MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matemática
Curso de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS
Luiz Sérgio da Rocha Cavalcanti
Salvador - Bahia
Novembro / 2000

MEDIDAS SRB PARA ATRATORES
HIPERBÓLICOS
ii
Luiz Sérgio da Rocha Cavalcanti
Dissertação apresentada ao Colegiado do Curso
de Pós-Graduação em Matemática da
Universidade Federal da Bahia, como requisito
parcial para obtenção do Título de Mestre em
Matemática.
Banca examinadora
_________________________________________________________________
Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)
_________________________________________________________________
Prof. Dr. Eduardo Colli
_________________________________________________________________
Prof. Dr. Ézio de Araujo Costa

A Maria Auxiliadora e Marcelo
Pelo apoio, paciência e amor, sem
os quais nada disto seria possível.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer a todos os professores do mestrado da UFBA que com muita
competência souberam transmitir os conhecimentos necessários à realização deste trabalho, em
particular ao meu orientador Vilton Pinheiro a quem devo grande parte dos conhecimentos que
adquiri na área de sistemas dinâmicos e pela ajuda dispensada em todas as etapas de realização
desta dissertação. Também, aos colegas de mestrado pela amizade e apoio demonstrados nesse
quase dois anos de convivência, em especial a Eliana que teve a paciência de ouvir a exposição
prévia deste trabalho.
Gostaria de fazer um agradecimento especial à minha família pelo apoio e compreensão
dispensados nessa minha nova jornada.
iii

CONTEÚDO
Introdução ii
Capítulo 0.
Generalidades 0-1
Conjunto ω-limite. Transformações transitivas e mixing. Shift e subshift. existência da
medida de Gibbs. Teorema de Ruelle-Perron-Froebenius. Partições. Entropia e pressão. Princípio
variacional.
Capítulo 1.
Difeomorfismos hiperbólicos 1-1
Pontos errantes e não errantes. Conjuntos hiperbólicos. Axioma A. Variedades estável e
instável. Coordenadas canônicas. Decomposição espectral. α-pseudo órbita e β-sombra. Closing
lemma de Anosov. Vizinhança fundamental. Retângulo. Partições de Markov.
Capítulo 2
A. Estados de equilíbrio para conjuntos básicos 2-1
B. O caso ϕ=ϕ (u) 2-6
C. Atratores e difeomorfismos de Anosov 2-12
Referências
Índice alfabético
iv

INTRODUÇÃO
No início dos anos 60, Smale conceituou os sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos.
Esses sistemas constituem uma grande classe que incluem os difeomorfismos e fluxos
denominados de Anosov, sistemas dinâmicos assemelhados a gradientes e do tipo “horseshoe”.
Em cerca de dez anos toda uma teoria ergódica foi desenvolvida para esses sistemas, para qual
contribuíram enormemente Sinai, que primeiro desenvolveu a teoria para sistemas dinâmicos do
tipo Anasov, Ruelle que trabalhou no caso mais geral dos sistemas dinâmicos que satisfaziam ao
Axioma A (Sistemas uniformemente hiperbólicos) e Bowen que criou as partições de Markov e
estendeu o conceito de estado de equilíbrio para sistemas dinâmicos hiperbólicos. Devemos
ressaltar também a grande contribuição brasileira nessa área.
De forma geral, um subconjunto fechado Λ de uma variedade compacta é hiperbólico se é
invariante e o seu espaço tangente pode ser decomposto em dois subfibrados invariantes
TΛM=E s ⊕E u de modo que E s é uniformemente contrator para iterados futuros, o mesmo
ocorrendo com E u para iterados passados. Quando o conjunto dos pontos não errantes é
hiperbólico e é igual ao fecho do conjunto dos pontos de órbitas periódicas, dizemos que o
sistema é uniformemente hiperbólico, ou que satisfaz ao Axioma A.
Os sistemas hiperbólicos são exemplos de comportamentos caóticos, pois apresentam uma
sensível dependência das condições iniciais: órbitas de pontos típicos próximos se afastam umas
das outras exponencialmente rápido sob iterações futuras e passadas. Contudo admitem uma
descrição precisa do seu comportamento, pois podem ser decompostas em subconjuntos
invariantes Λ1,...,Λn que são transitivos (possuem órbita densa) e quase todas as órbitas futuras
desses sistemas se acumulam em um deles. Embora as dinâmicas próximas a esses Atratores
possam ser bastante “caóticas”, são surpreendentemente “bem comportadas” do ponto de vista
estatístico.
Vamos considerar M uma variedade Riemanniana compacta, sem bordas, e M(M) o conjunto
das probabilidades sobre a σ-álgebra de Borel de M. A média temporal das funções contínuas
ϕ:M→R
n-1
Ex(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x)
n →∞ j=0
é o dado estatístico básico no comportamento assintótico dos sistemas dinâmicos, cuja existência
é uma das questões fundamentais da teoria desses sistemas. O Teorema Ergódico de Birkhoff
assegura sua existência, para quase todos os pontos, em relação a qualquer medida f-invariante.
Isso é particularmente relevante quando f preserva volume, ou seja, quando f deixa invariante
alguma medida de Lebesgue.
Uma questão importante é saber se, e quando, a média temporal pode ser independente do
ponto inicial. Quando essa independência ocorre para todo x∈B⊂M, com medida de B positiva,
então
ϕ|→E(ϕ)=Ex(ϕ)
v

define um funcional linear não negativo sobre o espaço C 0 (M,R) das funções reais contínuas o
que, pelo Teorema da Representação de Riesz, é uma medida de Borel µ sobre M, com
n-1
∫ϕdµ=E(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x), para qualquer x∈B.
n →∞ j=0
Um fenômeno físico é observável se ocorre para um conjunto de probabilidade positiva.
Portanto, essa medida pode ser observada fisicamente, calculando-se a média temporal das
funções contínuas para pontos x∈B escolhidos aleatoriamente.
Dizemos que uma probabilidade µ, f-invariante, é uma medida física, ou SRB (Sinai-Ruelle-
Bowen), para f se existe um conjunto de medida de Lebesgue positiva B(µ), de pontos x∈M, tal
que
n-1
∫ϕdµ=E(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x), para toda ϕ∈C 0 (M,R).
n →∞ j=0
O conjunto B(µ) é chamado de bacia ergódica de µ. As medidas SRB foram construídas
inicialmente para sistemas do tipo Anosov e posteriormente generalizada para os difeomorfismos
uniformemente hiperbólicos e fluxos.
No caso de uma aplicação hiperbólica f com um atrator Λ, podemos considerar uma medida µ
fisicamente relevante se governa o comportamento de um conjuntos de pontos de medida de
Lebesgue positiva na sua bacia de atração. A princípio pode parecer estranho que uma medida
possa descrever o comportamento médio de pontos fora do seu suporte, mas é exatamente o
ocorre com as medidas SRB.
Uma característica importante de uma medida SRB µ é que sua restrição às variedades
instáveis são compatíveis com os elementos de volumes induzidos nessas subvariedades, ou seja
µ é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue definida sobre as subvariedades
instáveis.
O objetivo do nosso trabalho é de provar a existência de medidas SRB para os atratores
hiperbólicos de sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos (que satisfazem ao Axioma A).
Ele se baseia no trabalho “Equilibrium States and Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms”
publicado por Rufus Bowen em 1975.
Dividimos este trabalho em três capítulos. No capítulo 0, que chamamos de preliminares,
apresentamos algumas definições e resultados gerais da teoria ergódica, dando ênfase à
transformação shift, à entropia e aos estados de equilíbrio. Os principais resultados desse
capítulo são:
Teorema 0.8 [B.1]. (Existência de medidas de Gibbs). Suponha que ΣA é topologicamente
mixing e ϕ∈FA . Existe uma única medida de probabilidade de Borel σ-invariante para a qual
podemos achar constantes c1>0, c2>0 e P tais que
µ({y : yi=xi, ∀ i=0,...,m-1})
c1≤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≤c2
m-1
exp(-mP+∑ϕ(σ k x))
k=0
para todo x∈ΣA e m>0.
vi

Teorema 0.21 [B.1]. Seja ϕ∈FA, ΣA mixing e µϕ a medida de Gibbs de ϕ. Então µϕ é a única
µ∈M σ(ΣA) para a qual s(µ)+∫ ϕdµ=P(ϕ).
Nesses teoremas FA é o conjunto das funções reais ϕ∈C(ΣA) Holder contínuas, s(µ) é a
entropia de σ e P(ϕ) é a pressão de ϕ. O Teorema 0.8 garante a existência e unicidade de
medidas de Gibbs enquanto o Teorema 0.21 mostra que essas medidas de Gibbs são estados de
equilíbrios para ϕ.
Quem já tiver bastante familiarizado com o estudo dos shifts, poderá iniciar no capítulo 1,
usando o capítulo 0 como fonte de consulta dos conceitos e resultados citados nos capítulos
seguintes.
No capítulo 1, apresentamos um estudo dos difeomorfismos hiperbólicos de uma variedade
Riemanniana compacta M, onde são apresentados os conceitos de conjuntos hiperbólicos,
decomposição espectral, coordenadas canônicas, e partições de Markov. Nesse capítulo
preparamos toda a estrutura para que, no capítulo 2, o resultado que garante a existência do
estado de equilíbrio para uma função real contínua ϕ, definida num conjunto básico Ωs, seja
provado.
Um resultado importante, desse capítulo, é o teorema da decomposição espectral (Teorema
1.7). Esse teorema garante que se f satisfaz ao Axioma A, então existe uma única decomposição
de Ω em conjuntos básicos. Esses conjuntos tem uma estrutura de produto local, que é
fundamental para a definição dos retângulos e das partições de Markov. No Teorema 1.15 é
mostrado que se Λ é um conjunto hiperbólico, com estrutura de produto local, então possui uma
partição de Markov com diâmetro arbitrariamente pequeno. A importância dessa partição é que
podemos definir uma matriz de transição A, que por sua vez está associada a um subshift ΣA. No
Teorema 1.20 é mostrado que existe uma conjugação entre a aplicação σ|ΣA e o difeomorfismo
hiperbólico f. Esse resultado é fundamental para a prova da existência das medidas SRB, para
atratores hiperbólicos.
No capítulo 2 são definidos os atratores, a medida µ + , que provamos no Teorema 2.10 ser uma
medida SRB, e provado alguns resultados importantes relacionados a essa medida.
Para a prova de que os atratores hiperbólicos possuem uma medida SRB são usados,
basicamente, três teoremas que são:
Teorema 2.1. Seja Ωs um conjunto básico para um difeomorfismo f, do axioma A, e ϕ:Ωs→R
Holder contínua. Então ϕ tem um único estado de equilíbrio µ ϕ em relação a f|Ωs. Além disso, µ ϕ
é ergódica; µ ϕ é Bernoulli se f |Ωs é topologicamente mixing.
Teorema 2.9. Seja Ωs um conjunto básico C 2 . As seguintes afirmações são equivalentes
(a) Ωs é um atrator
(b) m(W s (Ωs))>0
(c) Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=0
Teorema 2.10. Seja Ωs um atrator C 2 . Para m-qtp x∈W s (Ωs) temos que
n-1
lim(1/n) ∑g(f k x)=∫gdµ +
vii

n →∞ k=0
para todas as funções contínuas g:M→R (isto é, x é um ponto genérico para µ + ).
No Teorema 2.1, mostramos que existe um estado de equilíbrio para toda função Holder
contínua ϕ:Ωs→R, do conjunto básico Ωs de um para um difeomorfismo f do Axioma A. Em
particular, para a função Holder contínua ϕ (u) (x)=-logλ(x), onde λ(x) o Jacobiano da aplicação
linear Df:E u x→E u fx, existe um estado de equilíbrio µ + . No Teorema 2.9 mostramos que se Ωs é
um atrator então sua bacia de atração possui medida de Lebesgue positiva. Finalmente, no
Teorema 2.10 mostramos que se Ωs é um atrator então m-qtp x∈W s (Ωs) é um ponto genérico de
µ + . Isso implica que µ + é uma medida SRB para o conjunto básico Ωs.
Apesar de ser um trabalho publicado em 1975, continua relevante, e muito do que se estuda
atualmente em sistemas dinâmicos está relacionados às medidas SRB.
viii

