MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

|| (foσ n )*oσ m - ( foσ n+m )*||≤varnf .
Daí, |αµ((foσ n )*)-αµ(( foσ n+m )*)|= |αµ((foσ n )*o σ m )-αµ(( foσ n+m )*)| ≤ varnf, que tende a
0 quando n→∞ pois f é contínua. Portanto, pelo critério de Cauchy,
αν(f)=limn→∞αµ((foσ n )*) existe e ν∈C(ΣA + )*. Pelo Teorema da representação de
Riesz vemos que ν é uma probabilidade sobre ΣA e
αν(foσ)=lim µ((foσ n+1 )*)= αν(f)
n →∞
o que mostra que αν é σ-invariante. Também αν(f)= αµ(f ) para f∈C(ΣA + ).
Proposição 0.13 [B.1]. µ é mixing para σ:ΣA→ΣA.
Teorema 0.14 [B.1]. µ é uma medida de Gibbs para ϕ∈C(ΣA + )∩(FA).
Uma partição ℘ de um espaço de probabilidades (X,A,µ) é uma família de
subconjuntos de A, com medida não-nula, tais que
A,B∈℘ ⇒ µ(A∩B)=0
µ(X- ∪ A)=0.
A∈℘
Portanto ℘ é uma família finita ou enumerável. Os conjuntos da família
denominam-se átomos da partição. Se ℘n, n=1,...N, são partições definimos a
partição ∨1 N ℘n como aquelas cujos átomos são todos os conjuntos da forma
A1∩...∩An com Ai∈℘i, i=1,...,n e tais que µ(A1∩...∩An)≠0. Se ℘ e Q são
partições diz-se que Q é mais fina do que ℘, que denotado por ℘≤Q, se todo
átomo de Q está contido mod (0) (a menos de um subconjunto de medida nulo) em
algum átomo de ℘. Isso implica que todo átomo de ℘ pode ser escrito como uma
união de átomos de Q mod (0), . Como exemplo, seja ℘={P1,P2} e Q={Q1,Q2}
como mostrado nas fig.1 e fig.2. Então ℘∨Q é a partição dada por ℘∨Q={P1∩Q1,
P1∩Q2, P2∩Q1, P2∩Q2} mostrada na fig.3.
X X X
P1
Q1 Q2
xvi
P1∩Q1 P1∩Q2
P2 P2∩Q1 P2∩Q2
fig.1. Partição ℘ fig.2. Partição Q fig.3. Partição ℘∨Q