MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

s s
Wε (x)⊂W (x).
xxxii
Teorema 1.5.(Existência de Coordenadas Canônicas). Se f satisfaz ao Axioma
A, existe um ε0>0 tal que para todo 00 tal que
s u
Wε (x)∩Wε (y) consiste de um único ponto [x,y] para todo x,y∈Ω(f) satisfazendo a
d(x,y)≤δ. Além disso, [x,y]∈Ω(f) e a aplicação [.,.]:{(x,y)∈ΩxΩ: d(x,y)≤δ}→Ω é
contínua.
Este teorema foi demonstrado inicialmente por Anosov e foi posteriormente
generalizado por Hirsh, Pugh e Shub [H.1]. Para uma prova detalhada ver [S.2].
A primeira afirmação do Teorema 1.5 resulta do fato que a interseção
s u
Wε (x)∩Wε (x)={x} é transversal e portanto essas interseções são preservadas para
perturbações suficientemente pequenas. Para se mostrar que [x,y]∈Ω(f), usa-se o
fato de que o conjunto dos pontos periódicos é denso em Ω(f). No caso de um
Anosov, temos naturalmente que [x,y]∈Ω e portanto as coordenadas canônicas
estão em M (ao invés de Ω(f)) sem qualquer suposição sobre os pontos periódicos.
Dizemos que Ω(f) tem uma estrutura de produto local se [x,y]∈Ω(f) para todo
x,y∈Ω(f).
Lema 1.6. Seja Λ um conjunto hiperbólico. Então existe um ε>0 tal que Λ é
expansivo em M, isto é, se x∈Λ e y∈M com y≠x, então d(f k x, f k y)>ε para algum
k∈Z.
Prova. Suponhamos que Λ não é expansivo em M. Então dado um ε>0, que
satisfaz ao Teorema 1.4, e x∈Λ, existe um y∈M, com y≠x, tal que d(f k x,f k y)1, f:M→M um
homeomorfismo e A um subconjunto invariante fechado. A decomposição
A=P1∪...∪Ps é uma decomposição espectral de A se
a) Os Pi são subconjuntos invariantes fechados e disjuntos aos pares tais que f ⎜⎜Pi é
um homeomorfismo topologicamente transitivo.
b) Cada Pi é decomposto como uma união disjunta de subconjuntos
Pi=X1,i∪...∪Xni,i, que são permutados ciclicamente por f e tais que f ni ⎜⎜Xj,i é
topologicamente mixing para todo j∈[1,ni].