CAPÍTULO 2
PRELIMINARES.
Vamos considerar, ao longo deste trabalho, que X é um conjunto, A sua σálgebra
e (X,A,µ) é um espaço de probabilidades de X, onde µ:A→[0,1] é uma
medida, com µ(X)=1. Dizemos que T:X→X preserva medida se µ(T -1 (A))=µ(A)
para todo A∈A. Um automorfismo T:X→X é uma bijeção mensurável e que
preserva medida, isto é,
(i) A∈A se e somente se T -1 (A)∈A
(ii) µ(T -1 (A))=µ(A) para todo A∈A .
Seja X um espaço métrico compacto. Denotamos por M(X) o conjunto de todas
as probabilidades sobre os borelianos de X. Se T:X→X é uma aplicação contínua
denotamos por MT(X) ao conjunto das µ∈M(X) que são T-invariantes. Vamos
introduzir a topologia em M(X) definida pela base de vizinhanças
Vϕ,ε(µ)={ν∈M(X):⎥⎥∫Xϕdν-∫Xϕdµ⎜⎜≤ε}
onde ε>0 e ϕ:X→R é contínua.
Dada T:X→X podemos definir T*:M(X)→M(X) como (T*µ)(A)=µ( T -1 (A))
para todos os borelianos A∈A. Observe que T* é contínua em relação a topologia
de M(X). Seja C(X)* o espaço dos funcionais lineares α:C(X)→R. Para cada
µ∈M(X) o Teorema da representação de Riesz nos diz que existe um único
funcional linear αµ∈C(X)* definido por αµ(f)=∫ fdµ. Portanto µ↔αµ é uma bijeção
entre M(X) e {α∈C(X)*/ α(1)=1 e α(f)≥0 quando f ≥0}.
Temos então as seguintes proposições sobre M(X) e MT(X), cujas provas podem
ser verificadas nas referências indicadas.
Proposição 0.1 [M.1]. M(X) é um espaço métrico compacto.
Proposição 0.2 [M.1]. MT(X) é um subconjunto fechado não-vazio de M(X).
Proposição 0.3 [B.1]. µ∈MT(X) se e somente se ∫(foT)dµ=∫fdµ para toda f∈C(X).
Se µ:A→[0,+∞] e ν:A→[0,+∞] são medidas, dizemos que µ é absolutamente
contínua em relação a ν, que denotamos por µ

que µ(A)=0. Deve-se observar que isso não significa que a recíproca é verdadeira,
ou seja, µ(A)=0 não implica em ν(A)=0.
Dizemos que uma função f∈L 1 (X), onde L 1 (X) é o conjunto das funções
integráveis de X em R, é T-invariante se foT=f para quase todo ponto (q.t.p.) x∈X.
Seja X um espaço topológico e T:X→X uma transformação. Uma órbita de um
ponto x∈X é o conjunto dos pontos {T n (x)}: n∈N}. Definimos o ω-limite de um
ponto x∈X como sendo o conjunto dos pontos y∈X tais que para toda vizinhança
U de y a relação T n (x)∈U é satisfeita para infinitos valores n>0. Se X é métrico
isso é equivalente a lim inf d(T n (x),y)=0. Mais formalmente,
ωT(x)={y∈X: ∃ uma sequência ni →+∞ tal que T ni (x)→y}.
Uma transformação contínua T de um espaço topológico X é transitiva se existe
x∈X tal que ωT(x)=X. T é topologicamente transitiva se para todo par de conjuntos
abertos não vazios U e V em X existe um inteiro n tal que T n (U)∩V≠∅. Dizemos
que T é topologicamente mixing se para todo par de aberto não vazios U e V em X
existe N>0 tal que para todo n>N temos que
T -n (U)∩V≠∅.
O lema seguinte mostra que se T é topologicamente transitiva então ela é
transitiva.
Lema 0.4. Se T:X→X é uma aplicação contínua e topologicamente transitiva de
um espaço métrico compacto, então existe um ponto x∈X tal que se U≠∅ é aberto
e N>0, então T n x∈U para algum n≥N.
Prova. Seja U1, U2,... uma base para a topologia. Por transitividade, o conjunto
aberto
Vi,N=∪ T -n Ui
n ≥ N
é denso em X. Então, pelo Teorema sobre Categoria de Baire (Ver [K.1], página
200) o conjunto
A=∩Vi,N
i,N
é denso em X e portanto existe um x∈∩Vi,N
Seja T uma transformação de um espaço de probabilidades (X,A,µ) que preserva
medida. Dizemos que um conjunto A∈A é T-invariante se T -1 (A)=A. A
x

transformação T é ergódica se todo conjunto T-invariante possui medida 0 ou 1. T
é mixing se para todo par de conjuntos A e B em A vale
lim µ(T -n (A)∩B)=µ(A)µ(B)
n →∞
Observe que as transformações mixing são ergódicas pois se T -1 (A)=A para todo n,
então
µ(A)µ(A c )= lim µ(T -n (A)∩A c )= lim µ(A∩A c )=0
n →∞ n →∞
de modo que µ(A)=0 ou µ(A c )=0.
Um resultado de transcendental importância, envolvendo as transformações que
preservam medidas num espaço (X,A,µ) e uma função integrável f:X→R, é o
Teorema Ergódico, provado por Birkhoff em 1931. Seu enunciado preciso é o
seguinte:
Teorema 0.5.(Teorema Ergódico de Birkhoff [M.1]). Seja (X,A,µ) um espaço de
probabilidades e T:X→X uma transformação que preserva medida. Então
(a) Se f∈L 1 (X) o limite
n-1
lim(1/n)∑f(T j (x))
n →∞ j=0
existe para q.t.p. x∈X
(b) Se f∈L p (X), 1≤p

Dizemos que um ponto x∈X é genérico em relação à medida µ se, para todas as
funções reais contínuas ϕ∈C(X), a sequência de funções {ϕn(x)}, onde
n-1
ϕn(x)=∑ϕ(f k x)
k=0
tende para ∫ϕdµ quando n tende para ∞. Observe que se x é µ-genérico, então
também o será todo ponto pertencente à sua órbita.
Seja X um espaço topológico. Denotamos por Σ(X) o conjunto das sequências
x:Z→X e Σ + (X) o conjunto das sequências x:N→X, providos da topologia
produto. Se µ∈M(Σ(X)), denotamos por Σ µ(X) ao espaço Σ(X) provido da medida
µ. Quando X é um conjunto finito com n elementos simplificamos a notação
escrevendo Σ(X)=Σ n , Σ + (X)=Σ n + e identificamos X com o conjunto {1,...,n}
provido da topologia discreta. Definimos o shift σ:Σ(X)→Σ(X) como sendo a
transformação contínua tal que (σx)n=xn+1.
Dada uma medida µo∈M(X) pode-se provar (ver [F2]) que existe uma única
medida µ∈M(Σ(X)), denominada medida produto associada a µo, tal que
m
µ(C(j,Ao,...,Am)) = Πµo(Ai)
i=0
onde C(j,Ao,...,Am)={x ∈Σ(X): xj+i∈Ai, 0≤ i ≤ m} é chamado de um cilindro. O
shift σ:Σ(X)→Σ(X) é denominado shift de Bernouilli.
Dizemos que dois automorfismos de espaços de medidas T:(X,A,µ)→(X,A,µ) e
G:(Y,A,ν)→(Y,A,ν) são conjugados (ou topologicamente equivalentes) se existe
um homeomorfismo h:X→Y tal que hoT=Goh. Observe que isso implica que
hoT n =G n oh. Logo, a imagem de uma T-órbita por uma conjugação é uma G-órbita.
Ou seja, a conjugação envia T-órbitas em G-órbitas, preserva suas propriedades
topológicas, e pode ser interpretada como uma mudança contínua de variáveis que
identificam T e G. Pode-se ver facilmente que a conjugação topológica é uma
relação de equivalência. Assim, uma transformação T:(X,A,µ)→(X,A,µ) é
Bernouilli se é equivalente a um shift de Bernouilli.
Um subconjunto Λ⊂Σn é um subshift se é compacto e invariante sob σ, isto é
σ(Λ)=Λ. Dizemos que um subshift Λ é transitivo ou topologicamente mixing se
σ|Λ é, respectivamente, transitivo ou topologicamente mixing. O subshift Λ⊂Σn é
do tipo finito se existe uma matriz nxn A cujos coeficientes aij são 0 ou 1 e tal que
x∈Λ se e somente se ax(i)x(i+1)=1 para todo i∈Z. Neste caso denotamos Λ=ΣA.
Reciprocamente, dada uma matriz nxn A com coeficientes aij que assumem só
valores 0 ou 1 podemos definir o subconjunto Λ={x∈Σn: ax(i)x(i+1)=1 para todo
xii

i∈Z} que, pode-se mostrar facilmente [M.1], é um conjunto compacto e σ(Λ)=Λ.
Se aij=1 para todo i,j obtemos Λ=Σn.
Lema 0.6 [B.1]. Seja ΣA⊂Σn um subshift do tipo finito e sejam aij (m) os coeficientes
de A m , m≥0. Então σ:ΣA→ΣA é topologicamente mixing (isto é, quando U, V são
subconjuntos não vazios de ΣA, existe um N tal que σ k U∩V≠∅ ∀ k≥N) se e
somente se A M >0 (i.e, aij (M) >0 ∀ i,j) para algum M.
Uma função ϕ:X→R é Hölder contínua se existem constantes a, θ>0 tais que
⏐⏐ϕ(x)−ϕ(y)⏐⏐≤a.d(x,y) θ . Seja ϕ:Σn→R contínua. Vamos definir varkϕ=sup{|ϕ(x)-
ϕ(y)|: xi=yi ∀ | i |≤k}. Observe que lim varkϕ=0, pois ϕ é uniformemente contínua.
k →∞
Um resultado da mecânica estatística ( ver [D.1], [R.1] e [L.2]), estabelece que
existe uma única medida σ-invariante µϕ, denominada medida de Gibbs de ϕ.
Teorema 0.7 [B.1]. Suponha ϕ:Σn→R e que existem c>0, α∈(0,1) tal que
varkϕ≤cα k para todo k. Então existe uma única µϕ∈Mσ(Σn) para a qual podemos
encontrar constantes c1>0, c2>0 e P tais que
para todo x∈Σn e m≥0.
µϕ ({y : yi=xi, ∀ i=0,...,m-1})
c1≤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≤c2
m-1
exp(-mP+∑ϕ(σ k x))
k=0
Seja FA a família de todas as aplicações contínuas ϕ:ΣA→R para as quais
varkϕ≤bα k para todo k≥0 e algumas constantes positivas b e α∈(0,1). Para
qualquer β∈(0,1) podemos definir uma métrica dβ sobre ΣA por dβ(x,y)=β N onde N é
o maior inteiro não negativo tal que yi=xi para todo |i|≤N. Então FA é exatamente o
conjunto das funções que tem um expoente Hölder positivo em relação a dβ.
Posteriormente, o resultado do Teorema 0.7 foi estendido para ΣA [B.4].
Teorema 0.8 [B.1]. (Existência de medidas de Gibbs). Suponha que ΣA é
topologicamente mixing e ϕ∈FA . Existe uma única medida de probabilidade de
Borel σ-invariante para a qual podemos achar constantes c1>0, c2>0 e P tais que
µ({y : yi=xi, ∀ i=0,...,m-1})
c1≤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≤c2
m-1
xiii

