MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

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CONTEÚDO Introdução ii Capítulo 0. Generalidades 0-1 Conjunto ω-limite. Transformações transitivas e mixing. Shift e subshift. existência da medida de Gibbs. Teorema de Ruelle-Perron-Froebenius. Partições. Entropia e pressão. Princípio variacional. Capítulo 1. Difeomorfismos hiperbólicos 1-1 Pontos errantes e não errantes. Conjuntos hiperbólicos. Axioma A. Variedades estável e instável. Coordenadas canônicas. Decomposição espectral. α-pseudo órbita e β-sombra. Closing lemma de Anosov. Vizinhança fundamental. Retângulo. Partições de Markov. Capítulo 2 A. Estados de equilíbrio para conjuntos básicos 2-1 B. O caso ϕ=ϕ (u) 2-6 C. Atratores e difeomorfismos de Anosov 2-12 Referências Índice alfabético iv
INTRODUÇÃO No início dos anos 60, Smale conceituou os sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos. Esses sistemas constituem uma grande classe que incluem os difeomorfismos e fluxos denominados de Anosov, sistemas dinâmicos assemelhados a gradientes e do tipo “horseshoe”. Em cerca de dez anos toda uma teoria ergódica foi desenvolvida para esses sistemas, para qual contribuíram enormemente Sinai, que primeiro desenvolveu a teoria para sistemas dinâmicos do tipo Anasov, Ruelle que trabalhou no caso mais geral dos sistemas dinâmicos que satisfaziam ao Axioma A (Sistemas uniformemente hiperbólicos) e Bowen que criou as partições de Markov e estendeu o conceito de estado de equilíbrio para sistemas dinâmicos hiperbólicos. Devemos ressaltar também a grande contribuição brasileira nessa área. De forma geral, um subconjunto fechado Λ de uma variedade compacta é hiperbólico se é invariante e o seu espaço tangente pode ser decomposto em dois subfibrados invariantes TΛM=E s ⊕E u de modo que E s é uniformemente contrator para iterados futuros, o mesmo ocorrendo com E u para iterados passados. Quando o conjunto dos pontos não errantes é hiperbólico e é igual ao fecho do conjunto dos pontos de órbitas periódicas, dizemos que o sistema é uniformemente hiperbólico, ou que satisfaz ao Axioma A. Os sistemas hiperbólicos são exemplos de comportamentos caóticos, pois apresentam uma sensível dependência das condições iniciais: órbitas de pontos típicos próximos se afastam umas das outras exponencialmente rápido sob iterações futuras e passadas. Contudo admitem uma descrição precisa do seu comportamento, pois podem ser decompostas em subconjuntos invariantes Λ1,...,Λn que são transitivos (possuem órbita densa) e quase todas as órbitas futuras desses sistemas se acumulam em um deles. Embora as dinâmicas próximas a esses Atratores possam ser bastante “caóticas”, são surpreendentemente “bem comportadas” do ponto de vista estatístico. Vamos considerar M uma variedade Riemanniana compacta, sem bordas, e M(M) o conjunto das probabilidades sobre a σ-álgebra de Borel de M. A média temporal das funções contínuas ϕ:M→R n-1 Ex(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x) n →∞ j=0 é o dado estatístico básico no comportamento assintótico dos sistemas dinâmicos, cuja existência é uma das questões fundamentais da teoria desses sistemas. O Teorema Ergódico de Birkhoff assegura sua existência, para quase todos os pontos, em relação a qualquer medida f-invariante. Isso é particularmente relevante quando f preserva volume, ou seja, quando f deixa invariante alguma medida de Lebesgue. Uma questão importante é saber se, e quando, a média temporal pode ser independente do ponto inicial. Quando essa independência ocorre para todo x∈B⊂M, com medida de B positiva, então ϕ|→E(ϕ)=Ex(ϕ) v
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