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2.2 Prova do Teorema 2.1.5
A demonstração será feito utilizando o Método de Faedo-Galerkin que consiste
de três etapas. São elas:
Problema Aproximado: Definimos um “ problema reflexo” do problema (P ε ), em um
espaço de dimensão finita conveniente, que denominamos de Problema Aproximado,
e representamos por (P εm ). Feito isto, mostraremos que esse problema aproxi-
mado possui solução (local), que chamamos de Solução Aproximada. Aqui, para a
existência de soluções locais para (P εm ), mostraremos que este sistema é equivalente
a uma EDO de 1 a ordem, e utilizaremos o Teorema de Existência de Carathéodory.
Estimativas: Procuraremos estimativas a priori sobre a sequência de soluções aproxima-
das que nos permitam prolongar a solução ao intervalo [0, T ] e efetuar a “passagem
ao limite”.
Passagem ao Limite: A partir das estimativas a priori mostramos que a sequência de
soluções aproximadas converge, em uma determinada topologia conveniente, para
uma solução de (P ε ).
2.2.1 Problema aproximado
Seja (wν)ν∈N uma base Hilbertiana do H 1 0(Ω) e Vm = [w1, . . . , wm] o subespaço
gerado pelos m primeiros vetores da base (wν)ν∈N.
Vamos mostrar que para cada m ∈ N fixado existe uma função uεm : [o, tεm) → Vm
solução do seguinte sistema:
(P εm ⎧
(k1εu
⎪⎨
)
⎪⎩
′′
εm(t), wj) + (k2u ′ εm(t), wj) + a(uεm(t), wj) + (F (uεm(t), wj))
= (f(t), wj), ∀j = 1, . . . , m
uεm(0) = u0m −→ u0 forte em H1 0(Ω)
k1εu ′ εm(0) = √ k1εu1m, em que u1m −→ u1 forte em ̷L 2 (Ω).
Em que a(u, v) = ((u, v)).
Daí:
Observe que sendo (wν)ν∈N uma base de H 1 0(Ω) então ( √ k1εwν)ν∈N também é.
(a)
u0 ∈ H 1 0(Ω) ⇒ u0 = lim
m→∞
∴ u0m =
m
j=1
m
j=1
α0jmwj = lim
m→∞ u0m
α0jmwj
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