmar que:
T
θ(t)G(u(x, t)dx dt ≤ lim inf
ε→∞
Portanto,
T
0
Ω
0
Ω
θ(t)G(u(x, t)dx dt ≤ lim inf
ε→∞
0
T
0
lim inf
m→∞
Ω
Ω
T
0
θ(t)G(uε(x, t)dx dt.
Ω
θ(t)G(uεm(x, t)dx dt.

(i)
(ii)
(iii)
Façamos uma análise de cada parcela do segundo membro da desigualdade (2.90):
lim inf
ε→∞
lim inf
m→∞
1
2
pois u1m −→ u1 forte em L 2 (Ω).
lim inf
ε→∞
lim inf
m→∞
pois u0m −→ u0 forte em H 1 0(Ω).
lim inf
ε→∞
lim inf
m→∞
T
0
T
0
|u1m| 2 θ(t)dt = 1
2
T
0
|u1| 2 θ(t)dt,
T
1
u0m
2 0
2 θ(t)dt = 1
T
u0
2 0
2 θ(t)dt,
G(u0m(x))dx
Ω
θ(t)dt =
T
0
G(u0(x))dx
Ω
θ(t)dt.
De fato, sendo que u0m −→ u0 forte em H 1 0(Ω) consequentemente em L 2 (Ω), existem
uma subsequência de (u0m) a qual ainda denotamos por (u0m) tal que u0m −→ u0
q.s. em Ω e uma função h ∈ L 2 (Ω) tal que |u0m(x)| ≤ h(x). Assim pela continuidade
de G segue que G(u0m) −→ G(u0) q.s. em Ω. Além disso, temos que |G(u0m(x))| ≤
|u0m(x)| 2 ≤ |h(x)| 2 . Logo, pelo Teorema da Convergência Dominada segue que (iii)
é válido.
Portanto, passando o lim inf em m e depois em ε em (2.90) encontramos que:
T
1
2 0
k2u ′
(t) 2
θ(t)dt + 1
T
2
+ 1
T
u(t)
2
2 θ(t)dt +
≤ 1
2
+
0
0
T
|u1| 2 θ(t)dt + 1
2
0
T
0
T
0
0
T
C|f| 2(p+1) θ(t)dt.
L p−1 (Q)
t
Como θ ∈ C 0 ([0, T ]) é arbitrário então:
t
1
2
k2u ′
(t) 2
+ 1
2 0
k1u ′
(s)
≤ 1
2 |u1| 2 + 1
2 u0 2
+
Ω
0
k1u ′
(s)
2
G(u0(t))dx
Ω
T
u0 2 θ(t)dt +
2
ds θ(t)dt
0
θ(t)dt
G(u0(x))dx
Ω
ds + 1
2 u(t)2
+ G(u(t))dx
Ω
G(u0(x))dx + |f| 2(p+1) .
L p−1 (Q)
θ(t)dt
Como queríamos demonstrar.
64

2.5 Prova do Teorema 2.1.1
Primeiro aproximamos u0 por uma sequência de funções (u0r)r∈N de H 1 0(Ω), (u0r)
limitada. De fato, para cada r ∈ N definimos a função βr : R → R dada por:
⎧
⎪⎨
s, se − r ≤ s ≤ r
βr(s) = r, se s > r
⎪⎩
−r, se s < −r
Definamos u0r = βr(u0). Note que:
u0r − u0 2
H1
= ∇(u0r − u0) · ∇(u0r − u0)dx =
0
Ω
Ω j=1
m
2 m
∂
∂u0r
=
=
=
=
j=1
m
j=1
m
j=1
m
j=1
Consideremos,
grj(x) =
Ω
Ω
Ω
Ω
(u0r − u0)(x) dx =
∂xj
∂βr(u0)
(x) −
∂xj
∂u0
2 (x) dx
∂xj
χ[−r,r]
β ′ r(u0(x)) ∂u0
∂xj
χ[−r,r](u0(x)) ∂u0
∂xj
∂u0
∂xj
j=1
(x) − ∂u0
(x)
∂xj
(x) − ∂u0
2 (x) =
∂xj
2
2
m
∂
(u0r − u0)(x) dx
∂xj
(x) −
∂xj
∂u0
2 (x) dx
∂xj
Ω
dx
(x) − ∂u0
(x)
∂xj
2
dx.
⎧
⎨0,
se u0(x) ∈ [−r, r]
⎩
∂u0
∂xj (x)
∂u0
Desta forma, temos que gr(x) −→ 0 q.s. em Ω e |gr(x)| ≤ 2 ∂xj (x) . Como u0 ∈
H1
∂u0
0(Ω) então ∂xj (x)
2 é integrável. Consequentemente, pelo Teorema da Convergência
Dominada segue que
grj(x)dx → 0 ⇒ u0r − u0
Ω
2
H1 → 0.
0
Além disso, das desigualdades acima é fácil ver que u0r ≤ u0.
2
, c.c.
Como D(Ω) é denso em H 1 0(Ω) então existe uma sequência (ϕ0µr) em D(Ω) tal
que ϕ0µr −→ u0r forte em H 1 0(Ω).
Sendo F : R → R contínua com sF (s) ≥ 0, ∀s ∈ R, de acordo com o Teorema
1.8.12 existe uma sequência de funções lipschitz (Fk)k∈N tal que para cada k, sFk(s) ≥ 0,
∀s ∈ R, Fk é derivável exceto em um número finito de pontos e também Fk −→ F
uniformemente nos subconjuntos limitados de R.
2
65

isto é,
Representamos por G(s) e Gk(s) as primitivas de F (s) e Fk(s) respectivamente,
G(s) =
Gk(s) =
s
0
s
0
F (τ)dτ.
Fk(τ)dτ.
Nestas condições, como já foi visto anteriormente temos que:
Ω
Gk(0) = Fk(0) = 0, ∀k ∈ N (2.96)
|Gk(s)| ≤ Ck|s| 2
66
(2.97)
Gk(s) ≥ 0, ∀s ∈ N, ∀k ∈ N (2.98)
Observe que Gk(ϕ0µr) ∈ L1 (Ω), pois
|Gk(ϕ0µr(x))|dx ≤ Ck |ϕ0µr(x)| 2 dx = |ϕ0µr| 2
L2 (Ω)
Ω
≤
H 1 0 (Ω)↩→L2 (Ω)
Cϕ0µr.
Portanto, para cada µ, r e k temos que ϕ0µr e Fk satisfazem as condições do
Teorema 2.1.4. Logo existe uma função uµrk : Q → R satisfazendo:
uµrk ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.99)
u ′ µrk
∈ L 2p
p+1 (Q) (2.100)
k1u ′ µrk ∈ L2 (0, T ; L 2 (Ω)), k2u ′ µrk ∈ L2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.101)
k1(x)u ′′ µrk (t) + k2(x)u ′ µrk (t) − ∆uµrk + Fk(uµrk) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω))(2.102)
uµrk(0) = ϕ0µr
k2(x)u ′ µrk (0) = k2(x)u1
E pelo Teorema da Desigualdade da energia também é válido que:
1
2 |k1u ′ µrk| 2 + 1
t
|
2 0
k2u ′ µrk| 2 dt + 1
2 uµrk 2
+ Gk(uµrk(t))dx
Ω
≤ 1
2 |u1| 2
+ ϕ0µr +
Afirmação 2.5.1.
Gk(ϕ0µr(x))dx < C,
Ω
C constante independente de µ, r e k.
Ω
Gk(ϕ0µr(x))dx + |f| 2(p+1)
L p−1 (Q)
(2.103)
(2.104)
(2.105)
Demonstração: Sendo que ϕ0µr são funções contínuas com suporte compacto, segue que

