MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

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Porém Hµ(Dn)=-∑µ(Di)log(µ(Di)) e como µ’=m.µ|Xi, resulta Di ∈ Dn e portanto Hµ(Dn)=(1/m)Hµ’(Dn)+(1/m)log(m) m hµ(f|Xi)=lim(1/n)Hµ’(Dn)= hµ’(f|Xi). n →∞ xlii
CAPÍTULO 4 xliii Dizemos que uma probabilidade µ, f-invariante, é uma medida física, ou SRB (Sinai-Ruelle- Bowen), para f se existe um conjunto de medida de Lebesgue positiva B(µ), de pontos x∈M, tal que n-1 ∫ϕdµ=E(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x), para toda ϕ∈C 0 (M,R). n →∞ j=0 O conjunto B(µ) é chamado de bacia ergódica de µ. As medidas SRB foram construídas inicialmente para sistemas do tipo Anosov e posteriormente generalizada para os difeomorfismos uniformemente hiperbólicos e fluxos. O objetivo deste capítulo é o de provar a existência e unicidade de uma medida SRB para atratores hiperbólicos. Para isso, vamos enunciar e provar três teoremas. No primeiro (Teorema 2.1) vamos provar que se Ωs é um conjunto básico do axioma A e ϕ:Ωs→R Hölder então existe um estado de equilíbrio para ϕ. Em seguida vamos mostrar que existe um estado de equilíbrio µ + , de uma particular ϕ (u) que é Hölder. No segundo (Teorema 2.9), Mostraremos que se Ωs é um atrator, sua bacia de atração possui medida de Lebesgue positiva. Finalmente, no Teorema 2.10, vamos mostrar que µ + é uma medida SRB. A. ESTADOS DE EQUILÍBRIO PARA CONJUNTOS BÁSICOS Teorema 2.1. Seja Ωs um conjunto básico para um difeomorfismo f, do axioma A, e ϕ:Ωs→R Hölder contínua. Então ϕ tem um único estado de equilíbrio µ ϕ em relação a f|Ωs. Além disso, µ ϕ é ergódica; µ ϕ é Bernoulli se f |Ωs é topologicamente mixing. Prova. Sejam ℜ uma partição de Markov para Ωs, tal que diam(ℜ)≤ε, A a matriz de transição para ℜ, π:ΣA→Ωs como no Teorema 1.20 e ϕ*=ϕoπ. Se x,y∈ΣA são tais que xk=yk para k∈[- N,N], então f k π(x), f k (y)∈Rxk=Ryk para k∈[-N,N]. Logo, pelo Lema 1.13, d(π(x),π(y))
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