MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

Portanto, tomando o limite quando m→∞, temos que s(µ)+∫ϕdµ≤P(ϕ).
Teorema 0.21 [B.1]. Seja ϕ∈FA, ΣA mixing e µϕ a medida de Gibbs de ϕ. Então µϕ
é a única µ∈Mσ(ΣA) para a qual s(µ)+∫ ϕdµ=P(ϕ).
Teorema 0.22. Seja ΣA mixing e ϕ,ψ∈FA. As seguintes afirmações são
equivalentes:
(i) µϕ=µψ
(ii) Existe uma constante K tal que Smϕ(x)-Smψ(x)=mK quando σ m x=x.
(iii) Existem uma constante K e u∈FA tal que ϕ(x)=ψ(x)+K+u(σx)-u(x) para todo
x.
(iv) Existem constantes K e L tais que ⎜⎜Smϕ(x)-Smψ(x)-mK⎪⎪≤L para todo x e todo
m>0.
Se essas condições valem, então K=P(ϕ)-P(ψ).
Prova. (iii)⇒(iv)
Se (iii) vale, então
Smϕ(x)=Smψ(x)+SmK+Sm(u(σx)-u(x))
Smϕ(x)-Smψ(x)-mK= Sm(u(σx)-u(x))
e tomando-se L≥ Sm(u(σx)-u(x)) resulta
Smϕ(x)-Smψ(x)-mK≤L
(iv)⇒(i)
Observe que (iv) implica que ϕ e ψ são homólogas e portanto, pelo Lema 0.9,
temos µϕ=µψ.
(i)⇒(ii)
Vamos supor que µϕ=µψ e σ m x=x. Do Teorema 0.8 como µϕ=µψ, temos que
exp(-jP(ϕ)+Sjϕ(x))
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∈[d1,d2]
exp(-jP(ψ)+Sjψ(x))
onde d1>0, d2 são independentes de x e j. Isso é equivalente a
⎪⎪Sjϕ(x)-Sjψ(x)-j(P(ϕ)-P(ψ))⎪⎪≤M
xx