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Teorema 1.2.11 (Representação de Riesz). Sejam H um espaço de Hilbert e H ′ seu dual.
A aplicação γ : H → H ′ , γ(ξ) = fξ, para cada ξ ∈ H, dada por
γ(ξ)(η) = fξ(η) = 〈ξ, η〉, ∀η ∈ H
é uma isometria antilinear e sobrejetora em H ′ .
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 137).
Observação 1.2.12. Deste teorema segue que cada elemento de H ′ é identificado com
um único ξ ∈ H, via fξ, e fξ = ξ, dizemos que ξ representa fξ.
Proposição 1.2.13. Todo espaço de Hilbert é reflexivo.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 138).
1.2.3 Teoria de operadores lineares
Definição 1.2.14. Seja T : N1 → N2 um operador linear. Dizemos que T é contínuo,
ou limitado, se
T := sup T ξN2 < ∞.
ξN =1 1
Definição 1.2.15. Um operador linear T : N1 → N2 é compacto, se a imagem T (A) de
todo subconjunto limitado A ⊂ N1 é precompacta em N2.
Teorema 1.2.16 (Teorema de Banach-Steinhaus). Seja (Tn)n∈N, Tn : B → N , uma
sequência de operadores lineares limitados de forma que para todo ξ ∈ B existe o limite
T ξ := limn→∞Tnξ.
Então sup n Tn < ∞. E além disso, T é um operador linear limitado com
T ≤ lim inf
n→∞ Tn.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 52).
Proposição 1.2.17. Sejam B um espaço de Banach reflexivo e T : B → N um operador
linear limitado. Então T é compacto se, e somente se, (T ξn) é convergente em N para
toda sequência fracamente convergente em B.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 188).
Teorema 1.2.18. Se B é reflexivo, então toda sequência limitada em B admite uma
subsequência fracamente convergente.
Demonstração: Veja Oliveira ([17], p. 114).
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