para todo x∈ΣA e m>0.
exp(-mP+∑ϕ(σ k x))
k=0
Esse teorema é uma generalização do Teorema 0.7 e sua prova foi realizada por
Sinai, Ruelle e Bowen em 1974.
Dizemos que duas funções ψ e ϕ∈C(ΣA) são homólogas em relação a σ, que
denotamos por ϕ∼ψ, se existe uma u∈C(ΣA) tal que
ψ(x)=ϕ(x)-u(x)+u(σx).
Lema 0.9. Se ϕ1∼ϕ2 e o Teorema 0.8 vale para ϕ1, então vale para ϕ2 e µϕ1=µϕ2.
m-1 m-1 m-1
Prova. |∑ϕ1(σ k x)-∑ϕ2(σ k x)|=|∑(u(σ k+1 x)-u(σ k x))|≤|u(σ m x)-u(x)|≤2||u||.
k=0 k=0 k=0
Assim a exponencial na desigualdade do Teorema 0.8 varia no máximo de um
fator e 2 || u || quando ϕ1 e substituída por ϕ2. Portanto a desigualdade permanece válida
com c1, c2 modificadas e P, µ sem mudanças.
Lema 0.10 [B.1]. Se ϕ∈FA, então ϕ é homóloga a alguma ψ∈FA com ψ(x)= ψ(y)
sempre que xi=yi para todo i ≥ 0.
Os Lemas 0.9 e 0.10 nos dizem que na busca das medidas de Gibbs µϕ, para
ϕ∈FA, podemos restringir nossa atenção para as funções ϕ para as quais ϕ(x)
depende apenas de {xi} ∞
i=0. Ou seja, precisamos obter as medidas de Gibbs para
ϕ∈C(ΣA + )∩(FA), que também serão medidas de Gibbs para toda ϕ∈FA.
Seja σ:ΣA + →ΣA + uma aplicação definida por σ(x)i=xi+1. note que σ é uma
aplicação contínua não injetiva em ΣA + . Se ϕ∈C(ΣA + ) podemos definir ϕ∈C(ΣA)
por ϕ({xi} ∞ i=-∞)=ϕ({xi} ∞
i=0). Também, se ϕ∈C(ΣA) satisfaz a ϕ(x)=ϕ(y) sempre
que xi=yi para todo i≥0, então podemos pensar em ϕ como pertencendo a C(ΣA + ) da
seguinte maneira: ϕ({xi} ∞
i=0) = ϕ({xi} ∞
i=-∞) com os xi, escolhidos de modo que
{xi} ∞
i=-∞∈ΣA. Portanto as funções C(ΣA + ) são identificadas com uma certa subclasse
de C(ΣA).
Para ϕ∈C(ΣA + ) vamos definir o operador de Perron Froebenius L=Lϕ, sobre
C(ΣA + ), por
(Lϕf)(x)=∑e ϕ(y) f(y).
y∈σ -1 (x )
xiv

O fato de que σ não é injetora em ΣA + torna este operador extremamente útil.
Vamos definir também
m-1
Smϕ(x)=∑ϕ(σ k x).
k=0
É fácil mostrar por indução que para f, g∈C(ΣA + ) vale
e
m S (y) mϕ (Lϕ f)(x)=∑e f(y).
y∈σ -m (x )
m S (y) m m m mϕ ((Lϕ f).g)(x)=∑e f(y)g(σ y)= Lϕ (f.(goσ ))(x) (1)
y∈σ -m (x )
Vamos considerar o funcional linear αµ:C(∑A)→R, tal que αµ(f)=∫ fdµ.Então vale
o seguinte resultado.
Teorema 0.11. [B.1] (Teorema de Ruelle-Perron-Froebenius). Seja ΣA
topologicamente mixing, ϕ∈C(ΣA + )∩(FA) e L = Lϕ definida acima. Existem λ>0,
h∈C(ΣA + ) com h>0 e ν∈M(ΣA + ) para os quais Lh=λh, L*ν=λν, αν(h)=1 e
lim||λ -m L m g-αν(g)h||=0 para toda g∈C(ΣA + ).
m →∞
Seja ϕ∈C(ΣA + )∩(FA) e ν, h, λ satisfazendo o Teorema 0.11. Então dµ=hdν é
uma probabilidade sobre ΣA + , com αµ(f) = ∫ f(x)dµ = ∫ f(x)h(x)dν = αν(fh).
Lema 0.12. µ é invariante por σ:ΣA + →ΣA +
Prova. Precisamos mostrar que αµ(f)= αµ(foσ). De (1) resulta que
Também
((Lϕf)g)(x)=L(f.(goσ))
αµ(f)= αν(hf)= αν(λ -1 (L h)f)
= λ -1 αν(L(h.(foσ)))=λ -1 α L *ν(h.(foσ))
= αν(h.(foσ))=αµ(foσ)
Portanto µ é σ-invariante.
Como µ é σ-invariante em ΣA + existe um modo natural de torná-la uma medida
sobre ΣA. Para f∈C(ΣA) defina f*∈C(ΣA + ) por
f*({xi} ∞ i=0)=min{ f(y): y∈ΣA, yi=xi para todo i≥0}.
Observe que para m, n ≥ 0 temos
xv

|| (foσ n )*oσ m - ( foσ n+m )*||≤varnf .
Daí, |αµ((foσ n )*)-αµ(( foσ n+m )*)|= |αµ((foσ n )*o σ m )-αµ(( foσ n+m )*)| ≤ varnf, que tende a
0 quando n→∞ pois f é contínua. Portanto, pelo critério de Cauchy,
αν(f)=limn→∞αµ((foσ n )*) existe e ν∈C(ΣA + )*. Pelo Teorema da representação de
Riesz vemos que ν é uma probabilidade sobre ΣA e
αν(foσ)=lim µ((foσ n+1 )*)= αν(f)
n →∞
o que mostra que αν é σ-invariante. Também αν(f)= αµ(f ) para f∈C(ΣA + ).
Proposição 0.13 [B.1]. µ é mixing para σ:ΣA→ΣA.
Teorema 0.14 [B.1]. µ é uma medida de Gibbs para ϕ∈C(ΣA + )∩(FA).
Uma partição ℘ de um espaço de probabilidades (X,A,µ) é uma família de
subconjuntos de A, com medida não-nula, tais que
A,B∈℘ ⇒ µ(A∩B)=0
µ(X- ∪ A)=0.
A∈℘
Portanto ℘ é uma família finita ou enumerável. Os conjuntos da família
denominam-se átomos da partição. Se ℘n, n=1,...N, são partições definimos a
partição ∨1 N ℘n como aquelas cujos átomos são todos os conjuntos da forma
A1∩...∩An com Ai∈℘i, i=1,...,n e tais que µ(A1∩...∩An)≠0. Se ℘ e Q são
partições diz-se que Q é mais fina do que ℘, que denotado por ℘≤Q, se todo
átomo de Q está contido mod (0) (a menos de um subconjunto de medida nulo) em
algum átomo de ℘. Isso implica que todo átomo de ℘ pode ser escrito como uma
união de átomos de Q mod (0), . Como exemplo, seja ℘={P1,P2} e Q={Q1,Q2}
como mostrado nas fig.1 e fig.2. Então ℘∨Q é a partição dada por ℘∨Q={P1∩Q1,
P1∩Q2, P2∩Q1, P2∩Q2} mostrada na fig.3.
X X X
P1
Q1 Q2
xvi
P1∩Q1 P1∩Q2
P2 P2∩Q1 P2∩Q2
fig.1. Partição ℘ fig.2. Partição Q fig.3. Partição ℘∨Q

Sejam ℘ e Q partições do espaço de probabilidades (X,A,µ). Definimos a entropia
de ℘ como
H(℘ )= - ∑µ(P).log µ(P)
P∈℘
e a entropia relativa de ℘ em relação a Q como
H(℘/Q)= - ∑µ(P∩Q).logµ[(P∩Q)/µ(Q)].
P∈℘
Q ∈ Q
xvii
Vale a seguinte proposição, cuja prova pode ser verificada em [M.1].
Proposição 0.15. Sejam ℘, Q e D partições do espaço de probabilidades (X,A,µ).
Então valem:
a) H(℘∨Q/D )= H(℘/D )+ H(Q/℘∨D )
b) se ℘≤Q então
H(℘/D)≤H(Q/D)
H(D/℘)≥H(D/Q)
c) H(Q)≤ H(℘)+H(Q/℘ )
d) H(℘∨Q/D )≤ H(℘/D)+H(Q/D)
e) Se T:X→X preserva medida então H(T -1 ℘/T -1 Q)=H(℘/Q)
f) H(℘/Q)=0 se e somente se ℘≤Q.
Note que se 1={X} é a partição trivial, resulta de (d) que H(℘∨Q)≤H(℘)+H(Q).
Vamos apresentar agora dois lemas que serão usados para provar outros resultados.
Lema 0.16. Se an, n≥1, é uma sequência de números reais tais que inf(an/n)>-∞ e
an+m≤an+am para todo m,n então existe lim(an/n). n
n →∞
Prova. Seja c=inf(an/n). Dado ε>0 seja n0 tal que (an/n0)≤c+ε. Então se n>n0
podemos escrever n=n0.p+q, com p e q inteiros tais que p≥1, 0≤q

xviii
Se n é suficientemente grande então n -1 sup aj

e
Zm(ϕ)=∑exp(sup Smϕ)
a0a1... am
definimos a pressão P(ϕ) de ϕ como sendo
P(ϕ)=lim (1/m).log Zm(ϕ).
m→∞ O seguinte lema garante a existência de P(ϕ).
Lema 0.19. Seja ϕ∈C(ΣA). Então P(ϕ) existe.
Prova. Observe que
sup Sm+nϕ≤sup Smϕ + sup Snϕ.
a0... am + n-1 a0... am -1 am... am + n-1
Então 0