ɛ
|ϕ0µr(x)| < Cµr, ∀x ∈ Ω. Dado , ɛ > 0, temos que:
2Cµr
ϕ0µr(x)
ϕ0µr(x)
|Gk(ϕ0µr(x)) − G(ϕ0µr(x))| = Fk(τ)dτ − F (τ)dτ
0
0
ϕ0µr(x)
= [Fk(τ) − F (τ)]dτ
≤
ϕ0µr(x)
|Fk(τ) − F (τ)|dτ
≤
≤
(∗)
0
|ϕ0µr(x)|
0
Cµr
0
< ɛ, ∀k ≫ 0.
|Fk(τ) − F (τ)|dτ ≤
ɛ
2Cµr
dτ, ∀k ≫ 0
(*) Fk −→ F uniformemente sobre limitados de R.
Logo,
0
Cµr
0
|Fk(τ) − F (τ)|dτ
Gk(ϕ0µr(x)) −−−→
k→∞ G(ϕ0µr(x)), ∀x ∈ Ω. (2.106)
Além disso, como G ′ k (s) = Fk(s) e G ′ (s) = F (s) então
G ′ k(ϕ0µr(x)) = Fk(ϕ0µr(x)) −−−→
k→∞ F (ϕ0µr(x)) = G ′ (ϕ0µr(x))
uniformemente em Ω, pois |ϕ0µr(x)| < Cµr, ∀x ∈ Ω.
Logo,
67
G ′ k(ϕ0µr) −−−→
k→∞ G′ (ϕ0µr). (2.107)
De (2.106) e (2.107) pelo Teorema 1.8.13 segue que:
Por conseguinte, como Ω é limitado
Gk(ϕ0µr) −−−→
k→∞ G(ϕ0µr) uniformemente em Ω. (2.108)
Ω
Gk(ϕ0µr(x))dx −−−→
k→∞
Agora provaremos que:
G(ϕ0µr(x))dx −−−→
µ→∞
Ω
Ω
Ω
G(ϕ0µr(x))dx. (2.109)
G(u0r(x))dx. (2.110)
Com efeito, como ϕ0µr −−−→
µ→∞ u0r em H 1 0(Ω) logo em L 2 (Ω) então existe uma
subsequência de (ϕ0µr)µ∈N a qual ainda denotamos por (ϕ0µr)µ∈N tal que ϕ0µr −−−→
µ→∞
u0r q.s. em Ω e |ϕ0µr(x)| ≤ hr(x), com hr ∈ L 2 (Ω).
Assim, por continuidade de G
G(ϕ0µr) −−−→
µ→∞ G(u0r) q.s. em Ω

De (2.108) temos que existe k0 ∈ N tal que:
|Gk(ϕ0µr(x)) − G(ϕ0µr(x))| < 1, ∀x ∈ Ω, ∀k ≥ k0
Isto implica que:
|G(ϕ0µr(x))| ≤ |Gk0(ϕ0µr(x))| + |Gk0(ϕ0µr(x)) − G(ϕ0µr(x))| ≤
≤
≤
ϕ0µr(x)
0
|ϕ0µr(x)|
0
≤ Ck0|hr(x)| 2 + 1
∈L 1 (Ω)
|Fk0(s)|ds + 1 ≤
|ϕ0µr(x)|
Ck0|s|ds + 1 ≤ Ck0|ϕ0µr(x)| 2 + 1
0
|Fk0(s)|ds + 1
ϕ0µr(x)
Logo, pelo Teorema da Convergência Dominada encontramos (2.110).
Vejamos agora que:
Ω
G(u0r(x))dx −−−→
r→∞
Ω
0
Fk0(s)ds
+ 1
68
G(u0(x))dx. (2.111)
Como u0r −−−→
r→∞ u0 forte em H 1 0(Ω), consequentemente em L 2 (Ω), então existe
uma subsequência de (u0r)r∈N a qual por simpliciadade de notação ainda denotamos por
(u0r)r∈N, tal que u0r −→ u0 q.s. em Ω. O que pela continuidade de G acarreta que:
De acordo com a definição de (u0r)r temos que:
Observe que:
G(u0r(x)) =
• Se |u0(x)| ≤ r então
• Se r < u0(x) então
u0r(x)
0
G(u0r) −→ G(u0), q.s. em Ω. (2.112)
⎧
u0(x)
⎪⎨
F (s)ds, se |u0(x)| ≤ r
0
r
F (s)ds =
0
⎪⎩
F (s)ds, se u0(x) > r
−r
0 F (s)ds, se u0(x) < −r
r
0
G(u0r(x)) = G(u0(x)).
F (s)ds <
u0(x)
0
F (s)ds,
∴ G(u0r(x)) < G(u0(x)).

• Se u0(x) < −r < 0 então
=⇒
−r
u0(x)
0
−r
F (s)ds <
0
u0(x)
F (s)ds =
−r
u0(x)
F (s)ds +
0
−r
F (s)ds
−r
F (s)ds > 0 =⇒ − F (s)ds > 0 =⇒ −G(−r) > 0
0
∴ G(−r) < 0.
Mas, G ≥ 0 (encontramos este resultado em (2.95). Portanto,
0 ≤ G(−r) < 0 =⇒ G(u0r(x)) = G(−r) = 0 ≤ G(u0(x)).
Desta forma, das observações acima segue que:
|G(u0r(x))| = G(u0r(x)) ≤ G(u0(x)), ∀x ∈ Ω (2.113)
Como por hipótese G(u0) ∈ L 1 (Ω), então de (2.112) e (2.113) de acordo com o
Teorema da Convergência Dominada concluímos que:
G(u0r(x))dx −−−→ G(u0(x))dx.
r→∞
Como queríamos mostrar.
Ω
Portanto de (2.109), (2.110) e (2.111) segue que:
Gk(ϕ0µr(x))dx −−−−−→ G(u0(x))dx
Ω
r,µ,k→∞
Ω
=⇒ Gk(ϕ0µr(x))dx < C,
Ω
onde C é uma constante que independente de µ, r e k, como queríamos demonstrar.
Sabemos que ϕ0µr −−−→
µ→∞ u0r forte em H 1 0(Ω), e que (u0r)r é limitada. Logo,
ϕ0µr < C, C constante independente de µ e r.
Por conseguinte, de (2.105), da Afirmação 2.5.1 e do paragráfo acima vem que:
1
2 | k1u ′ µrk(t)| 2 + 1
2
t
0
Ω
| k2u ′ µrk(s)| 2 ds + 1
2 uµrk(t) 2
+ Gk(uµrk(t))dx ≤ C, (2.114)
Ω
em que C é uma constante independente de µ, r, t e k.
De forma semelhante ao que foi feito na Afirmação 2.2.3 encontramos que:
T
C constante independente de µ, r e k.
0
Ω
69
|u ′ µrk(t)| 2p
p+1 dx ds ≤ C, (2.115)

