MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

Como η∈FA, varsη≤cα s para algum α∈(0,1) e
∞
varr(u|Γ)≤2c∑α s =2cα r /(1-α)
s=r
xxii
Logo u é uniformemente contínua sobre Γ e portanto se estende unicamente para
uma função contínua u:ΣA=Γ→R. Pelo fato de varru=varr(u|Γ), temos que u∈FA.
Para z∈Γ,
u(σz)-u(z)=η(z)
e esta equação estende-se, por continuidade, para ΣA.
No Lema 0.9 mostramos que se ϕ e ψ são homólogas então µϕ=µψ. Observe que
no ítem (iii) do Teorema 0.22 estabelecemos que se µϕ=µψ então ϕ é homólogo a ψ
+K.
Duas partições ℘ e ℜ são chamadas ε-independentes se
∑⎪⎪µ(P∩R)-µ(P)µ(R)⎪⎪0 existe um N(ε) tal que
℘=U∨σ -1 U∨...∨σ -s U e ℜ=σ -t U∨...∨σ -t-r U
são ε-independentes para todo s≥0, r≥0, t≥s+N(ε). Friedman e Ornstein [F.2]
mostraram que se U é Bernoulli fraca, então (σ,µ) é conjugado a um shift de
Bernoulli. Bowen [B.1], por sua vez, mostrou que U é Bernoulli fraca para a
medida de Gibbs.
Teorema 0.23 [B.1]. U é Bernoulli fraca para a medida de Gibbs µ=µϕ.
Seja T um automorfismo de um espaço de probabilidades (X,A,µ) e D uma
partição mensurável. Definimos a entropia da transformação T como o supremo
de h(T,D) tomado sobre todas as partições finitas de (X,A,µ). Ou seja
hµ(T)=sup hµ(T,D).
Lema 0.24 [B.1,M.1]. Sejam T um automorfismo de um espaço de probabilidades
(X,A,µ), C e D duas partições finitas de X. Então valem