Portanto, tomando o limite quando m→∞, temos que s(µ)+∫ϕdµ≤P(ϕ).
Teorema 0.21 [B.1]. Seja ϕ∈FA, ΣA mixing e µϕ a medida de Gibbs de ϕ. Então µϕ
é a única µ∈Mσ(ΣA) para a qual s(µ)+∫ ϕdµ=P(ϕ).
Teorema 0.22. Seja ΣA mixing e ϕ,ψ∈FA. As seguintes afirmações são
equivalentes:
(i) µϕ=µψ
(ii) Existe uma constante K tal que Smϕ(x)-Smψ(x)=mK quando σ m x=x.
(iii) Existem uma constante K e u∈FA tal que ϕ(x)=ψ(x)+K+u(σx)-u(x) para todo
x.
(iv) Existem constantes K e L tais que ⎜⎜Smϕ(x)-Smψ(x)-mK⎪⎪≤L para todo x e todo
m>0.
Se essas condições valem, então K=P(ϕ)-P(ψ).
Prova. (iii)⇒(iv)
Se (iii) vale, então
Smϕ(x)=Smψ(x)+SmK+Sm(u(σx)-u(x))
Smϕ(x)-Smψ(x)-mK= Sm(u(σx)-u(x))
e tomando-se L≥ Sm(u(σx)-u(x)) resulta
Smϕ(x)-Smψ(x)-mK≤L
(iv)⇒(i)
Observe que (iv) implica que ϕ e ψ são homólogas e portanto, pelo Lema 0.9,
temos µϕ=µψ.
(i)⇒(ii)
Vamos supor que µϕ=µψ e σ m x=x. Do Teorema 0.8 como µϕ=µψ, temos que
exp(-jP(ϕ)+Sjϕ(x))
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∈[d1,d2]
exp(-jP(ψ)+Sjψ(x))
onde d1>0, d2 são independentes de x e j. Isso é equivalente a
⎪⎪Sjϕ(x)-Sjψ(x)-j(P(ϕ)-P(ψ))⎪⎪≤M
xx

para algum M independente de j e x. Se σ m x=x, tomando-se j=km, resulta que
Sjϕ(x)=kSmϕ(x) e
M>k⎪⎪Smϕ(x)-Smψ(x)-m(P(ϕ)-P(ψ))⎪⎪.
Fazendo-se agora k→∞, obtemos (ii), com K=P(ϕ)-P(ψ).
(ii)⇒(iii)
Vamos supor agora que (ii) vale, e seja x como no Lema 0.4, para X=ΣA e T=σ
(mixing é mais forte do que transitividade). Seja η=ϕ-ψ-K∈FA, Γ={σ k x/k≥0} e
u:Γ→R definida por
k-1
u(σ k x)=∑η(σ j x).
j=0
Como ΣA é mixing, então Γ é denso em ΣA e infinito (exceto no caso trivial em que
ΣA tem um único ponto) e x não é periódico. Portanto σ k x≠σ m x para m≠k e u é bem
definida sobre Γ. Vamos estimar var(u|Γ). Suponhamos que y=σ k x, e z=σ m x (m>k)
concordam nas posições que vai de –r até r. Então xk+s=xm+s para todos ⎜⎜s⎥⎥≤r.
Vamos definir w∈ΣA por
wi=xt, para i≅t (mod(m-k)), k≤t≤m.
Então σ m-k w=w e x, w concordam nas posições (k-r) a (m+r); e portanto σ j x, σ j w
concordam nas posições que vai de k-r-j até m+r-j. Agora
m-1
u(z)- u(y)=∑η(σ j x).
j=k
Como (ii) implica que
então
∑η(σ j w)=0,
m-1
⎮⎮u(z)- u(y)⎮⎮≤∑⎮⎮η(σ j x)-η(σ j w)⎮⎮
j=k ∞
≤varrη+varr+1η+...+ varr+1η+ varrη≤2∑varsη.
s=r
xxi

Como η∈FA, varsη≤cα s para algum α∈(0,1) e
∞
varr(u|Γ)≤2c∑α s =2cα r /(1-α)
s=r
xxii
Logo u é uniformemente contínua sobre Γ e portanto se estende unicamente para
uma função contínua u:ΣA=Γ→R. Pelo fato de varru=varr(u|Γ), temos que u∈FA.
Para z∈Γ,
u(σz)-u(z)=η(z)
e esta equação estende-se, por continuidade, para ΣA.
No Lema 0.9 mostramos que se ϕ e ψ são homólogas então µϕ=µψ. Observe que
no ítem (iii) do Teorema 0.22 estabelecemos que se µϕ=µψ então ϕ é homólogo a ψ
+K.
Duas partições ℘ e ℜ são chamadas ε-independentes se
∑⎪⎪µ(P∩R)-µ(P)µ(R)⎪⎪0 existe um N(ε) tal que
℘=U∨σ -1 U∨...∨σ -s U e ℜ=σ -t U∨...∨σ -t-r U
são ε-independentes para todo s≥0, r≥0, t≥s+N(ε). Friedman e Ornstein [F.2]
mostraram que se U é Bernoulli fraca, então (σ,µ) é conjugado a um shift de
Bernoulli. Bowen [B.1], por sua vez, mostrou que U é Bernoulli fraca para a
medida de Gibbs.
Teorema 0.23 [B.1]. U é Bernoulli fraca para a medida de Gibbs µ=µϕ.
Seja T um automorfismo de um espaço de probabilidades (X,A,µ) e D uma
partição mensurável. Definimos a entropia da transformação T como o supremo
de h(T,D) tomado sobre todas as partições finitas de (X,A,µ). Ou seja
hµ(T)=sup hµ(T,D).
Lema 0.24 [B.1,M.1]. Sejam T um automorfismo de um espaço de probabilidades
(X,A,µ), C e D duas partições finitas de X. Então valem

a) h(T,C)-h(T,D)≤ Hµ(C/D)
b) Se D≤C, então h(T,D)≤h(T,C)
c) Para todo n≥0 tem-se que h(T, D∨T -1 D∨...∨T - n D)=h(T,D)
xxiii
Proposição 0.25. Transformações isomorfas possuem a mesma entropia.
Prova. Sejam T e S transformações isomorfas dos espaços de medidas (X,A,µ) e
(Y,B,ν), respectivamente. Sejam π:X→Y um isomorfismo tal que π*µ(E)=ν(E) e
℘ uma partição de X. Então ℘1=π(℘) é uma partição sobre Y e é fácil ver que
T=π -1 oSoπ e T -n =π -1 oS -n oπ. Se P∈T -(n-1) ℘1, para todo n∈Ν, então π(P)∈π(T -(n-
1) ℘1). Mas πoT -(n-1) =S -(n-1) oπ e portanto π(P)∈S -(n-1) (π℘)=S -(n-1) π℘1. Logo se E é
um átomo qualquer da partição ℘1∨S -1 ℘1∨...∨S -(n-1) ℘1 então π -1 (E) é um átomo
da partição ℘∨T -1 ℘∨...∨T -(n-1) ℘. Assim µ(π -1 E)=ν(E) e
o que implica que
e portanto
µ(π -1 E).logµ(π -1 E)=ν(E).log(ν(E))
H(℘∨T -1 ℘∨...∨T -(n-1) ℘)=H(℘1∨S -1 ℘1∨...∨S -(n-1) ℘1)
h(T,℘)=lim(1/n)H(℘∨T -1 ℘∨...∨T -(n-1) ℘)
=lim(1/n)H(℘1∨S -1 ℘1∨...∨S -(n-1) ℘1)=h(S,℘1).
Como h(T) é o supremo de h(T,℘), tomado sobre todas as partições finitas de
(X,A,µ), então h(T)=h(S).
Proposição 0.26 [M.1]. Seja T uma transformação que preserva medida. Então
h(T n )=n.h(T) para todo n≥0.
Prova. Seja℘ uma partição e D=℘∨T -1 ℘∨...∨T -(n-1) ℘. Então
n.h(T,℘)=lim(n/nm) H(℘∨T -1 ℘∨...∨T -(nm-1) ℘)
m →∞
=lim(1/m) H(D∨T -n D∨...∨T -(m-1)n D)
m →∞
=h(T n ,D)≤h(T n )

xxiv
Variando ℘, resulta que nh(T)≤h(T n ). Por outro lado, pelo Lema 0.24 (b) temos
que
h(T n ,℘)≤h(T n ,D)=nh(T,℘). Portanto
h(T n )=sup h(T n ,℘)≤n sup h(T,℘)=nh(T)
℘ ℘
Lema 0.27. Sejam X um espaço métrico compacto, µ∈M(X), e D={D1,...,Dn} uma
partição de Borel de X. Se {Cm}m=1 ∞ é uma sequência de partições tais que diamCm
tende a 0 quando m tende para ∞ e
diamCm= max(diamC).
C ∈ Cm
Então existem partições Em={Em 1,...,Em n} tais que
1. Cada Em i é uma união de membros de Cm
2. lim µ(Em i Δ Di)=0 para cada 1 ≤ i ≤ n.
m →∞
Prova. Tomemos os conjuntos compactos K1,...,Kn com Ki⊂Di e µ(Di-Ki)

e portanto
µ(Ei∩Cj)= µ((EiΔCi)∩Cj)≤µ(EiΔCi)

xxvi
cobertura aberta finita de X, Wm(U) o conjunto de todas as m-sequências
U=Ui0Ui1...Uim-1 de membros de U. Definimos
X(U)={x∈X: T k x∈Uik para k=0,...,m-1}
m-1
Smϕ(U)=sup{∑ϕ(T k x): x∈X(U)}
k=0
Caso X(U)=∅, definimos Smϕ(U)=-∞. Dizemos que Γ⊂Wm(U) cobre X se
X=∪X(U). Finalmente definimos
U∈Γ
Zm(ϕ,U)=inf ∑exp(Smϕ(U))
Γ U ∈Γ
onde Γ varia em todos os subconjuntos de Wm(U) que cobrem X. São válidos os
seguintes resultados
Lema 0.31 [B.1]. Existe e é finito o limite P(ϕ,U)=lim(1/m).log Zm(ϕ,U).
m →∞
Proposição 0.32 [B.1]. Existe (mas pode ser +∞) o limite P(ϕ)=lim P(ϕ,U).
diamU → 0
Teorema 0.33 [B.1]. Seja T:X→X uma aplicação contínua de um espaço métrico
compacto e ϕ∈C(X). Então para todo µ∈MT(X)
hµ(T)+∫ ϕdµ≤P(ϕ)
Proposição 0.34 [B.1]. Seja T1:X→X, T2:Y→Y aplicações contínuas nos espaços
métricos compactos X, Y, e π:X→Y contínua e sobrejetora satisfazendo
πoT1=T2oπ. Então, para ϕ∈C(Y),
PT2(ϕ)≤PT1(ϕoπ)
Teorema 0.35 [B.1]. (Princípio Variacional). Sejam T:X→X uma aplicação
contínua num espaço métrico compacto, µ∈MT(X), e ϕ∈C(X). Então
PT(ϕ)=sup(hµ(T)+∫ ϕdµ).
µ
Corolário 0.36 [B.1]. Seja {Xα}α∈Λ uma família de subconjuntos compactos de X e
TXα⊂Xα para cada α. Então
PT(ϕ)=sup PT/x α(ϕ⎪⎪Xα).
α

xxvii
Lema 0.37. Seja T:X→X uma aplicação contínua de um espaço métrico compacto
e ϕ∈C(X). Então, para n>0, vale
PTn(Snϕ)=nPT(ϕ).
Prova. Seja µ∈MT(X). Pela Proposição 0.26 temos que h(T n )=n.h(T). Também
n-1 n-1
∫Snϕdµ=∫∑(ϕoT k )dµ=∑∫(ϕoT k )dµ=n∫ϕdµ.
k=0 k=0
Então, pelo Teorema 0.35, temos que
PTn(Snϕ)=sup(hµ(T n )+∫Snϕdµ).
µ
=sup(n.hµ(T)+n∫ ϕdµ)=nPT(ϕ).
µ
Dizemos que µ∈MT(X) é um estado de equilíbrio para ϕ em relação a T se
satisfaz a hµ(T)+∫ϕdµ= PT(ϕ). No caso de ϕ∈FA vimos que a medida de Gibbs é o
único estado de equilíbrio de ϕ.
Proposição 0.38 [B.1]. Suponha que para algum ε>0 tenhamos hµ(T)=hµ(T,D)
quando µ∈MT(X) e diam D