Análogo ao que foi feito em (2.29) e na Afirmação 2.2.3, as desigualdades (2.114) e
(2.115), nos garantem a existência de uma subsequência de (uµrk)µ a qual ainda denotamos
por (uµrk)µ tal que:
uµrk −−−→
µ→∞ urk fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.116)
u ′ µrk −−−→
µ→∞ u′ rk fraco em L 2p
k2u ′
µrk −−−→ k2u ′ rk fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.118)
µ→∞
k1u ′ µrk −−−→
µ→∞
Como H 1 0(Ω) c
↩→ L 2p
p+1 (Ω) ↩→ L 2p
p+1 (Ω), e
70
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) (2.117)
k1u ′ rk fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) (2.119)
(uµrk)µ é limitada em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L 2p
p+1 (0, T ; H 1 0(Ω))
(u ′ µrk)µ é limitada em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)),
então pelo Teorema da Compacidade de Aubin-Lions, (uµrk)µ admite uma subsequência
a qual ainda denotamos por (uµrk)µ tal que
uµrk −−−→
µ→∞ urk forte em L 2p
p+1 (Q). (2.120)
Passando a uma subsequência se necessário podemos supor que:
uµrk −−−→
µ→∞ urk q.s. emQ.
E por continuidade de Fk temos que:
Fk(uµrk) −−−→
µ→∞ Fk(urk) q.s. emQ. (2.121)
É fácil ver que (Fk(uµrk)) é limitada em L 2 (Q) (é análogo a (2.60)), portanto pelo lema
de Lions, segue que:
Sabemos que:
Fk(uµrk) −−−→
µ→∞ urkFk(urk) fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)). (2.122)
k1u ′′ µrk(t) + k2u ′ µrk(t) − ∆uµrk + Fk(uµrk) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)).
Desta forma, tomando a dualidade com uµrk ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) temos que:
T
〈k1u
0
′′ T
µrk(t), uµrk(t)〉 H−1 ,H1dt +
0
T
0
〈k2u ′ µrk(t), uµrk(t)〉dt +
〈Fk(uµrk), uµrk(t)〉dt =
0
T
0
T
〈f(t), uµrk(t)〉dt.
0
〈−∆uµrk(t), uµrk(t)〉dt+

T
0
Ω
Como f ∈ L 2(p+1)
p−1 (Q) ↩→ L 2 (Q), Fk(uµrk) ∈ L 2 (Q) e k1u ′ µrk ∈ L2 (Q) então:
Fk(uµrk(x, t))uµrk(x, t)dxdt = −
Note que:
−
T
0
T
0
〈k1u ′′ µrk(t), uµrk(t)〉dt −
〈−∆uµrk(t), uµrk(t)〉dt +
• k1u ′ µrk ∈ L2 (0, T ; L 2 (Ω)), isto vem de (2.101);
• u ′ µrk ∈ L2 (0, T ; L 2 (Ω)). De fato:
T
0
|u ′ µrk(t)| 2 T
dt = |u
0 Ω
′ µrk(t)| 2 T
dxdt =
0 Ω
≤
1
∈L k2 ∞ T
1
0 Ω (k2)
(Ω)
2
=
1
(k2)
2
k2u ′ µrk 2
L2 (Q) < ∞;
T
0
T
0
(k2u ′ µrk(t), uµrk(t))dt
(f(t), uµrk(t))dt.
1
(k2(x)) 2 |k2(x)u ′ µrk(t)| 2 dxdt
|k2(x)u
L∞
′ µrk(t)| 2 dxdt
• k1u ′′ µrk ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω) = [H 1 0(Ω)] ′ ), isto decorre de (2.102);
• uµrk ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)).
=⇒ −
=⇒ −
T
0
Assim, pelas regra derivação do produto interno (Veja 1.8.10) segue que:
71
(2.123)
d
dt (k1u ′ µrk(t), uµrk(t)) = 〈k1u ′′ µrk(t), uµrk(t)〉 + (k1u ′ µrk(t), u ′ µrk(t)) (2.124)
T
0
T
0
〈k1u ′′ µrk(t), uµrk(t)〉dt =
〈k1u ′′ µrk(t), uµrk(t)〉dt =
T
0
T
0
| k1(x)u ′ µrk(t)| 2 dt −
| k1(x)u ′ µrk(t)| 2 dt
Substituindo (2.125) em (2.123) temos que:
Ω
Fk(uµrk(x, t))uµrk(x, t)dxdt =
T
0
d
dt (k1u ′ µrk(t), uµrk(t))dt
− (k1u ′ µrk(T ), uµrk(T )) + (k1u ′ µrk(0), uµrk(0)).
T
0
| k1(x)u ′ µrk(t)| 2 dt − (k1u ′ µrk(T ), uµrk(T ))+
(k1u ′ µrk(0), uµrk(0)) −
T
0
uµrk(t)dt +
T
0
T
0
(k2u ′ µrk(t), uµrk(t))dt−
(f(t), uµrk(t))dt.
(2.125)

T
0
(i)
(ii)
Ω
Como Fk(uµrk)uµrk ≥ 0 então
|Fk(uµrk(x, t))uµrk(x, t)|dxdt =
Observe que:
T
0
T
Fk(uµrk(x, t))uµrk(x, t)dxdt
0 Ω
T
≤ |
0
k1(x)u ′ µrk(t)| 2 dt + |(k1u ′ µrk(T ), uµrk(T ))|+
|(k1u ′
T
µrk(0), uµrk(0))| +
(k2u
0
′
µrk(t), uµrk(t))dt
+
T
T
uµrk(t)dt +
(f(t), uµrk(t))dt
.
0
| k1(x)u ′ µrk(t)| 2 dt ≤ C, C constante independente de µ, r e k.
(2.114)
0
72
(2.126)
|(k1u ′ µrk(T ), uµrk(T ))| = |( k1u ′ µrk(T ), k1uµrk(T ))| ≤ | k1u ′ µrk(T )| 2 ≤ C
(2.114)
C constante independente de µ, r e k.
(iii) De forma análoga encontramos que:
(iv)
T
0
|(k1u ′ µrk(0), uµrk(0))| ≤ C, C constante independente de µ, r e k.
(k2u ′
µrk(t), uµrk(t))dt
≤
=
≤
≤
T
0
T
0
T
0
T
0
≤
|(k2u ′ µrk(t), uµrk(t))|dt
|( k2u ′ µrk(t), k2uµrk(t))|dt
| k2u ′ µrk(t)|| k2uµrk(t)|dt
| k2u ′ µrk(t)|k2L ∞ (Ω)|uµrk(t)|dt
T
| k2u ′ µrk(t)|uµrk(t)dt
H1 0 (Ω)↩→L2 C|k2|L
(Ω)
∞ (Ω)
0
T
|
0
k2u ′ µrk(t)|dt = C| k2u ′ µrk| L1 (0,T ;L2 (Ω))
≤ C
(2.114)
≤
L 2 (0,T ;L 2 (Ω))↩→L 1 (0,T ;L 2 (Ω))
(2.114)
C,

(v)
(vi)
T
0
que:
C constante independente de µ, r e k.
T
0
uµrk(t)dt ≤
(2.114)
T
0
T
(f(t), uµrk(t))dt
≤
0
Cdt ≤ C, C constante independente de µ, r e k.
≤ C
T
|(f(t), uµrk(t))|dt ≤
0
T
C constante independente de µ, r e k.
0
T
|f(t)|uµrk(t))dt ≤ C
(2.114)
≤ C|f| L1 (0,T ;L2 (Ω)) ≤
(∗)
C,
0
|f(t)||uµrk(t))|dt
(*) L 2(p+1)
p−1 (0, T ; L 2(p+1)
p−1 (Ω)) ↩→ L 2(p+1)
p−1 (0, T ; L 2 (Ω)) ↩→ L 1 (0, T ; L 2 (Ω))
Ω
Assim das observações (i) a (vi) acima e de (2.126), segue que:
T
0
|f(t)|dt
|Fk(uµrk(x, t))uµrk(x, t)|dxdt < C, C constante independente de µ, r e k. (2.127)
Logo, de (2.121) e (2.127) usando o Teorema de Strauss (Teorema 1.8.11) implica
Fk(uµrk) −−−→
µ→∞ Fk(urk) em L 1 (Q). (2.128)
Das convergências (2.116) a (2.122) e de (2.102) procedendo de forma análoga ao
feito no Teorema 2.1.5 (quando usamos o Teorema de Banach-Steinhaus para encontrar
convergência em ε) encontramos que:
k1u ′′
rk(t) + k2u ′ rk(t) − ∆urk + Fk(urk) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)). (2.129)
Como em (2.114) a constante independe de µ, r e k aplicando o Teorema de
Banach-Steinhaus de (2.116) a (2.119) temos que:
1
2 |k1u ′ rk(t)| 2 + 1
2
em que C é uma constante independente de r e k Além disso,
T
0
t
Ω
0
73
| k2u ′ rk(s)| 2 ds + 1
2 urk(t) 2 ≤ C, (2.130)
|u ′ rk(t)| 2p
p+1 dx dt ≤ C. (2.131)

