Mas S2nη(y’)=u(f 2n y’)=u(y’) (3) 2n-1 n-1 2n-1 S2nη(y’)=∑η(f i y’)=∑η(f i y’)+∑η(f i y’)=2Snη(y’) (4) i=0 i=0 i=n xlviii pois η(f i y’)=η(f n+i y’) para todo i≥0. Resulta então de (2), (3) e (4) que Snη(y’)=0 e, como y=f k x, (1) implica que n-1 n-1 |u(z)-u(y)|=|∑η(f j y)-Snη(y’)|≤∑|(η(f j y)-η(y’))| j=0 j=0 Pela escolha de τ e y’, temos d(f i y,f i y’)
Note que, pelo Teorema 2.1, a função ϕ (u) tem um único estado de equilíbrio, que denotaremos por µ + =µ ϕ(u). Embora ϕ (u) dependa da métrica usada, quando f m x=x Smϕ (u) (x)=-log[Jac(Df m :E u x→E u x)] xlix não depende da métrica utilizada (Esse Jacobiano é o valor absoluto do determinante). Pela Proposição 2.3 vemos que a medida µ + em Ωs e P(ϕ (u) ) não dependem da métrica utilizada. Seja Bx(ε,n)={y∈M: d(f k x,f k y)≤ε para todo k∈[0,n)}. Observe que n-1 Bx(ε,n)=∩f -k Bε(f k x) k=0 e portanto tem medida de Lebesgue não nula para todo x∈Ωs. Bowen mostrou [B.2] uma estimativa para essa medida em função de ϕ (u) . Lema 2.5 [B.2]. (Lema do Volume). Se Ωs é um conjunto básico de classe C 2 e ε>0 é pequeno, existe uma constante cε>1 tal que para todo x∈Ωs m(Bx(ε,n))∈[1/cε,cε]expSnϕ (u) (x). Dizemos que um subconjunto E⊂M é (n,δ)-separado se para todos os pontos y,z∈E, distintos, podemos encontrar um k∈[0,n) tal que d(f k y,f k z)>δ. Proposição 2.6. Seja Ωs um conjunto básico C 2 . (a) Se B(ε,n)=∪Bx(ε,n), temos então, para ε>0 pequeno, x ∈Ω s Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=lim(1/n)log(m(B(ε,n)))≤0 n →∞ s s s (b) Seja Wε (Ωs)=∪Wε (x). Se m(Wε (Ωs))>0, então x∈Ωs Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=0 e h µ+(f)=-∫ϕ (u) dµ + Prova. Seja En(δ) o conjunto máximo (n,δ)-separado de Ωs. Para x∈Ωs temos que x∈By(δ,n) para algum y∈En(δ); senão En(δ)∪{x} é (n,δ)-separado. Então Bx(ε,n)⊂By(δ+ε,n), B(ε,n)⊂∪By(δ+ε,n) e pelo Lema 2.5 y m(B(ε,n))≤(c δ+ε)∑expSnϕ (u) (y). (5) y ∈ En( δ ) Para δ≤ε, ∪By(δ/2,n)⊂ B(ε,n) é uma união disjunta e portanto y ∈ En( δ ) m(B(ε,n))≥(cδ/2) -1 ∑expSnϕ (u) (y). (6)