CAPÍTULO 3
DIFEOMORFISMOS HIPERBÓLICOS
xxviii
Seja X um espaço topológico e f:X→X uma aplicação contínua. Um ponto x∈X
é errante se possui uma vizinhança U tal que f k (U)∩U=∅ para todo k>0. Se não
existir tal vizinhança, dizemos que o ponto é não errante. Denotaremos o conjunto
dos pontos não errantes por Ω(f). Quando não houver risco de confusão
escreveremos simplesmente Ω.
Proposição 1.1. Ω é fechado e f(Ω)⊂Ω. Além disso, se f é um homeomorfismo,
então f(Ω)=Ω e um ponto é não errante para f se e somente se é não errante para f -
1 .
Prova. Por definição o conjunto dos pontos errantes é aberto, e portanto o seu
complementar é fechado. Se x∈Ω e U é uma vizinhança de f (x), então f -1 (U) é
uma vizinhança de x. Logo existe um k>0 tal que f k (f -1 (U))∩f -1 (U)≠∅ e portanto a
imagem desta interseção em f está contida em f k (U)∩U, que é portanto não vazia.
Isso significa que f(x)∈Ω e então f(Ω)⊂Ω.
Se f é um homeomorfismo e x∈Ω(f), então para toda vizinhança U de x, existe
um k>0 tal que f k (U)∩U≠∅. A imagem f -k desta interseção está contida em
U∩f -k (U), que é não vazia, e então x∈Ω(f -1 ). Também, como Ω=f(f -1 (Ω)), temos
e assim f(Ω)=Ω.
Ω=f(f -1 (Ω))⊂f(Ω)⊂Ω
Dizemos que um ponto x∈X é periódico se f n x=x para algum n>0. Observe que
x é claramente não errante, ou seja x∈Ω(f). Como Ω(f) é fechado, o fecho do
conjunto Per(f)={x∈X: x é periódico} está contido em Ω(f).
____
Per(f)⊂Ω(f).
Sejam f:X→X um homeomorfismo e x∈X. Definimos o conjunto α-limite de x
como sendo
αf (x)={y∈X: ∃ uma sequência ni→-∞ tal que f ni (x)→y}.
Dados os conjuntos ω-limite (ωf (x)) e α-limite (αf (x)) de x vamos definir agora
os conjuntos

______
L+(f)=∪ωf (x)
x ∈ X
______
L-(f)=∪αf (x)
x ∈ X
L(f)=L+(f)∪L-(f)
Proposição 1.2. L(f) está contido em Ω(f).
xxix
Prova. Seja y∈ωf (x) e U uma vizinhança de y. Então existem inteiros m>n>0 tais
que f m (x) e f n (x) pertencem a U. Portanto, f m-n (U)∩U≠∅ e assim y∈Ω(f). Uma
argumentação semelhante se aplica ao conjunto dos pontos α-limites e a f -1 .
É interessante se observar que Per(f)⊂L(f)⊂Ω(f).
Seja f:M→M um difeomorfismo de uma variedade Riemanniana compacta C ∞ ,
M. A derivada de f é uma aplicação Df:TM→TM, onde TM=∪TxM é o fibrado
tangente de M e Dfx:TxM→Tf(x)M. x ∈ M
Um subconjunto fechado Λ⊂M é hiperbólico se f(Λ)=Λ e cada espaço tangente
TxM, com x∈Λ, pode ser escrito como a soma direta de subespaços E u x, E s x, isto é
TxM=E u x⊕E s x, tais que
a) Df(E s x)=E s f(x), Df(E u x)=E u f(x)
b) Existem constantes c>0 e λ∈(0,1) tais que
||Df n (v)||≤cλ n ||v|| quando v∈E s x, n≥0
||Df -n (v)||≤cλ n ||v|| quando v∈E u x, n≥0
c) E s x, E u x variam continuamente com x. (Na realidade esta condição segue das
outras.)
Observe que E u =∪x∈ΛE u x e E s =∪x∈ΛE s x são subfibrados de TΛM=∪x∈ΛTxM e
TΛM=E u ⊕E s . A condição (c) independe da métrica escolhida sobre M, embora as
constantes c e λ dependam, pois se || ||1 e || ||2 são duas normas equivalentes em
TxM, existem constantes positivas c1’ e c2’ tais que

c1’|| ||2≤ || ||1≤c2’|| ||2.
Como M é compacta podemos fazer uma estimativa global semelhante sobre TM.
Ou seja, existem c1>0 e c2>0 tais que
c1|| ||2≤ || ||1≤c2|| ||2.
Então a independência da noção de hiperbolicidade em relação à escolha da
métrica segue de
e portanto
O que resulta
||Df n (v) ||1≤cλ n ||v||1, v∈E s x, n≥0
||v||1≤c2||v||2
c1||Df n (v)||2≤c2cλ n ||v||2, v∈E s x, n≥0.
||Df n (v)||2≤(c 2 /c1)cλ n ||v||2, v∈E s x, n≥0.
Um difeomorfismo f:M→M de uma variedade Riemanniana compacta C ∞ , M,
satisfaz ao Axioma A se
a) Ω(f) é hiperbólico
____
b) Ω(f)=Per(f).
Quando M é hiperbólico para f, dizemos que f é de Anosov. Mostraremos, mais
adiante, que esses difeomorfismos sempre satisfazem ao Axioma A.
xxx
Dizemos que uma métrica é adaptada a um difeomorfismo f, que satisfaz ao
Axioma A, se Ω(f) é hiperbólico em relação a ela, com c=1. Um resultado
apresentado por Mather [H.1] nos diz que
Lema 1.3. Todo difeomorfismo do Axioma A possui uma métrica adaptada.
De agora em diante usaremos sempre uma métrica adaptada, pois isto
simplificará várias estimativas.

xxxi
Sejam M uma variedade Riemanniana compacta C r , r>1, e f:M→M um
s
homeomorfismo. Definimos a variedade estável local Wε (x) e a variedade instável
u
local Wε (x) como
s n n
Wε (x)={y∈M: d(f (y), f (x))≤ε, n≥0}
u n n
Wε (x)={y∈M: d(f (y), f (x))≤ε, n≤0}
Em geral esses conjuntos podem ter uma estrutura extremamente complexa.
Porém, quando f é um difeomorfismo do Axioma A e ε é suficientemente pequeno,
eles são difeomorfos a discos, como mostra o seguinte Teorema da Variedade
Estável.
Teorema 1.4 [H.1]. Seja Λ um conjunto hiperbólico para um difeomorfismo C r , f.
Então existe um ε>0, pequeno, tal que
s u r s s
a) Wε (x), Wε (x) são C difeomorfos a discos para x∈Λ com TxWε (x)=E x,
u u
TxWε (x)=E (x).
b) d(f n x, f n y)≤λ n s
d(x,y) para y∈Wε (x), n≥0
d(f -n x, f -n y)≤λ n u
d(x,y) para y∈Wε (x), n≥0
s u
c) Wε (x), Wε (x) varia continuamente com x.
Definimos também as variedade estável e instável de um ponto x∈M,
respectivamente, como
W s (x)={y∈M: d(f n y, f n x)→0 quando n→∞}
W u (x)={y∈M: d(f -n y, f -n x)→0 quando n→∞}
Observe que para todo n e x∈M vale
f n (W s (x))=W s (f n x).
Se f é um difeomorfismo do Axioma A temos, como consequência do Teorema 1.4
(b), que

s s
Wε (x)⊂W (x).
xxxii
Teorema 1.5.(Existência de Coordenadas Canônicas). Se f satisfaz ao Axioma
A, existe um ε0>0 tal que para todo 00 tal que
s u
Wε (x)∩Wε (y) consiste de um único ponto [x,y] para todo x,y∈Ω(f) satisfazendo a
d(x,y)≤δ. Além disso, [x,y]∈Ω(f) e a aplicação [.,.]:{(x,y)∈ΩxΩ: d(x,y)≤δ}→Ω é
contínua.
Este teorema foi demonstrado inicialmente por Anosov e foi posteriormente
generalizado por Hirsh, Pugh e Shub [H.1]. Para uma prova detalhada ver [S.2].
A primeira afirmação do Teorema 1.5 resulta do fato que a interseção
s u
Wε (x)∩Wε (x)={x} é transversal e portanto essas interseções são preservadas para
perturbações suficientemente pequenas. Para se mostrar que [x,y]∈Ω(f), usa-se o
fato de que o conjunto dos pontos periódicos é denso em Ω(f). No caso de um
Anosov, temos naturalmente que [x,y]∈Ω e portanto as coordenadas canônicas
estão em M (ao invés de Ω(f)) sem qualquer suposição sobre os pontos periódicos.
Dizemos que Ω(f) tem uma estrutura de produto local se [x,y]∈Ω(f) para todo
x,y∈Ω(f).
Lema 1.6. Seja Λ um conjunto hiperbólico. Então existe um ε>0 tal que Λ é
expansivo em M, isto é, se x∈Λ e y∈M com y≠x, então d(f k x, f k y)>ε para algum
k∈Z.
Prova. Suponhamos que Λ não é expansivo em M. Então dado um ε>0, que
satisfaz ao Teorema 1.4, e x∈Λ, existe um y∈M, com y≠x, tal que d(f k x,f k y)1, f:M→M um
homeomorfismo e A um subconjunto invariante fechado. A decomposição
A=P1∪...∪Ps é uma decomposição espectral de A se
a) Os Pi são subconjuntos invariantes fechados e disjuntos aos pares tais que f ⎜⎜Pi é
um homeomorfismo topologicamente transitivo.
b) Cada Pi é decomposto como uma união disjunta de subconjuntos
Pi=X1,i∪...∪Xni,i, que são permutados ciclicamente por f e tais que f ni ⎜⎜Xj,i é
topologicamente mixing para todo j∈[1,ni].

xxxiii
Os conjuntos Pi são chamados de conjuntos básicos de f. Observe que se g=f n e n
é um múltiplo de ni, então os conjuntos básicos de g são os Xj,i e g⎜⎜Xj,i é mixing. Se
f é um difeomorfismo que satisfaz ao Axioma A, o teorema seguinte mostra que
Ω(f) sempre pode ser decomposto espectralmente.
Teorema 1.7. (Teorema da Decomposição Espectral [B.1,S.2]. Se f é um
difeomorfismo que satisfaz ao Axioma A, existe uma única decomposição de Ω(f)
em subconjuntos fechados e disjuntos, Ω(f)=Ω1∪...∪Ωs, tais que
a) f (Ωi)=Ωi e f ⎜⎜Ωi é topologicamente transitivo.
b) Existe uma decomposição de cada Ωi em subconjuntos fechados e disjuntos
Ωi=X1,i∪...∪Xni,i tais que f (Xj,i)=Xj+1,i, para 1≤j≤ni-1, f (Xni,i)=X1,i, e a aplicação
f ni ⎜⎜Xj,i é topologicamente mixing para todo 1≤j≤ni.
Daqui para frente, f será sempre um difeomorfismo do Axioma A. Portanto
podemos sempre fazer uma decomposição de Ω(f) em subconjuntos básicos de f,
que possuem uma estrutura de produto local. Uma característica importante desses
conjuntos hiperbólicos com estrutura de produto local é a propriedade de
sombreamento, expressa no próximo teorema.
Seja α>0 e x={xi∈M: a

xxxiv
Corolário 1.9. Dado qualquer β>0 existe um α>0 tal que para todo x∈Ω com
d(f n x,x)0
temos que d(f n y,y)0, pequeno, e α como no Teorema 1.8. Vamos tomar γ=α/2 tal que
se x,y∈M e d(x,y)