As desigualdades (2.130), (2.131), o Teorema da Compacidade de Aubin-Lions e
o Lema de Lions nos garantem a existência de uma subsequência de (urk)r a qual ainda
denotamos por (urk)r tal que:
urk −−−→
r→∞ uk fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.132)
u ′ rk −−−→
r→∞ u′ k fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) (2.133)
k2u ′
rk −−−→ k2u ′ k fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.134)
r→∞
k1u ′ rk −−−→
r→∞
k1u ′ k fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) (2.135)
urk −−−→
r→∞ uk forte em L 2p
Fk(urk) −−−→
r→∞ Fk(uk) fraco em L2 (0, T ; L2 (Ω)), q.s. em Q (2.137)
74
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) q.s. em Q (2.136)
E assim como feito anteriormente, tomando a dualidade de (2.129) com urk ∈
L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)), procedendo de forma análoga a (2.123) encontramos que:
T
0
Ω
|Fk(urk(x, t))urk(x, t)|dxdt < C, C constante independente de r e k. (2.138)
E pelo Teorema de Strauss,
Fk(urk) −−−→
r→∞ Fk(uk) em L 1 (Q). (2.139)
Também pela independência da constante de limitação em (2.130) e (2.131),
usando o Teorema de Banach-Steinhaus de (2.132) a (2.135) encontramos que:
1
2 |k2u ′ k| 2 + 1
2
T
onde a constante C independe de k nas duas desigualdades.
0
Ω
t
0
| k1u ′ k| 2 dt + 1
2 uk 2 ≤ C, (2.140)
|u ′ k(t)| 2p
p+1 dxdt ≤ C, (2.141)
Das desigualdades (2.140),(2.141), e do Teorema da Compacidade de Aubin-Lions
segue que existe uma subsequência (uk)k de (uk)k tal que:
uk −→ u fraco* em L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) (2.142)
u ′ k −→ u ′
k2u ′ k −→ k2u ′
k1u ′ k −→ k1u ′
Vejamos que:
fraco em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) (2.143)
fraco em L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) (2.144)
fraco* em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) (2.145)
uk −→ u forte em L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω)) e q.s. em Q (2.146)
Fk(uk) −→ F (u) q.s. em Q. (2.147)

De fato, seja dado ɛ > 0 e (x, t) ∈ Q .
De (2.146) pela continuidade de F implica que F (uk) −→ F (u) q.s. em Q, além
disso, (uk)k é q.s. de Cauchy em Q. Logo, existe k0 ∈ N tal que ∀k > k0 tem-se que:
Portanto:
|uk(x, t)) − uk0(x, t)| < ɛ
3 ;
|F (uk0(x, t)) − F (u(x, t))| < ɛ
3 .
|Fk(uk(x, t)) − F (u(x, t))| ≤ |Fk(uk(x, t)) − Fk(uk0(x, t))| + |Fk(uk0(x, t)) − F (uk0(x, t))|+
|F (uk0(x, t)) − F (u(x, t))|
≤ |uk(x, t)) − uk0(x, t)| + |Fk(uk0(x, t)) − F (uk0(x, t))| + ɛ
3
≤ |Fk(uk0(x, t)) − F (uk0(x, t))| + 2ɛ
3 .
Como uk0(x, t) está em algum limitado de R e Fk −→ F uniformemente sobre
limitados da reta, então:
Logo,
ou seja, Fk(uk) −→ F (u) q.s. em Q.
temos que:
|Fk(uk0(x, t)) − F (uk0(x, t))| < ɛ
3 , ∀k(k0, (x, t)) ≫ 0.
De (2.136) e (2.139) temos que:
|Fk(uk(x, t)) − F (u(x, t))| < ɛ, ∀k ≫ 0,
urk −−−→
r→∞ uk forte em L 2p
p+1 (Q) ↩→ L1 (Q)
Fk(urk) −−−→
r→∞ Fk(uk) forte em L1 (Q)
=⇒ Fk(urk)urk −−−→
r→∞ Fk(uk)uk em L 1 (Q)
Desta forma, pelo Lema de Fatou:
T
Fk(uk)ukdxdt ≤ lim inf
r→∞
0
Ω
T
0
Ω
Fk(urk)urkdxdt ≤ C.
(2.138)
Logo, da desigualdade acima e de (2.147), de acordo com o Teorema de Strauss
Fk(uk) −→ F (u) em L 1 (Q). (2.148)
De (2.85) temos que (2.102) também é satisfeita em D ′ (0, T ; H −1 (Ω)). Desta
forma, para θ ∈ D(0, T ) e v ∈ D(Ω), que é denso em H 1 0(Ω), segue que:
〈〈k1u ′′ µrk, θ〉, v〉 H −1 ,H 1 0 + 〈〈k2u ′ µrk, θ〉, v〉 + 〈〈−∆uµrk, θ〉, v〉 + 〈〈Fk(uµrk), θ〉, v〉 = 〈〈f, θ〉, v〉.
75

Procedendo como em (2.64)-(2.68) vem que:
−
T
0
T
(k1u ′ µrk(t), v)θ ′ (t)dt +
0
(k2u ′ µrk(t), v)θ ′ (t)dt + a(uµrk(t), v)θ
0
′
(t)dt
T
+ Fk(uµrk(x, t))v(x)θ(t)dx dt = (f(t), v)θ ′ (t)dt
Q
Portanto, a partir das convergências (2.116)-(2.119), (2.132)-(2.135) e (2.142)-
(2.145) passamos o limite µ, r, k → ∞ na parte linear de (2.102). E de (2.128),(2.139) e
(2.148) na parte não linear, resultando que:
Daí:
−
−
T
(k1u
0
′ (t), v)θ ′ T
(t)dt +
0
k1(x)u
Q
′ (x, t)v(x)θ ′ (t)dx dt +
∀θ ∈ D(0, T ) e ∀v ∈ D(Ω).
Q
T
T
(k2u ′ (t), v)θ(t)dt + a(u(t), v)θ(t)dt
0
T
+ F (u(x, t))v(x)θ(t)dx dt = (f(t), v)θ(t)dt
k2(x)u
Q
′ (x, t)v(x)θ ′
(t)dx dt + −∆u(t)v(x)θ(t)dx dt
Q
+ F (u(x, t))v(x)θ(t)dx dt = f(x, t)v(x)θ(t)dt,
Q
Como o conjunto {θv; θ ∈ D(0, T ) e v ∈ D(Ω)} é total em D(Q) então:
k1(x)u
Q
′′
(x, t)η(x, t)dx dt + k2(x)u
Q
′
(x, t)η(x, t)dx dt + −∆u(t)η(x, t)dx dt
Q
+ F (u(x, t))η(x, t)dx dt = f(x, t)η(x, t)dt,
∀η ∈ D(Q).
Logo,
Q
k1(x)u ′′ + k2(x)u ′ − ∆u + F (u) = f, em D ′ (Q).
Como u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)), segue que −∆u ∈ L ∞ (0, T ; H −1 (Ω)). Do fato de que
F (u) ∈ L 1 (0, T ; L 1 (Ω)), k2u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) e f ∈ L 2(p+1)
p−1 ↩→ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), vem:
k1(x)u ′′ + k2(x)u ′ − ∆u + F (u) = f, em L 1 (0, T ; H −1 (Ω) + L 1 (Ω)).
O que demonstra uma parte do teorema.
2.5.1 Verficação dos dados iniciais
Mostrar que:
u(0) = u0.
Q
0
Q
0
76

