MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

xliv
Agora ∩n≥0σ n Ds é f invariante e tem medida 0 ou 1, pois µϕ* é ergódica. Como, pelo Teorema 0.8,
o seu complementar tem medida positiva então µ ϕ*(Ds)=0. Do mesmo modo vemos que
µ ϕ*(Du)=0. Seja agora µ ϕ=π*µϕ*, isto é µ ϕ(E)=µϕ*(π -1 E). Então µ ϕ é f-invariante e os automorfismos
dos espaços de medidas (σ,µ ϕ*) e (f,µ ϕ) são conjugados pois π é injetora exceto num conjunto
nulo ∪n∈Ζσ n (Ds∪Du). Pela Proposição 0.25, hµϕ(f)=hµϕ*(σ) e portanto
Pf (ϕ)≥h µϕ (σ)+∫ϕdµϕ=hµϕ*(σ)+∫ϕ*dµϕ*=Pσ(ϕ*) Pelo Teorema 0.34, temos que Pf (ϕ)≤Pσ(ϕ*), e portanto Pf (ϕ)=Pσ(ϕ*) e µϕ é um
estado de equilíbrio para ϕ. Também, pelo Teorema 0.23, µϕ é Bernoulli.
Vamos considerar agora o caso geral. Ωs é um conjunto básico e então admite uma
decomposição Ωs=X1∪...∪Xm, com fXk=Xk+1 para 0≤k≤m-1 e fXm=X1; além disso f m Xi é
mixing. Para µ∈Mf(Ωs) temos
m m-1
1=µ(Ωs)=∑µ(Xk)=∑µ(f k Xi)=m µ(Xi)
k=1 k=0
pois µ é f-invariante. Portanto µ(Xi)=1/m e µ’=mµ⏐⏐Xi∈Mfm(Xi).
Inversamente, se µ’∈Mfm(Xi) então µ∈Mf (Ωs), onde
m-1
µ(E)=(1/m)∑µ’(Xi∩f k E).
k=0
Note que µ←→µ’ define uma bijeção entre Mf(Ωs)←→Mfm(Xi). Então, pelo
Lema 1.23 Temos que hµ’(f m |X1)=mhµ(f|X1). Também,
m-1 m-1
∫ Smϕdµ’=∫ ∑ϕof k dµ’=∑ ∫ϕof k dµ
X i X i k=0 k=0 X i
m-1
=∑ ∫kϕdµ’=∫ϕdµ’=m∫ϕdµ
k=0 f X i X i X i
Assim, encontrar uma µ que maximiza hµ(f )+∫ϕdµ é equivalente a encontrar µ’ que maximiza
h µ’(f)+∫Smϕdµ’.
Para ϕ Hölder em Ωs resulta que Smϕ será Hölder em Xi. Então, como Xi é um conjunto básico
mixing para f m , µ’é um estado de equilíbrio ergódico para f m |Xi e µ é um estado de equilíbrio
ergódico para Ωs.
Seja Bx(ε,n)={y∈Ωs: d(f k y,f k x)0 pequeno,
existe um bε>0 tal que para qualquer x∈Ωs
µϕ(Bx(ε,n))≥bεexp(-nP+Snϕ(x))).