W u (Ωj)={x∈M: d(f -n x,Ωj)→0 quando n→∞}
xxxv
Usando a definição do conjunto dos pontos não errantes Ω(f), podemos verificar
facilmente que f n x→Ω e f -n x→Ω quando n→∞. Como Ω=Ω1∪...∪Ωs é uma união
disjunta de conjuntos fechados invariantes, vemos então que
s s
M=∪W s (Ωj)=∪W u (Ωj).
j=1 j=1
e que esses conjuntos são uniões disjuntas.
Proposição 1.12. Seja f um difeomorfismo que satisfaz ao Axioma A,
W s (Ωj)=∪x∈ΩjW s (x) e W u u
(Ωj)=∪x∈ΩjWε (x). Para ε>0 existe uma vizinhança Uj de Ωj
tal que
e
∩f -k s s
Uj⊂Wε (Ωj)=∪Wε (x)
k≥0 x∈Ωi ∩f k u u
Uj⊂Wε (Ωj)=∪Wε (x)
k≥0 x∈Ωi Prova. De acordo com os Teoremas 1.11 e 1.8, se tomarmos um δ suficientemente
pequeno, podemos achar uma vizinhança U de Ωj e um α>0 tais que toda α-pseudo
órbita de f em U é δ-sombreada por um ponto de Ωj. Para um y∈W s (Ωj) arbitrário,
existe um N tal que f n y∈U, para todo n≥N.
Vamos tomar agora a sequência y={yi∈U: yi=f i+N y, i≥0)}. Observe que y é uma
pseudo órbita em U, e portanto é δ-sombreada por algum x∈Ωj, de acordo com o
Teorema 1.8. Assim d(f i (x),f i+N y)

_____
R=int(R)
onde int(R) é o interior de R como um subconjunto de Ωs.
Se x∈R denotamos
W s s
(x,R)=Wε (x)∩R
W u u
(x,R)=Wε (x)∩R
onde ε satisfaz ao Teorema 1.5 e diam(R)

s u
e y’=y pois Wε (y)∩Wε (y)={y}. Assim x∈int(R).
xxxvii
Uma família ℜ={R1,...,Rm} de retângulos próprios é uma partição de Markov de
Ωs se satisfaz a
a) Rj∩Ri=∂Rj∩∂Ri para todo 1≤i

x,Rj)
xxxviii
f (W s (x,Ri))={[fx,fy]: y∈W s (x,Ri)}⊂ {[f x,z]: z∈W s (f x,Rj)}⊂W s (f
A outra parte da prova para W u é semelhante.
Proposição 1.17. f (∂ s Rj)⊂ ∂ s ℜ e f -1 (∂ u Rj)⊂ ∂ u ℜ.
m
Prova. O conjunto Cij=∪j≥1(int(Ri)∩f -1 int(Rj)) é denso em Ri. Portanto, para todo
x∈Ri podemos encontrar algum j e uma sequência {xn}, com xn∈int(Ri)∩f –
1
(int(Rj)) tal que limxn=x. Então Aij=1, x∈Ri e fx∈Rj. Portanto, pelo Lema 1.16,
fW u (x,Ri)⊃W u (fx,Rj). Se fx∉∂ s ℜ, então W u (fx,Rj) é uma vizinhança de fx em
u
Wε (fx)∩Ωs e assim W u s
(x,Ri) é uma vizinhança de x em Wε (f x)∩Ωs, isto é,
x∉∂ s Ri. Mostramos então que f (∂ s ℜ)⊂ ∂ s ℜ
Com um argumento semelhante, ou aplicando-se o primeiro argumento a f -1 no
lugar de f, mostra-se que f -1 (∂ u ℜ)⊂∂ u ℜ.
Sejam R e S dois retângulos. S será chamado um u-subretângulo de R se
a) S≠∅ e S⊂R e S é próprio.
b) W u (y,S)=W u (y,R) para todo y∈S.
Sejam A e B subconjuntos de Ωs. Vamos definir [A,B]={[x,y]: x∈A e y∈B}.
s u
Lema 1.18. Sejam D⊂Wδ (x)∩Ω e C⊂Wδ (x)∩Ω. Então [C,D] é um retângulo
próprio se e somente se
____ ____
D=int(D) e C=int(C)
Prova. Suponha que [C,D] é próprio. Então como M é uma variedade compacta e
[C,D] é fechado, resulta que [C,D] é compacto. Sejam (xn) e (yn) sequências de
pontos em C e D respectivamente, com xn convergindo para x∈Ω e yn para y∈Ω.
Então a sequência ([xn,yn]) em [C,D] possui uma subsequência convergente tal que
lim [xn,yn]= [x,y]∈[C,D]
n →∞ ___ ___
e portanto x∈C e y∈D, o que implica que C=intC e D=intD.
___ ___

xxxix
Vamos supor agora que C=intC e D=intD. Então C e D são fechados e portanto
compactos. Como, pelo Teorema 1.5, a aplicação [.,.]:CxD→[C,D] é contínua e
CxD é compacto, então [C,D] é compacto e portanto fechado, o que significa que
______
[C,D]=int[C,D]
e o retângulo [C,D] é próprio.
Lema 1.19. Se S é um u-subretângulo de Ri e Aij=1, então f(S)∩Rj é um
u-subretângulo de Rj.
Prova. Vamos tomar x∈Ri∩f -1 (Rj) e fazer D=W s (x,Ri)∩S. Como S é um
u-subretângulo, temos então que
S=∪W u (y,Ri)=[W u (x,Ri),D]
y ∈ D ____
Mas por definição S é próprio e não nulo, então D≠∅ e D=int(D). Agora
f (S)∩Ri=∪(f (W u (y,Ri))∩Rj)
y ∈ D
Pelo Lema 1.16, f (y)∈Rj e f W u (y,Ri)∩Rj=W u (fy,Rj). Portanto
f (S)∩Rj=∪W u (y’,Rj)=[W u (fx,Rj),f (D)].
y’ ∈ f(D)
Como Rj=[W u (fx,Rj),W s (fx,Rj)] é próprio, temos W u (fx,Rj) também é próprio. A
s s
aplicação f mapeia Wε (x)∩Ω homeomorficamente numa vizinhança em Wε (x)∩Ω,
______
f(D)=int(f(D)) e assim, pelo Lema 1.18, f (S)∩Rj é próprio. f (S)∩Rj≠∅ pois
f(D)≠∅. assim se y”∈f (S)∩Rj. Logo f (S)∩Rj é um u-subretângulo de Rj.
Teorema 1.20. Para cada a∈ΣA o conjunto ∩j∈Zf -j Raj consiste de um único ponto,
denotado por π(a). A aplicação π:ΣA→Ωs é uma sobrejeção contínua, tal que
πoσ=foπ, e π é injetiva sobre um conjunto residual Y=Ω - (∪f j (∂ s ℜ∪∂ u ℜ)).
j ∈ Z
Prova. Se a1,...,an é uma sequência com Aajaj+1=1, então por indução, usando o
Lema 1.19, vemos que
n n-1
∩f n-j Raj= Ran∩f (∩f n-1-j Raj)
j=1 j=1
é um u-subretângulo de Ran. A partir disso, obtemos
n
Kn(a)=∩f -j Raj

j=- n
é não vazio e é o fecho do seu interior. Observe que Kn(a)⊃Kn+1(a)⊃... e assim
∞ ∞
K(a)=∩f -j Raj=∩Kn(a)≠∅
j=- ∞ n=1
Se x,y∈K(a), então f j x, f j y∈Raj estão próximos para todo j∈Z e assim, por
expansividade, x=y. Como
temos πoσ=foπ.
∞ ∞ ∞
K(σa)=∩f -j Raj+1=∩f -j+1 Raj=f(∩f -j+1 Raj)=f K(a)
j=- ∞ j=- ∞ j=- ∞
Vamos provar a continuidade de π. Seja a∈ΣA, x=π(a) e ε>0. Vamos tomar N∈N
tal que
diam(∩f -n (Ran))≤ε
⎜⎜n ⎜⎜≤ N
Isso é sempre possível pois, como vimos anteriormente, diam(∩|j|≤nf -j (Raj))→0
quando n→∞. Se b∈ΣA está suficientemente próximo de a então vale bn=an para
⎜⎜n⎜⎜≤N, de modo que se y∈∩f -n Rbn, então
∞
π(b)=∩f n (Rbn)⊂∩f -n (Rbn)=∩ f -n (Ran)
- ∞ ⎜⎜ n ⎜⎜≤ N ⎜⎜ n ⎜⎜≤ N
o que mostra que d(π(a),π(b))=d(x,y)≤ε, e portanto π é contínua.
Como o conjunto ∂ s ℜ∪∂ u ℜ é magro, então o conjunto Y=Ωs-(∪f -1 (∂ s ℜ∪∂ u ℜ) é
residual. Para x∈Y vamos tomar aj com f j x∈Rai. Como x∈Y, f j x∈int(Raj) e
portanto Aajaj+1=1. Assim a={aj}∈ΣA e x=π(a). Se x=π(b), então f j x∈Rbj e bj=aj,
pois f j x∉(∂ s ℜ∪∂ u ℜ); logo π é injetiva em Y. Como π(ΣA) é um
subconjunto compacto de Ωs contendo o conjunto denso Y, então π(ΣA)=Ωs.
O Teorema 1.20 é de grande importância pois mostra que existe uma conjugação
entre σ e f ⎜⎜Y, dada pela aplicação π, o que será de extrema utilidade no próximo
capítulo.
Proposição 1.21. O shift σ:ΣA→ΣA é topologicamente transitivo. Se f ⎢⎢Ωs é
mixing então σ:ΣA→ΣA também o é.
Prova. Seja U e V subconjuntos não vazios e abertos em ΣA. Para alguns a,b∈ΣA e
N∈N temos que
xl