Das convergênciaa (2.116) (2.118) temos que:
T
0
T
0
〈uµrk(t), w(t)〉dt −→
(u ′ µrk(t), w(t))dt −→
T
0
T
0
〈urk(t), w(t)〉dt, ∀w ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω));
(u ′ rk(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Considere ψ ∈ C 1 ([0, T ]), com ψ(0) = 1 e ψ(T ) = 0, e v ∈ H 1 0(Ω) (isto implica que
ψv, ψ ′ v ∈ L 1 (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L 1 (0, T ; H −1 (Ω)), veja Observação 1.4.11 e o Lema 1.6.3).
Assim,
T
0
T
0
(uµrk(t), v)ψ ′ (t)dt −→
(u ′ µrk(t), v)ψ(t)dt −→
T
0
T
0
(urk(t), v)ψ ′ (t)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω)
(u ′ rk(t), v)ψ(t)dt, ∀v ∈ H 1 0(Ω).
Somando as convergências acima e integrando por partes, procedendo de forma
análoga na verificação dos dados iniciais do Teorema 2.1.5 encontramos que:
(uµrk(0), v) −→ (urk(0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω)
=⇒
uµrk(0)=ϕ0µr
(ϕ0µr, v) −→ (urk(0), v)
Como ϕ0µr −−−→
µ→∞ u0r forte em H 1 0(Ω) logo em L 2 (Ω), segue que:
(u0r, v) = (urk(0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
O que pela densidade de H 1 0(Ω) em L 2 (Ω) implica que:
urk(0) = u0r.
Usando as convergências (2.132) e (2.134) temos que:
T
0
T
0
〈urk(t), w(t)〉dt −→
(u ′ rk(t), w(t))dt −→
T
0
T
0
〈uk(t), w(t)〉dt, ∀w ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω));
(u ′ k(t), w(t))dt, ∀w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
E como já vimos as convergências acima nos levam a encontrar que:
(urk(0), v) −→ (uk(0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω);
=⇒
urk(0)=u0r
(u0r, v) −→ (uk(0), v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
Como u0r −→ u0 forte em H 1 0(Ω), consequentemente forte em L 2 (Ω), então
u0r −→ u0 fraco em L 2 (Ω). Assim, por unicidade do limite
(uk(0), v) = (u0, v), ∀v ∈ H 1 0(Ω).
77

O que por densidade implica que:
no sentido de L 2 (Ω).
contramos que:
uk(0) = u0,
Usando as convergências (2.142) e (2.144) repetindo os mesmos argumentos en-
como queríamos verificar.
Vamos agora mostrar que:
u(0) = u0
k1u ′ (0) = k1u1.
Considere v ∈ D(Ω) e θδ(t), 0 < δ < T , a função definida por:
⎧
⎨−
θδ(t) =
⎩
t + 1, se 0 ≤ t ≤ δ
δ
0, se δ < t ≤ T
É fácil ver θδ ∈ H 1 (0, T ). Com efeito:
• É imediato que θδ ∈ L 2 (0, T ).
• θ ′ δ ∈ L2 (0, T ), já que
〈θ ′ T
δ, ϕ〉 = − θδ(t)ϕ
0
′ (t)dt, ∀ϕ ∈ D(0, T ).
Consequentemente, integrando por partes vem que:
〈θ ′ δ, ϕ〉 = −θδ(t)ϕ(t) T 0 +
T
θ
0
′ δ(t)ϕ(t)dt = − 1
δ
ϕ(t)dt = 〈−
δ 0
1
δ Tχ , ϕ〉
[0,δ]
∴ θ ′ δ = Tχ [0,δ] .
Considere ϕ(t) = θδ(t)v, v ∈ D(Ω). Nestas condições, sabendo que D(Ω) é denso
em H 1 0(Ω) temos que ϕ ∈ H 1 (0, T ; H 1 0(Ω)) ⊂ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) (isto segue do Lema 1.6.3).
temos que:
T
0
Passando a dualidade de ϕ ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) com
k1(x)u ′′ µrk(t) + k2(x)u ′ µrk(t) − ∆uµrk + Fk(uµrk) = f em L 2 (0, T ; H −1 (Ω))
〈k1u ′′ µrk(t), v〉θδ(t)dt +
+
T
0
T
0
(k2u ′ µrk(t), v)θδ(t)dt +
T
(Fk(uµrk(t)), v)θδ(t)dt =
〈−∆uµrk(t), v〉θδ(t)dt
0
T
0
(f(t), v)θδ(t)dt
78
(2.149)

T
0
Note que:
〈k1u ′′ µrk(t), v〉θδ(t)dt =
P rop.1.8.10
T
0
= (k1u ′
µrk(t), v)θδ(t)
= −(k1u ′ µrk(0), v) −
= −( k1u1, v) −
d
dt (k1u ′ µrk(t), v)θδ(t)dt
T
T
−
0 0
T
0
T
Substituíndo (2.150) em (2.149) vem que:
−( k1u1, v) −
+
T
0
T
(k1u
0
′ µrk(t), v)θ ′ δ(t)dt +
T
a(uµrk(t), v)θδ(t)dt +
0
T
Passando ao limite µ, r, k −→ ∞ temos que:
−( k1u1, v) −
substituíndo θ ′ δ
+
T
0
T
(k1u
0
′ (t), v)θ ′ δ(t)dt +
T
a(u(t), v)θδ(t)dt +
0
Ω
0
0
(k1u ′ µrk(t), v)θ ′ δ(t)dt
(k1u ′ µrk(t), v)θ ′ δ(t)dt
(k1u ′ µrk(t), v)θ ′ δ(t)dt
(k2u ′ µrk(t), v)θδ(t)dt
Fk(uµrk(t))vθδ(t)dxdt =
T
na igualdade acima resulta que:
−( k1u1, v) + 1
(k1u
δ 0
′ (t), v)dt +
onde h(t) = −(f(t), v) + (k2u ′ (t), v) + a(u(t), v) +
•
Note que:
•
δ
lim
δ→0
0
1
lim
δ→0 δ
h(t)θδ(t)dt
δ
Ω
0
(k2u ′ (t), v)θδ(t)dt
F (u(t))vθδ(t)dxdt =
Ω
δ
0
T
0
T
0
79
(2.150)
(f(t), v)θδ(t)dt
(f(t), v)θδ(t)dt,
h(t)θδ(t)dt = 0, (2.151)
F (u(t))vdx.
δ
(k1u
0
′ (t), v)dt = (k1u ′ (0), v);
δ
≤ lim
δ→0
0
Logo, passando ao limite δ → 0 (2.151) encontramos que:
|h(t)||θδ(t)|dt ≤
|θδ(t)|≤1
δ
0
|h(t)|dt = 0.
( k1u1, v) = (k1u ′ (0), v), ∀v ∈ D(Ω)
Portanto, por densidade de D(Ω) em L 2 (Ω), concluímos que:
k1u1 = k1u ′ (0).
O que finaliza a prova do Teorema 2.1.1.