Agora
e
U⊃U1={x∈ΣA: xi=ai ∀ i∈[-N,N]}
V⊃V1={x∈ΣA: xi=ai ∀ i∈[-N,N]}
N
U2=∩f -1 int(Raj))=int(Kn(a))≠∅
j=-N
N
V2=∩f -1 int(Rbj))=int(Kn(b))≠∅
j=-N
Se x=π(x)∈U2, então f j x∈Rxj e f j x∈int(Raj) implicam que xj=aj; assim
π -1 (U2)⊂U1. De modo semelhante π -1 (V2)⊂V1. Como f ⎜⎜Ωs é transitivo, então
f n U2∩V2≠∅, para vários n grandes. Portanto
∅≠π -1 (f n U2∩V2)= π -1 (f n U2)∩π -1 (V2)⊂σ n U∩V.
Esse mesmo argumento mostra que σ⎜⎜ΣA é mixing se f ⎜⎜Ωs o é.
Lema 1.22. Para todo µ∈Mf (Ω) existe uma ν∈Mσ(ΣA), com π*ν=µ.
Prova. Seja F∈C(ΣA)* um funcional linear positivo definido por
F(goπ)=∫µ(g)=∫gµ. Por uma modificação do teorema de Hahn-Banach, F extendese
a C(X), ainda positivo. Como F(1)=F(1oπ)=1, F é identificado com algum
β∈M(ΣA). Como M(ΣA) é compacto podemos definir ν=lim (1/nk)(β+σ*β+...+σ n k -
1 β). Então σ*ν=ν e π*ν=µ (usando π*(σ k )*β=(f k )*π*β=(f k )*µ=µ)
Lema 1.23. Seja {X1,...,Xm} uma decomposição de um conjunto básico Ωs de f, e
µ∈Mf(Ω) e µ’∈Mfm(Xi) tais que µ’=m.µ|Xi. Então hµ’(f|Xi)=m.hµ(f|Xi).
Prova. Como Ω é hiperbólico então, pelo Lema 1.6, existe uma constante de
expansividade ε. Sejam D uma partição de Xi tal que diam D≤ε e Dn=D∨...∨f -n+1 D.
Pelas Proposições 0.26 e 0.30 temos
hµ(f m |Xi)=m hµ(f|Xi)=m hµ(f|Xi,D)=m lim(1/n)Hµ(Dn)
n →∞
xli

Porém Hµ(Dn)=-∑µ(Di)log(µ(Di)) e como µ’=m.µ|Xi, resulta
Di ∈ Dn
e portanto
Hµ(Dn)=(1/m)Hµ’(Dn)+(1/m)log(m)
m hµ(f|Xi)=lim(1/n)Hµ’(Dn)= hµ’(f|Xi).
n →∞
xlii

CAPÍTULO 4
xliii
Dizemos que uma probabilidade µ, f-invariante, é uma medida física, ou SRB (Sinai-Ruelle-
Bowen), para f se existe um conjunto de medida de Lebesgue positiva B(µ), de pontos x∈M, tal
que
n-1
∫ϕdµ=E(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x), para toda ϕ∈C 0 (M,R).
n →∞ j=0
O conjunto B(µ) é chamado de bacia ergódica de µ. As medidas SRB foram construídas
inicialmente para sistemas do tipo Anosov e posteriormente generalizada para os difeomorfismos
uniformemente hiperbólicos e fluxos.
O objetivo deste capítulo é o de provar a existência e unicidade de uma medida SRB para
atratores hiperbólicos. Para isso, vamos enunciar e provar três teoremas. No primeiro (Teorema
2.1) vamos provar que se Ωs é um conjunto básico do axioma A e ϕ:Ωs→R Hölder então existe
um estado de equilíbrio para ϕ. Em seguida vamos mostrar que existe um estado de equilíbrio
µ + , de uma particular ϕ (u) que é Hölder. No segundo (Teorema 2.9), Mostraremos que se Ωs é um
atrator, sua bacia de atração possui medida de Lebesgue positiva. Finalmente, no Teorema 2.10,
vamos mostrar que µ + é uma medida SRB.
A. ESTADOS DE EQUILÍBRIO PARA CONJUNTOS BÁSICOS
Teorema 2.1. Seja Ωs um conjunto básico para um difeomorfismo f, do axioma A, e ϕ:Ωs→R
Hölder contínua. Então ϕ tem um único estado de equilíbrio µ ϕ em relação a f|Ωs. Além disso, µ ϕ
é ergódica; µ ϕ é Bernoulli se f |Ωs é topologicamente mixing.
Prova. Sejam ℜ uma partição de Markov para Ωs, tal que diam(ℜ)≤ε, A a matriz de transição
para ℜ, π:ΣA→Ωs como no Teorema 1.20 e ϕ*=ϕoπ. Se x,y∈ΣA são tais que xk=yk para k∈[-
N,N], então
f k π(x), f k (y)∈Rxk=Ryk para k∈[-N,N].
Logo, pelo Lema 1.13, d(π(x),π(y))

xliv
Agora ∩n≥0σ n Ds é f invariante e tem medida 0 ou 1, pois µϕ* é ergódica. Como, pelo Teorema 0.8,
o seu complementar tem medida positiva então µ ϕ*(Ds)=0. Do mesmo modo vemos que
µ ϕ*(Du)=0. Seja agora µ ϕ=π*µϕ*, isto é µ ϕ(E)=µϕ*(π -1 E). Então µ ϕ é f-invariante e os automorfismos
dos espaços de medidas (σ,µ ϕ*) e (f,µ ϕ) são conjugados pois π é injetora exceto num conjunto
nulo ∪n∈Ζσ n (Ds∪Du). Pela Proposição 0.25, hµϕ(f)=hµϕ*(σ) e portanto
Pf (ϕ)≥h µϕ (σ)+∫ϕdµϕ=hµϕ*(σ)+∫ϕ*dµϕ*=Pσ(ϕ*) Pelo Teorema 0.34, temos que Pf (ϕ)≤Pσ(ϕ*), e portanto Pf (ϕ)=Pσ(ϕ*) e µϕ é um
estado de equilíbrio para ϕ. Também, pelo Teorema 0.23, µϕ é Bernoulli.
Vamos considerar agora o caso geral. Ωs é um conjunto básico e então admite uma
decomposição Ωs=X1∪...∪Xm, com fXk=Xk+1 para 0≤k≤m-1 e fXm=X1; além disso f m Xi é
mixing. Para µ∈Mf(Ωs) temos
m m-1
1=µ(Ωs)=∑µ(Xk)=∑µ(f k Xi)=m µ(Xi)
k=1 k=0
pois µ é f-invariante. Portanto µ(Xi)=1/m e µ’=mµ⏐⏐Xi∈Mfm(Xi).
Inversamente, se µ’∈Mfm(Xi) então µ∈Mf (Ωs), onde
m-1
µ(E)=(1/m)∑µ’(Xi∩f k E).
k=0
Note que µ←→µ’ define uma bijeção entre Mf(Ωs)←→Mfm(Xi). Então, pelo
Lema 1.23 Temos que hµ’(f m |X1)=mhµ(f|X1). Também,
m-1 m-1
∫ Smϕdµ’=∫ ∑ϕof k dµ’=∑ ∫ϕof k dµ
X i X i k=0 k=0 X i
m-1
=∑ ∫kϕdµ’=∫ϕdµ’=m∫ϕdµ
k=0 f X i X i X i
Assim, encontrar uma µ que maximiza hµ(f )+∫ϕdµ é equivalente a encontrar µ’ que maximiza
h µ’(f)+∫Smϕdµ’.
Para ϕ Hölder em Ωs resulta que Smϕ será Hölder em Xi. Então, como Xi é um conjunto básico
mixing para f m , µ’é um estado de equilíbrio ergódico para f m |Xi e µ é um estado de equilíbrio
ergódico para Ωs.
Seja Bx(ε,n)={y∈Ωs: d(f k y,f k x)0 pequeno,
existe um bε>0 tal que para qualquer x∈Ωs
µϕ(Bx(ε,n))≥bεexp(-nP+Snϕ(x))).

Prova. Seja ℜ uma partição de Markov de Ωs tal que diam(ℜ)

onde
n-1 n-1
Snψ(x)=∑ψ(f k x)= ∑Smϕ(f k x)=Snmϕ(x).
k=0 k=0
Tomando-se b ε=bε/A/m, resulta então
µ ϕ(Bx(ε,nm))≥b εexp(-nmP+Snmϕ(x))
Observe que dado um r∈N qualquer, podemos escrever r=nm+q, onde q

L≥⎜⎜Sjmϕ(x)-Sjmψ(x)-jmK⎪⎪=j⎜⎜Smϕ(x)-Smψ(x)-mK⎪⎪
E portanto ⎜⎜Smϕ(x)-Smψ(x)-mK⎪⎪≤(L/j). Fazendo j→∞ resulta
que é a afirmação (iii).
Smϕ(x)-Smψ(x)-mK=0
(iv)→(i).
Se (iv) vale e x∈ΣA é tal que x=πx, então
ϕ(x)-ψ(x)=ϕ*(x)-ψ*(x)=K+u(π(σx))-u(π(x))=K+u*(σx))-u*(x)
Pelo Teorema 0.22 temos que µϕ*=µψ* e do Lema 1.22 resulta µϕ=µϕ*=µψ*=µψ.
xlvii
(iii)→(iv).
Vamos supor que (iii) vale e que η(x)=ϕ(x)-ψ(x)-K. Como f|Ωs é topologicamente
transitivo, vamos tomar x∈Ωs com órbita positiva densa, de acordo com o Lema
0.4. Seja A={f k x: k≥0} e vamos definir u:A→R por
k-1
u(f k x)=∑η(f j x)=Skη(x)
j=0
Observe que se k0 tal que se
y∈Ωs e d(f n y,y)

Mas
S2nη(y’)=u(f 2n y’)=u(y’) (3)
2n-1 n-1 2n-1
S2nη(y’)=∑η(f i y’)=∑η(f i y’)+∑η(f i y’)=2Snη(y’) (4)
i=0 i=0 i=n
xlviii
pois η(f i y’)=η(f n+i y’) para todo i≥0. Resulta então de (2), (3) e (4) que Snη(y’)=0 e, como y=f k x,
(1) implica que
n-1 n-1
|u(z)-u(y)|=|∑η(f j y)-Snη(y’)|≤∑|(η(f j y)-η(y’))|
j=0 j=0
Pela escolha de τ e y’, temos d(f i y,f i y’)

Note que, pelo Teorema 2.1, a função ϕ (u) tem um único estado de equilíbrio, que denotaremos
por µ + =µ ϕ(u). Embora ϕ (u) dependa da métrica usada, quando f m x=x
Smϕ (u) (x)=-log[Jac(Df m :E u x→E u x)]
xlix
não depende da métrica utilizada (Esse Jacobiano é o valor absoluto do
determinante). Pela Proposição 2.3 vemos que a medida µ + em Ωs e P(ϕ (u) ) não
dependem da métrica utilizada.
Seja Bx(ε,n)={y∈M: d(f k x,f k y)≤ε para todo k∈[0,n)}. Observe que
n-1
Bx(ε,n)=∩f -k Bε(f k x)
k=0
e portanto tem medida de Lebesgue não nula para todo x∈Ωs. Bowen mostrou
[B.2] uma estimativa para essa medida em função de ϕ (u) .
Lema 2.5 [B.2]. (Lema do Volume). Se Ωs é um conjunto básico de classe C 2 e
ε>0 é pequeno, existe uma constante cε>1 tal que para todo x∈Ωs
m(Bx(ε,n))∈[1/cε,cε]expSnϕ (u) (x).
Dizemos que um subconjunto E⊂M é (n,δ)-separado se para todos os pontos y,z∈E, distintos,
podemos encontrar um k∈[0,n) tal que d(f k y,f k z)>δ.
Proposição 2.6. Seja Ωs um conjunto básico C 2 .
(a) Se B(ε,n)=∪Bx(ε,n), temos então, para ε>0 pequeno,
x ∈Ω s
Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=lim(1/n)log(m(B(ε,n)))≤0
n →∞
s s s
(b) Seja Wε (Ωs)=∪Wε (x). Se m(Wε (Ωs))>0, então
x∈Ωs Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=0 e h µ+(f)=-∫ϕ (u) dµ +
Prova. Seja En(δ) o conjunto máximo (n,δ)-separado de Ωs. Para x∈Ωs temos que x∈By(δ,n)
para algum y∈En(δ); senão En(δ)∪{x} é (n,δ)-separado. Então Bx(ε,n)⊂By(δ+ε,n),
B(ε,n)⊂∪By(δ+ε,n) e pelo Lema 2.5
y
m(B(ε,n))≤(c δ+ε)∑expSnϕ (u) (y). (5)
y ∈ En( δ )
Para δ≤ε, ∪By(δ/2,n)⊂ B(ε,n) é uma união disjunta e portanto
y ∈ En( δ )
m(B(ε,n))≥(cδ/2) -1 ∑expSnϕ (u) (y). (6)