Capítulo 3
Unicidade de Soluções
Mostramos no Teorema 2.1.1 e na Observação 2.1.3 a existência de solução fraca,
u : Q → R, para o problema (P ) na seguinte classe:
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω))
k1u ′′ ∈ L 1 (0, T ; H −1 (Ω) + L 1 (Ω))
F (u) ∈ L 1 (0, T ; L 1 (Ω)).
Nota-se então que não fazem sentido as dualidades 〈F (u), u ′ 〉 e 〈k1u ′′ , u ′ 〉. Portanto, o
método da energia não pode ser aplicado para encontrarmos a unicidade de soluções.
Além disso, as hipóteses sobre a função F tornam bastante ampla a classe de equações
considerada, descartando a possibilidade de termos unicidade no caso geral.
Entretanto, em alguns casos particulares podemos verificar que F (u) ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)),
e embora o método da energia ainda não possa ser utilizado, utilizaremos o método in-
troduzido por Visik e Ladyzenskaja ([20]) para demonstrar a unicidade.
3.1 Não linearidade localmente Lipschitziana e n = 1
Teorema 3.1.1. Suponhamos que F : R → R é localmente lipschitziana com sF (s) ≥
0, ∀s ∈ R, e n = 1. Então existe no máximo, uma função u satisfazendo:
que é solução do Teorema 2.1.1.
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
u ′ ∈ L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))
80

Demonstração:
Sejam u e v duas soluções do Teorema 2.1.1 e w = u − v. Então:
k1w ′′ + k2w ′ − ∆w + F (u) − F (v) = 0 em L 1 (0, T ; H −1 (Ω) + L 1 (Ω)) (3.1)
w(0) = 0 (3.2)
k1(x)w ′ (0) = 0 (3.3)
Como n = 1 então H 1 0(Ω) ↩→ L ∞ (Ω). Sendo que u, v ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) e F é
localmente lipschitziana então F (u), F (v) ∈ L ∞ (0, T ; L ∞ (Ω)). De fato:
F (u) ∈ L ∞ (0, T ; L ∞ (Ω)) ⇐⇒ sup ess
t∈(0,T )
F (u(t))L ∞ (Ω) < ∞;
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) ↩→ L ∞ (0, T ; L ∞ (Ω)) ⇒ u(t)L ∞ (Ω) < C, q.s. em (0, T )
=⇒ |u(x, t)| < C1, q.s. em Ω × (0, T ).
Sendo que F (0) = 0 e localmente lipschitziana então:
|F (u(x, t))| < LC1|u(x, t)| < C, q.s. em Ω × (0, T )
=⇒ F (u(t))L ∞ (Ω) < C, q.s. em (0, T ).
Logo, F (u), F (v) ∈ L ∞ (0, T ; L ∞ (Ω)).
Daí de (3.1) segue que:
k1w ′′ + k2w ′ − ∆w + F (u) − F (v) = 0 em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)). (3.4)
Fixemos s ∈ (0, T ) arbitrário e definamos:
⎧
⎨−
ψ(t) =
⎩
s
w(τ)dτ, se 0 ≤ t ≤ s
t
0, se s < t ≤ T
Nestas condições temos que:
ψ(t) =
t
0
w(τ)dτ −
t
0
w(τ)dτ −
s
t
w(τ)dτ =
t
∴ ψ(t) = W1(t) − W1(s), se 0 ≤ t ≤ s,
0
w(τ)dτ −
s
0
w(τ)dτ
onde W1(t) = t
0 w(τ)dτ.
Além disso, ψ(s) = 0 e ψ ′ (t) = w(t), 0 ≤ t ≤ s. Sendo w ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)),
segue da definição de integral de Bochner que ψ(t) ∈ H 1 0(Ω) para cada t ∈ (0, T ). Vejamos
que ψ ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)). Com efeito:
T
0
ψ(t) 2 dt =
s
0
W1(t) − W1(s) 2 dt
81

Logo,
Note que:
W1(t) − W1(s) ≤ W1(t) + W1(s) =
ou seja, ψ ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)).
≤
t
0
w(τ)dτ +
s
≤
w∈L∞ (0,T ;H1 0 (Ω))
T
2
0
0
t
0
w(τ)dτ ≤
w(τ)dτ
+
t,s≤T
2
T
0
s
0
w(τ)dτ
w(τ)dτ
|w|dτ ≤ 2T |w| L ∞ (0,T ;H 1 0 (Ω))
∴ W1(t) − W1(s) 2 ≤ 4T 2 |w| 2
L ∞ (0,T ;H 1 0 (Ω))
T
ψ(t)
0
2 dt ≤ 4T 3 |w| 2
L∞ (0,T ;H1 0 (Ω)),
Tomando a dualidade de (3.4) com ψ ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) temos que:
T
0
〈k1w ′′ (t), ψ(t)〉dt+
T
0
T
0
〈k2w ′ (t), ψ(t)〉dt +
T
0
〈−∆w(t), ψ(t)〉dt+
〈F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t)〉dt = 0.
82
(3.5)
(3.6)
Como k2u ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), F (u), F (v) ∈ L ∞ (0, T ; L ∞ (Ω)) ↩→ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) e
ψ ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)) então usando a Observação 1.4.11 e o fato que ψ(t) = 0, se s < t ≤ T
encontramos que:
s
0
〈k1w ′′ (t), ψ(t)〉dt+
s
0 s
0
(k2w ′ (t), ψ(t))dt +
s
0
〈−∆w(t), ψ(t)〉dt+
(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))dt = 0.
Por argumentos análogos aos de (2.124) temos que:
d
dt (k1w ′ (t), ψ(t)) = 〈k1w ′′ (t), ψ(t)〉 + (k1w ′ (t), ψ ′ (t))
s
=⇒ 〈k1w
0
′′ s
(t), ψ(t)〉dt = − (k1w
0
′ (t), ψ ′ s
d
(t))dt +
0 dt (k1w ′ (t), ψ(t))dt
s
= − (k1w
0
′ (t), ψ ′ (t))dt + (k1w ′ (s), ψ(s)) − (k1w ′ (0), ψ(0)).
Como ψ(s) = 0 , k1w ′ (0) = 0 e ψ ′ (t) = w(t) então:
s
s
0
〈k1w ′′ (t), ψ(t)〉dt = −
0
(k1w ′ (t), w(t))dt.
Além disso, como u ′ , v ′ ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) podemos fazer o seguinte:
d
dt (k1w(t), w(t)) = (k1w ′ (t), w(t)) + (k1w(t), w ′ (t)) = 2(k1w ′ (t), w(t))
(3.7)

É válido que:
=⇒
s
0
=⇒
d
dt (k1w(t), w(t))dt = 2
s
0
s
0
(k1w ′ (t), w(t))dt
(k1w ′ (t), w(t))dt = 1
2 (k1w(s), w(s)).
Logo, o primeiro termo de (3.7) pode ser visto na forma:
=⇒
s
0
s
〈k1w ′′ (t), ψ(t)〉dt = − 1
2 (k1w(s), w(s)). (3.8)
0
d
dt (k2w(t), ψ(t)) = (k2w ′ (t), ψ(t)) + (k2w(t), ψ ′ (t))
d
dt (k2w(t), ψ(t))dt =
Como ψ(0) = 0 e w(0) = 0 então:
Temos também que:
s
0
s
0
= (k2w ′ (t), ψ(t)) + (k2w(t), w(t))
s
(k2w ′ (t), ψ(t))ds = −
〈−∆w(t), ψ(t)〉dt =
s
= 1
2
0
0
s
(k2w ′ (t), ψ(t))ds +
s
a(w(t), ψ(t))dt =
0
0
s
0
(k2w(t), w(t))ds.
83
(k2w(t), w(t))ds (3.9)
s
d
a(ψ(t), ψ(t))dt
dt
0
a(ψ ′ (t), ψ(t))dt
= 1
[a(ψ(s), ψ(s)) − a(ψ(0), ψ(0))]
2
= − 1
a(ψ(0), ψ(0)).
2
Substituindo (3.8)-(3.10) em (3.7) resulta que:
− 1
2 (k1w(s), w(s))−
s
s
0 s
(k2w(t), w(t))ds − 1
a(ψ(0), ψ(0))+
2
0
(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))dt = 0
=⇒ 1
2 (k1w(s),w(s)) + (k2w(t), w(t))dt +
0
1
a(ψ(0), ψ(0))
2
s
s
= (F (u) − F (v), ψ(t))dt ≤
(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))dt
.
0
Como a(ψ(0), ψ(0)) = ψ(0) 2 e 1
k2 ∈ L∞ (Ω) então:
1
|k2(x)| ≤
1
k2 L∞ (Ω)
0
, q.s. em Ω
(3.10)
(3.11)

Assim, de (3.11) segue que:
1
2 (k1w(s), w(s)) + δ
s
=⇒ k2(x) = |k2(x)| ≥ 1
1 = δ q.s. em Ω.
k2
0
|w(t)| 2 dt + 1
2 ψ(0)2 ≤
s
0
84
(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))dt
. (3.12)
Sendo que u e v pertencem a L ∞ (0, T ; L ∞ (Ω)) então existe uma constante C > 0
tal que |u(x, t)| ≤ C e |v(x, t)| ≤ C q.s. em Ω × (0, T ). Desde que F é localmente
lipschitziana então existe ρ > 0 dependendo de C tal que:
|F (u(x, t)) − F (v(x, t))| ≤ ρ|u(x, t) − v(x, t)| q.s. em Ω × (0, T )
=⇒ |F (u(t)) − F (v(t))| L2 (Ω) ≤ ρ 2 |u(t) − v(t)| L2 (Ω) = ρ 2 |w(t)| L2 (Ω)
s
s
∴
0
(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))dt
≤
≤
ρ 2 =β
0
β
|F (u(t)) − F (v(t)||ψ(t)|dt
s
0
|w(t)||ψ(t)|dt.
Da desigualdade acima e de (3.12), lembrando-se que ψ(0) = −W1(s) obtemos:
β
s
0
1
2 (k1w(s), w(s)) + δ
s
0
|w(t)| 2 dt + 1
2 W1(s) 2 ≤ β
s
Como a imersão de H 1 0(Ω) em L 2 (Ω) é contínua temos que:
|w(t)||ψ(t)|dt ≤ C
= C
s
0 s
0
|w(t)|ψ(t)dt ≤ C
|w(t)|W1(t)dt + C
Seja dado λ > 0. Observe que:
C
C
s
0
s
Isto implica que:
β
s
0
0
√ (W1(t)
λ|w(t)| √
λ
dt ≤
2ab≤a 2 +b 2
√ (W1(s)
λ|w(t)| √ dt ≤
λ
|w(t)||ψ(t)|dt ≤ λC
s
0
|w(t)| 2 dt + C
2λ
s
0 s
λC
2
λC
2
0
s
0
|w(t)||ψ(t)|dt. (3.13)
|w(t)|(W1(t) + W1(s))dt
|w(t)|W1(s)dt.
s
0
s
Substituindo (3.15) em (3.13),encontramos que:
s
1
2 (k1w(s), w(s)) + δ |w(t)|
0
2 dt + 1
2
s
≤ λC |w(t)| 2 dt + C
2λ
0
0
W1(s) 2
s
0
0
|w(t)| 2 dt + C
2λ
s
0
(W1(t) 2 dt
|w(t)| 2 dt + Cs
2λ (W1(s) 2 .
(3.14)
(W1(t) 2 dt + Cs
2λ (W1(s) 2 . (3.15)
(W1(t) 2 dt + Cs
2λ
(W1(s) 2
(3.16)

=⇒ 1
2 (k1w(s), w(s)) + (δ − λC)
s
Queremos que (3.17) seja satisfeita para
δ − λC
1 Cs − 2 2λ
>
>
0
0
λ
=⇒
s
<
<
δ
C
λ
C
Considere, λ0 = δ
2C
s0 = δ
4C 2 .
Então para 0 < s < s0 temos que:
Logo,
1
2 (k1w(s), w(s)) + δ
2
−s > −s0 ⇒ − cs
s
Consequentemente,
0
2λ0
> − cs0
2λ0
0
|w(t)| 2 dt + ( 1 Cs
2
− )W1(s)
2 2λ
≤ C
s
W1(t)
2λ
2 dt.
=⇒
⇒ 1 cs
−
2 2λ0
|w(t)| 2 dt + 1
4 W1(s) 2 ≤ C
W1(s) 2 ≤ 2C
λ0
s
0
2λ0
s
0
λ < δ
C
s < δ
C 2
> 1 cs0
−
2 2λ0
W1(t) 2 dt, ∀s ∈ [0, s0].
0
> 1
4
85
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
W1(t) 2 dt, ∀s ∈ [0, s0] (3.21)
O que pelo Lema de Gronwall resulta que W1(s) = 0, ∀s ∈ [0, s0]. Disto, segue de (3.21)
que:
δ
2
s
0
|w(t)| 2 dt = 0 =⇒ |w(t)| 2 = 0, q.s. em s ∈ [0, s0]
O que implica que w(t) = 0, q.s. em t ∈ [0, s0]. Por conseguinte F (u(t)) =
F (v(t)), q.s. em t ∈ [0, s0].
Logo, de (3.1) vem que:
k1w ′′ (t) + k2w ′ (t) = 0, q.s. em [0, s0]
=⇒ (k1w ′ (t)) ′ + (k2w(t)) ′ = 0
=⇒ k1w ′ (t) + k2w(t) = C, q.s. em [0, s0], C constante.
Fazendo t = 0 e usando o fato que w(0) = k1w ′ (0) = 0 segue que
k1w ′ + k2w = 0, q.s. em [0, s0].
Como w(t) = 0, q.s. em ∈ [0, s0] então k1w ′ = 0 em [0, s0], e sendo k1u ′ ∈
C 0 ([0, T ]; H −1 (Ω)) temos que k1(x)w ′ (s0) = 0.

Desta forma estamos nas condições:
⎧
⎪⎨
w(s0) = 0
⎪⎩ k1(x)w ′ (s0) = 0
k1w ′′ + k2w ′ − ∆w + F (u) − F (v) = 0 em L 2 (s0, T ; H −1 (Ω))
Aplicando o método desenvolvido podemos mostrar que w(t) = 0, ∀t ∈ [s0, 2s0]. Logo,
w(t) = 0, ∀t ∈ [0, 2s0]. Repetindo o processo um número finito de vezes concluímos que
w(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ], o que demonstra a unicidade.
3.2 Não linearidade globalmente Lipschitziana e n di-
mensão qualquer.
Teorema 3.2.1. Suponhamos que F : R → R é globalmente localmente lipschitziana com
sF (s) ≥ 0, ∀s ∈ R, . Então existe no máximo, uma função u satisfazendo:
que é solução do Teorema 2.1.1.
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
u ′ ∈ L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))
Demonstração: Como H 1 0(Ω) ↩→ L 2 (Ω) e F é globalmente Lipschitzina então F (u), F (v) ∈
L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)). O restante da demonstração segue análogo a demonstração anterior a
partir de (3.4).
3.3 Não linearidade continuamente diferenciável sa-
tisfazendo uma determinada condição de cresci-
mento.
Teorema 3.3.1. Seja F : R → R continuamente diferenciável, tal que sF (s) ≥ 0 com a
derivada satisfazendo
onde ρ é um número real tal que 1
n
86
|F ′ (s)| ≤ C|s| ρ , (3.22)
≤ ρ ≤ 2
n−2
existe no máximo uma função u na classe:
que satisfaz o Teorema 2.1.1.
u ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
u ′ ∈ L 2p
p+1 (0, T ; L 2p
p+1 (Ω))
se n > 2 e 0 < ρ < ∞ se n = 2. Então