Como ϕ (u) é Hölder, temos
y ∈ En( δ )
⎜⎜ϕ (u) (x)-ϕ (u) (y)⎪⎪≤ad(x,y) θ
para algum θ>0 e todo x,y∈Ωs. Suponhamos que x∈By(ε,n)∩Ωs. Pelo Lema 1.13, temos então
para j∈[0,n)
Portanto
d(f j x,f j y)

Fazendo diam(U)→0 resulta
P(ϕ (u) )≤lim inf[(1/n)log m(B(ε,n))] (8)
n →∞
Como estamos considerando a restrição de f a Ωs resulta então, de (7) e (8), que
Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) )=lim[(1/n)log m(B(ε,n))]
n →∞
Mas m(B(ε,n))≤m(M) e portanto
Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) )=lim[(1/n)log m(B(ε,n))]≤lim[(1/n)log m(M)]=0
n →∞ n →∞
o que conclui a prova de (a).
s s s
Temos também m(B(ε,n))≥m(Wε (Ωs)) pois Wε (Ωs)⊂B(ε,n). Se m(Wε (Ωs))>0, a expressão em
(a) implica que
0≥ Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) s
)=lim[(1/n)log m(B(ε,n))]≥lim[(1/n)log m(Wε )]=0
n→∞ n→∞ e portanto Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) )=0. Como µ + é um estado de equilíbrio para ϕ (u) , então
hµ+(f)+∫ϕ (u) dµ + =Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=0
e portanto hµ+(f)=-∫ϕ (u) dµ + , o que conclui a prova.
Um conjunto básico Ωs é um atrator se possui pequenas vizinhanças U com
s
f(U)⊂U. Observe que, pela Proposição 1.12, isso é equivalente a Wε (Ωs) ser uma
vizinhança de Ωs.
Lema 2.7. Seja Ωs um conjunto básico de classe C 1 . Então
u
(a) Se Wε (x)⊂Ωs para algum x∈Ωs, então Ωs é um atrator.
(b) Se Ωs não é um atrator, então existe um γ>0 tal que para todo x∈Ωs, existe um
u
y∈Wε (x) com d(y,Ωs)>γ.
u s u
Prova. Se Wε (x)⊂Ωs, então o conjunto Ux=∪{Wε (y): y∈Wε (x)} é uma vizinhança
de x em M, conforme mostrado no Lema 2.1 de [H.2]. Vamos escolher um ponto
periódico p∈Ux, digamos f m u
p=p. Para algum β pequeno temos Wβ (p)⊂Ux; se
u u u
z∈Wβ (p)∩Wε (y), onde y∈Wε (x)⊂Ωs, então d(f n z,f n p)

N
Y=∪f k W u (p)
k=0
u
Para cada x∈Y temos Wε (x)⊂Ωs e assim Ux, definido acima, é uma vizinhança de x em M.
s
Como Wε (x), Wε
u (x) dependem continuamente de x∈Ωs, podemos encontrar um δ>0
independente de x tal que Ux contém uma bola Bx(2δ) em torno de x em M, para todo x∈Y.
Então
u
BΩs(δ)⊂∪{Ux: x∈Y}⊂Wε (Ωs)
e Ωs é um atrator, o que prova (a).
Para a prova de (b), observe que o conjunto
u
Vγ={x∈Ωs: d(y,Ωs)>γ para algum y∈Wε (x)}
u
é aberto pois Wε (x) varia continuamente com x. Também, Vγ aumenta quando γ diminui e, pela
afirmação (a), ∪γ>0Vγ=Ωs. Por compacidade Vγ=Ωs para algum γ>0.
Lema 2.8 [B.2]. (Segundo Lema de Volume). Seja Ωs um conjunto básico C 2 . Para ε,δ>0
pequenos, existe um d=d(ε,δ)>0 tal que quando x∈Ωs e y∈Bx(ε,n)
m(By(δ,n))≥d.m(Bx(ε,n)).
Prova. Ver 4.3 de [B.2].
Teorema 2.9. Seja Ωs um conjunto básico C 2 . As seguintes afirmações são equivalentes
(a) Ωs é um atrator
(b) m(W s (Ωs))>0
(c) Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=0
∞
Prova. Como W s (Ωs)=∪f -n s
Wε (Ωs), (b) é equivalente a m(Wε
n=0
s (Ωs))>0.
(a)→(b)
s
Se (a) vale, então (b) é verdadeiro pois Wε (Ωs) é uma vizinhança de Ωs.
(b)→(c)
Resulta da Proposição 2.6 (a).
(c)→(a)
Vamos supor que Ωs não é um atrator. Dado um ε>0 pequeno vamos escolher um γ como no
Lema 2.7 (b). Seja N tal que
f N Wγ/4 u (x)⊃Wγ/4 u (f N x)
lii

Para todo x∈Ωs. Seja E⊂Ωs (γ,n)-separado e máximo. Para x∈E existe um y(x,n)∈Bx(γ/4,n)
com
d(f n+N y(x,n),Ωs)>γ
pois f n Bx(γ/4,n)⊃Wγ/4 u (f n x) e f N Wγ/4 u (f n u n
x)⊃Wε (f x). Vamos escolher δ∈(0,γ/4) de modo que d(f
N N
z,f y)

Cn(g,δ)={x∈M: ⏐⏐gn(x)-g⏐⏐>δ}
E(g,δ)={x∈M: ⏐⏐gn(x)-g⏐⏐>δ para infinitos valores de n}
Observe que o conjunto E(g,δ) é o limite superior dos conjuntos (Cn(g,δ)) e
portanto [B.3]
∞ ∞
E(g,δ)=∩ (∪Cn(g,δ))
N=1 n=N
Como g é contínua, vamos escolher ε>0 tal que ⏐⏐g(x)-g(y)⏐⏐

Como µ + (VN)→0, a soma da direita se aproxima de zero quando N→∞. De (9) e (10) temos que
lim m(W ε
∞
s (Ωs)∩(∪Cn(g,3δ)))=0
N →∞ n=N
s
Isto, por sua vez, implica que m(Wε (Ωs)∩E(g,3δ))=0. Para δ’>3δ o conjunto E(g,δ’)∩f -
n s
Wε (Ωs)⊂f –n s
(Wε (Ωs)∩E(g,3δ)) tem medida zero pois f preserva medida com respeito a m.
Assim
m(W s (Ωs)∩E(g,δ’))≤∑m(f -n Wε
∞
n=0
Fixando g e fazendo δ’=(1/n)→0, obtemos
lim gn(x)=g
n →∞
s (Ωs)∩E(g,δ’))=0.
para todo x∈W s (Ωs) fora de um conjunto m-nulo A(g). Seja {gk, k≥1} um subconjunto denso de
C(M); para x∈W s (Ωs)-∪A(gk) obtemos
lim gn(x)=g
n →∞
para toda g∈C(M).
Corolário 2.11. Suponha que f:M→M é um difeomorfismo de Anosov de Classe C 2 . Se f deixa
invariante uma probabilidade µ que é absolutamente contínua em relação a m, então µ=µ + .
Prova. Nesse caso M=Ω=Ω0 é a decomposição. Seja g∈C(M). Pelo Teorema Ergódico de
Birkhoff (0.5) , existe uma função integrável g*:M→R tal que
e
n-1
g*(x)=lim(1/n)∑g(f k x)
n →∞ k=0
∫g*dµ=∫gdµ
para µ-qtp x∈M. Seja A o conjunto dos x∈M tais que
g*=g*(x)=∫gdµ +
Resulta do Teorema 2.10 que m(A)=1 e, como µ

Teorema 2.12. Seja f um difeomorfismo de Anosov transitivo de classe C 2 . As
seguintes afirmações são equivalentes:
(a) f admite uma medida invariante da forma dµ=hdm, onde h é uma função Holder
positiva.
(b) f admite uma medida invariante absolutamente contínua em relação a m.
(c) Df n :TxM→TxM tem determinante 1 sempre que f n x=x.
Prova.
(a)→(b)
É imediato que (a) implica (b).
(b)→(c)
Suponha que (b) vale. Seja λ (s) (x) o Jacobiano de Df:E s f -1 x→E s x e ϕ (s) (x)=logλ (s) (x). Agora f –1 é
de Anosov, com E u f –1x=E s fx e E s f –1x=E u fx. Também
λf –1 (u) (x)= Jacobiano Df –1:E s x→E s f –1x=λ (s) (x) -1
e portanto ϕf –1 (u) (x)=-logλf –1 (u) (x)=ϕ (s) (x). Existe uma medida invariante µ - tal que
n-1
lim(1/n)∑g(f –k x)=∫gdµ -
n →∞ k=0
para m-qtp x; µ - é o único estado de equilíbrio para ϕf –1 (u) com respeito a f –1 . Observe que os
estados de equilíbrios com respeito a f –1 são os mesmos que os relacionados a f, pois Mf (M)=Mf
–1(M) e h ν(f)=hν(f –1 ) e assim µ - =µϕ(s). Aplicando-se o Corolário 2.11 a f e f -1 , temos
µϕ(u)=µ + =µ=µ - =µϕ(s)
Também, a Proposição 2.6 (b) implica que P(ϕ (u) )=0=P(ϕ (s) ). Se f n x=x, temos então, pela
Proposição 2.3 (iii), que
Exponenciando, temos
n-1 n-1
Snϕ (u) (x)-Snϕ (s) (x)=∑ϕ (u) (f k x)-∑ϕ (s) (f k x)=0
k=0 k=0
1=(detDf n ⏐⏐Ex u )(detDf n ⏐⏐Ex s )=detDf n ⏐⏐TxM
o que prova que (b)→(c).
(c)→(a)
Seja ϕ(x)=logJac(Df:TxM→TfxM) e vamos supor que (c) vale. Então
n-1
Snϕ(x)=logΠJac(Df:Tf kxM→Tf kxM)
lvi

k=0
=logJac(Df:TxM→Tf nxM)=0
quando f n x=x. Pela Proposição 2.3 (iv), com ψ≡0 e K=0, existe uma função Holder u:M→R com
ϕ(x)=u(x)-u(fx). Seja h(x)=e u(x) , então h(x)=e ϕ(x) h(fx). Considerando dµ=hdm como valor
absoluto de uma forma
resulta
f *(hdm)(fx)=h(x)e - ϕ (x) dm(fx).
f *(µ)(fx)=f *(hdm)(fx)=h(x)dm(fx)=(hdm)(fx)=µ(fx)
e portanto µ é f-invariante.
lvii

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