Demonstração:
satisfaz:
Consideremos u e v duas funções satisfazendo o Teorema 2.1.1. Então w = u − v
k1w ′′ + k2w ′ − ∆w + F (u) − F (v) = 0 em L 1 (0, T ; H −1 (Ω) + L 1 (Ω)) (3.23)
w(0) = 0 (3.24)
k1(x)w ′ (0) = 0 (3.25)
Provaremos que w = 0 em [0, T ].
Como sF (s) ≥ 0 e F é contínua então F (0) = 0. Disto segue que:
t
|F (t)| =
F ′
(s)ds
≤
t
|F ′ t
(s)|ds ≤ C |s| ρ ds ≤ C |t|ρ+1
ρ + 1
Note que:
• Se n > 2 então:
0
0
=⇒ |F (u(x, t))| 2 ≤ C|u(x, t)| 2ρ+2
=⇒ |F (u(x, t))| 2
dx ≤ C |u(x, t)| 2ρ+2 dx
Ω
=⇒ |F (u(t))| 2
L2 (Ω) ≤ C|u(t)|2ρ+2 L2ρ+2 (Ω)
2
2ρ + 2 ≤ 2
n − 2
Ω
0
+ 2 = 2n
n − 2 .
O que pelo Lema de Imersão continua de Sobolev implica H 1 0(Ω) ↩→ L 2ρ+2 (Ω).
87
(3.26)
• Se n = 2 então 0 < 2ρ + 2 < ∞. E aplicando novamente o Lema de Imersão teremos
que H 1 0(Ω) ↩→ L 2ρ+2 (Ω).
Logo, de (3.26) temos que:
ou seja, F (u) ∈ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)).
|F (u(t))| L 2 (Ω) ≤ Cu(t) ρ+1 ≤ C|u| ρ+1
L ∞ (0,T ;H 1 0 (Ω)),
Desta forma, de (3.23) vem que:
k1w ′′ + k2w ′ − ∆w + F (u) − F (v) = 0 em L 2 (0, T ; H −1 (Ω)). (3.27)
Consideremos a função ψ(t) definida como no Teorema 3.1.1. Lembremos que
ψ(s) = 0, ψ ∈ L2 (0, T ; H1 0(Ω)), ψ(t) = W1(t) − W1(s) para 0 ≤ t ≤ s e ψ(t) = 0 para
s < t ≤ T, onde W1(t) = t
0 w(τ)dτ.
Tomando a dualidade de ψ com (3.27) vem que:
T
0
〈k1w ′′ (t), ψ(t)〉dt +
T
0
〈k2w ′ (t), ψ(t)〉dt+
T
0
T
0
〈−∆w(t), ψ(t)〉dt+
〈F (u) − F (v), ψ(t)〉dt = 0.

Procedendo como em (3.6)-(3.12) encontramos que:
1
2 (k1w(s), w(s)) + δ
s
0
|w(t)| 2 dt + 1
2 ψ(0)2 ≤
s
0
88
|(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))|dt. (3.28)
Agora usando o Teorema do Valor Médio temos que:
|(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))| ≤
(F (u(t)) − F (v(t)))ψ(t)dx
Ω
≤ |F (u(x, t)) − F (v(x, t))||ψ(t)|dx
Ω
≤ |F ′ (ξ)||u(x, t) − v(x, t)||ψ(t)|dx,
onde ξ = u(x, t) + θ[v(x, t) − u(x, t)], para algum θ ∈ [0, 1].
Por hipótese,
|F ′ (ξ)| ≤ C|ξ| ρ ≤ C||u(x, t)| + |v(x, t)|| ρ ≤ C(|u(x, t)|
(1.8.2)
ρ + |v(x, t)| ρ )
∴ |(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))| ≤ C
Vamos analisar as duas possibilidades n = 2 ou n > 2.
• Caso n = 2.
Ω
(|u(x, t)|
Ω
ρ + |v(x, t)| ρ )|w(t)||ψ(t)|dx. (3.29)
Seja r > 2 de tal forma que ρr > 1. Assuma que q satisfaz:
1 1 1
+ +
r 2 q
= 1.
Aplicando a desigualdade de Holder em (3.29) vem que:
|(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))| ≤ C|u(t)| ρ + |v(t)| ρ L r (Ω)w(t) L 2 (Ω)ψ(t)L q (Ω)
≤ C(|u(t)| ρ L r (Ω) + |v(t)| ρ L r (Ω))w(t) L 2 (Ω)ψ(t)L q
≤ C(u(t) ρ
Lrρ (Ω) + v(t)ρ Lrρ (Ω) )w(t)L2 (Ω)ψ(t)Lq (Ω).
Como n = 2 então H 1 0(Ω) ↩→ L s (Ω), 1 ≤ s < ∞. Sendo u, v ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))
resulta da desigualdade acima que:
• Caso n > 2.
|(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))| ≤ C|w(t)| L 2 (Ω)ψ(t) (3.30)
Considere q = 2n . De acordo com Lema de Imersão Contínua de Sobolev temos
n−2
que H 1 0(Ω) ↩→ L q (Ω) ↩→ L ρn (Ω), pois 1 ≤ ρn ≤ 2n
n−2
1 1 1
+ +
n 2 q
= 1.
. Além disso,

Usando a desigualdade de Holder em (3.29) e o fato de que u, v ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω))segue
que:
|(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))| ≤ C|u(t)| ρ + |v(t)| ρ L n (Ω)w(t) L 2 (Ω)ψ(t)L q (Ω)
≤ C(u(t) ρ
Lρn (Ω) + v(t)ρ Lρn (Ω) )w(t)L2 (Ω)ψ(t)
≤ Cw(t) L 2 (Ω)ψ(t)
Logo, de (3.30) e (3.31) concluímos que:
|(F (u(t)) − F (v(t)), ψ(t))| ≤ C|w(t)| L 2 (Ω)ψ(t)
De (3.28) e da desigualdade acima segue que:
1
2 (k1w(s), w(s)) + δ
s
0
|w(t)| 2 dt + 1
2 ψ(0)2 ≤ C
s
Por argumentos análogos aos dados de (3.13) a (3.21) temos
1
2 (k1w(s), w(s)) + δ
2
onde λ0 = δ
1 , δ = 2C
Portanto,
s
0
1
k 2 L ∞ (Ω)
|w(t)| 2 dt + 1
4 W1(s) 2 ≤ C
e s0 = δ
4C 2 .
W1(s) 2 ≤ 2C
λ0
s
0
2λ0
s
W1(t) 2 dt, ∀s ∈ [0, s0]
0
0
89
(3.31)
|w(t)|ψ(t)dt (3.32)
W1(t) 2 dt, ∀s ∈ [0, s0], (3.33)
O que pelo Lema de Gronwall implica que W1(s) = 0, ∀s ∈ [0, s0]. Conse-
quentemente de (3.33) resulta que w(t) = 0, ∀t ∈ [0, s0]. Segue disto e de (3.23) que
k1w ′ + k2w = 0, ∀t ∈ [0, s0]. Como w(t) = 0, ∀t ∈ [0, s0]. então k1w ′ = 0, ∀t ∈ [0, s0] e
sendo k1w ′ ∈ C 0 ([0, T ], H −1 (Ω)) temos que k1(x)w ′ (s0) = 0.
Aplicando o mesmo argumento mostra-se que w(t) = 0 em [0, 2s0] e após um
número finito de passos, conclui-se que w = 0 em [0, T ].

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